F-распределение возникает в регрессионном, дисперсионном и дискриминантном анализе, а также в других видах многомерного анализа данных. Далее оно будет неоднократно встречаться в таблицах вывода системы Statistica 6.
Случайная величина, имеющая F-распределение с парой степеней свободы m, n, определяется как отношение двух независимых случайных величин, имеющих распределение χ-квадрат (хи-квадрат) со степенями свободы m и n с умножением на нормировочный сомножитель n/m.
F-распределение сосредоточено на положительной полуоси. Это распределение в отличие от нормального несимметрично. Покажем, как построить график F-распределения и вычислить его процентные точки.
t-распределение важно в тех случаях, когда рассматриваются оценки среднего и неизвестна дисперсия выборки. В этом случае используют выборочную дисперсию и t-распределение.
t-распределение возникает в таблицах вывода регрессионного анализа. Это одно из важнейших распределений, наряду с нормальным и распределением χ-квадрат (хи-квадрат).
t-распределение с k -степенями свободы сосредоточено на всей действительной оси, симметрично относительно нуля. Среднее
t-распределения равно нулю, дисперсия равна k/(k-2).
Случайная величина, имеющая распределение χ-квадрат, определяется как сумма квадратов k независимых стандартных нормальных величин. Нормальные случайные величины – это величины, имеющие нормальное распределение. Число k в определении χ-квадрата называется числом степеней свободы. В частном случае, когда k = l случайная величина χ-квадрат равна квадрату стандартной нормальной величины. Итак, это распределение имеет только один параметр – число степеней свободы, являющийся целым положительным числом.
F-распределение Фишера
В списке распределений вероятностного калькулятора выберите
F (Fisher) (F -распределение) (рисунок 3.1 а).
Задайте в поле df1 (степень свободы 1) значение 10, в поле df2 (степень свободы 2) — значение 11. Пометьте опцию Create Graph (Создать график).
В поле р задайте 0,5. Нажав кнопку Compute (Вычислить), на экране вы увидите следующий график (рисунок 3.1 б).
а) б)
Рисунок 3.1 – F-распределение в вероятностном калькуляторе:
а) задание; б) плотность и функция F-распределения со степенями свободы 10, 11
T-распределение Стьюдента
В списке распределений вероятностного калькулятора выберите
t (Student) (t -распределение Стьюдента) (рисунок 3.2 а).
В строке df задайте 5 – число степеней свободы. Пометьте опцию Create Graph (Создать график).
В поле р задайте 0,5. Нажмите кнопку Compute (Вычислить), на экране вы увидите следующий график (рисунок 3.2 б).
При больших степенях свободы (больших 30) t-распределение практически совпадает со стандартным нормальным распределением.
Плотность t-распределения деформируется при возрастании числа степеней свободы следующим образом: пик увеличивается, хвосты
более круто идут к нулю, кажется, как будто плотность сжимается с боков.
a) б)
Рисунок 3.2 – t-распределения Стьюдента в вероятностном калькуляторе: a) задание; б) плотность и функция t-распределения Стьюдента с 5 степенями свободы
В такой деформации плотности легко убедиться с помощью вероятностного калькулятора. Задайте в поле df (степень свободы) значение 50. Нажав кнопку Compute (Вычислить), на экране вы увидите следующий график (рисунок 3.3).
Рисунок 3.3 – Плотность и функция распределения Стьюдента
с 50 степенями свободы
Сравнив график плотности распределения Стьюдента с большим числом степеней свободы, например 50, и график плотности стандартного нормального распределения, вы убедитесь, что они очень похожи.
Распределение χ-квадрат (хи-квадрат)
В списке распределений вероятностного калькулятора выберите Chi? (χ-квадрат)(рисунок 3.4).
Рисунок 3.4 – Задание χ-квадрат-распределения в вероятностном калькуляторе
В строке df задайте 7 – число степеней свободы.
В поле р задайте 0,95. Нажмите кнопку Compute (Вычислить), в строке Chi? вы увидите 0,95 – квантиль χ-квадрат-распределения с 7степенями свободы (14,06714).
Выберите далее опцию Create Graph (Создать график)и вновь щелкните на кнопке Compute (Вычислить) либо просто нажмите Enter на клавиатуре, вы увидите график плотности и функции распределения χ-квадрат с 7степенями свободы (рисунок 3.5).
Рисунок 3.5 – График плотности и функции распределения случайной величины χ-квадрат с 7степенями свободы
Обратите внимание на то, что это распределение несимметрично и сосредоточено только на положительной полуоси.
Распределение χ-квадрат играет важную роль при исследовании оценки дисперсии нормальной выборки, а также при проверке зависимостей в таблицах сопряженности и в критериях согласия.
Задания для выполнения
1 С помощью вероятностного калькулятора вычислите значения распределений F-Фишера, t-Стьюдента и χ-квадрат при различных значениях степеней свободы для уровня надежности 0,95.
2 Дайте объяснение полученным результатам.
Таблица 3.1 – Варианты заданий
| № задания | Распределение | Степени свободы | |
| df1 | df2 | ||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| F-Фишера | |||
| t-Стьюдента | |||
| t-Стьюдента | |||
| t-Стьюдента | |||
| t-Стьюдента | |||
| t-Стьюдента | |||
| t-Стьюдента | |||
| χ-квадрат | |||
| χ-квадрат | |||
| χ-квадрат | |||
| χ-квадрат | |||
| χ-квадрат | |||
| χ-квадрат |
Лабораторная работа 4
Разнообразие значений признака (MS Excel)
Цель работы: Научить выполнять первичную обработку данных в табличном редакторе MS Excel.
