Три магнитофона
Менеджер производственного отдела фирмы, выпускающей электронное оборудование составляет оптимальный план выпуска 3 типов магнитофонов. Необходимая информация суммирована в таблице
|
a. Какое количество магнитофонов каждого типа нужно собирать, чтобы максимизировать прибыль
b. Все ли типы моделей выгодно производить? Если имеется убыточная модель, что нужно изменить, чтобы ее производство стало выгодным? Можно ли изменить что-то в технологии или в ценах так, чтобы все модели стали выгодными? Попробуйте сделать это, представьте варианты решений.
c. Представьте, что Вы можете установить 100 сверхурочных часов для сборки или 2 сверхурочных часа для упаковки. Что более выгодно? Подтвердите все ваши ответы вычислениями.
Ферма
Хозяйство имеет 1000 га пахотной земли, на которых традиционно выращивают кукурузу, горох, рожь и пшеницу. Посевные площади, занятые под разные культуры, изменяются, в зависимости от изменения средних закупочных цен и других условий.
В предстоящем сезоне прогнозируются следующие урожаи для традиционных культур: кукурузы – 12 ц\га, гороха – 19 ц\га, ржи – 14 ц\га и пшеницы – 20 ц\га.
В соответствии с этим ожидаемые средние закупочные цены на зерновом рынке составят 3500, 5200, 3000 и 3200 рублей за тонну зерна соответственно. Можно считать, что издержки по выращиванию этих культур от погодных условий практически не зависят и составляют 2600, 3300, 2000 и 2300 рублей на тонну зерна.
a. Сколько гектар земли должны быть заняты каждой культурой, если вы желаете максимизировать прибыль хозяйства? Учтите, что удобных для выращивания ржи и пшеницы земель не более 700 га. Кроме этого, максимальное количество зерна, которое можно разместить на рынке, составляет 200 тонн для кукурузы, 400 тонн для гороха, 500 тонн для ржи и
1200 тонн для пшеницы. Хозяйство имеет контракты на поставку 100 тонн кукурузы и 200 тонн пшеницы, которые безусловно должны быть выполнены.
b. Представьте, что хозяйство ограничено в средствах и не может израсходовать на выращивание и уборку урожая более 4 млн. руб. Как это повлияет на максимальную прибыль?
Мебельная фабрика
Владелец мебельной фабрики рассматривает возможность ввода на своем предприятии сверхурочной работы и хочет оптимизировать использование этого дополнительного времени. Фирма выпускает пять различных изделий: стулья, столы, бюро, книжные шкафы, и сервировочные тележки. Соответствующая прибыль за единицу - $ 16, $ 30, $ 40, $ 42, и $ 32. Продукция требует одних и тех же основных операций: обрезка, шлифовка и отделка и сборка. Необходимое для выполнения этих операций время для каждого их изделий приведено в таблице.
| Время на операцию (мин) | Обрезка | Шлифовка | Сборка |
| Стул | |||
| Стол | |||
| Бюро | |||
| Книжный шкаф | |||
| Сервировочная тележка |
Имеется 320 мин. для обрезки, 400 для отделки, и 270 для сборки планируемое сверхурочное время.
a. Какая комбинация изделий должна быть произведена в это время, чтобы максимизировать прибыль? Какой будет общая прибыль?
b. Выгодно ли производить все изделия? Если имеется изделие, которое не выгодно производить, что нужно изменить, чтобы его производство стало выгодным?
c. Можно ли изменить что-то в технологии или в ценах так, чтобы все изделия стали выгодными? Исследуйте это. Опишите результаты.
d. Допустим, что Вы можете установить 100 сверхурочных минут, но для только одной из основных операций? На какую операцию стоит выделить это время? Сколько при этом получится прибыли? Подтвердите все ваши ответы вычислениями.
Смешивание соков
Компания поставляет фруктовые соки и напитки (смеси соков). Список продукции фирмы и цена за литр приведены в таблице:
| Цена за литр, руб | |
| Яблочный сок | |
| Виноградный сок | |
| Клюквенный сок | |
| Яблочно-виноградный | |
| Яблочно-клюквенный | |
| Фруктовая смесь |
Состав смесей: яблочно-виноградный – 70% яблочный сок и 30% виноградный сок, яблочно-клюквенный – 60% яблочный сок и 40% клюквенный сок, и фруктовая смесь – 50% яблочный сок, 20% виноградный сок и 30% – клюквенный сок.
В настоящий момент на складе компании имеется 3000 литров яблочного сока, 1900 литров виноградного сока, и 2500 литров клюквенного сока. Менеджер хочет выяснить, сколько пакетов каждого изделия нужно выпустить, чтобы максимизировать прибыль. Себестоимость литра яблочного сока – 20 руб., виноградного сока – 23 руб. и клюквенного сока – 18 руб. Все напитки упакованы в стандартные пакеты емкостью 1 литр.
Компания имеет заказ на 600 пакетов яблочного сока, 300 пакетов яблочно- виноградного сока и 1000 пакетов фруктовой смеси. Заказ должен быть выполнен в текущую поставку. Опыт показывает, что ни один из видов продукции не следует производить в количестве более чем 2000 пакетов.
a. Составьте план розлива, дающий наибольшую прибыль в сложившейся ситуации.
b. Получите отчет об устойчивости для найденного оптимального плана. Объясните, что означают нормированные стоимости для яблочного сока, яблочно-виноградного сока и для фруктовой смеси. Сколько пакетов яблочного и яблочно-виноградного сока следовало бы произвести, если бы заказ на эти две позиции отсутствовал?
c. Допустим, что Вы можете закупить дополнительные 300 литров сока. Яблочный, виноградный или клюквенный сок вы предпочтете? Сколько дополнительной прибыли вы можете получить, по сравнению с первоначальным планом?
Пять типов продукции
Менеджер фирмы хочет установить оптимальный план производства пяти типов продукции. Менеджер собрал необходимую информацию, которая суммирована в следующей таблице.
| На единицу продукции | |||
| Сборка, часов | Складские площади, кв. м | Прибыль, ед. | |
| Tип A | 2.5 | ||
| Tип B | |||
| Tип C | |||
| Tип D | 9.5 | ||
| Tип E | 3.5 |
Общее количество доступного ресурса рабочего времени – 680 часов. Складские площади ограничены 1500 кв.м.
a. Решите, какое количество каждого типа продукции нужно произвести, чтобы максимизировать прибыль. Все ли типы моделей выгодно производить?
b. Какое количество каждого типа продукции нужно произвести, чтобы максимизировать прибыль, если имеются затраты на наладку оборудования в количестве: $ 200 для типа A, $ 500 для типа B, $ 1000 для C, $ 1400 для типа D, $ 900 для E. Сколько моделей продукции теперь выгодно производить?
c. Как изменится оптимальный план и количество производимых типов продукции, если складские площади увеличить на 30 кв. м.? Уменьшить на 30 кв. м.? Какой ресурс оказывается лимитирующим в каждом из этих двух случаев?
1.6. Корпорация «Тополь»
Корпорация предполагает запустить новое изделие на трех своих предприятиях, в настоящее время обладающих избыточными производственными мощностями. Предполагается выпускать четыре различных модели нового изделия: РС-11, РС-18, РС-22 и РС-20, которые будут приносить прибыль: 220, 310, 375 и 480 у.е. соответственно.
Каждая модель требует различные площади для хранения на складе до момента отгрузки в конце месяца: 1, 1.4, 1.6 и 2.2 м2. Затраты рабочего времени на выпуск этих изделий на трех предприятиях и складские площади даны в таблице.
| Затраты времени на производство ед. изделий, час | Площадь складов, м2 | ||||
| РС-11 | РС-18 | РС-22 | РС-20 | ||
| Предприятие X | 0.38 | 0.4 | 0.41 | 0.5 | |
| Предприятие Y | 0.32 | 0.35 | 0.38 | 0.42 | |
| Предприятие Z | 0.64 | 0.7 | - | 0.9 |
Объемы ежемесячной рыночной потребности для каждой модели: 470, 700, 650 и 300 штук соответственно. Предприятия могут работать 12 часов в день при 24 рабочих днях в месяц.
a. Какое количество изделий каждой модели должно быть произведено на каждом предприятии, чтобы получить наибольшую прибыль?
b. Способна ли корпорация удовлетворить потребности рынка? Какой из ресурсов корпорации является наиболее «дефицитным»? Имеет ли корпорация необходимое количество производственных возможностей, чтобы удовлетворить потребности рынка?
c. На сколько следует увеличить складские площади Предприятия Y, чтобы сбалансировать его ресурсы?
Цех №3
Цех производит 7 различных видов деталей для двигателей A, B, C1, C2, D, E6, F имея в своем распоряжении перечисленный ниже парк из 6 видов универсальных станков:
1 шт - WWZ, 1 шт - SHG, 2 шт - BSD, 2 шт - SDU, 1 шт - ARM, 2 шт - USI.
| Обработка на | A | B | C1 | C2 | D | E6 | F |
| WWZ | 0.112 | 0.102 | 0.105 | 0.087 | 0.088 | 0.116 | 0.071 |
| SHG | 0.226 | 0.146 | 0.19 | 0.244 | 0.234 | 0.184 | |
| BSD | 0.24 | 0.15 | 0.25 | 0.18 | 0.20 | 0.23 | 0.15 |
| SDU | 0.33 | 0.29 | 0.36 | 0.36 | 0.29 | 0.29 | 0.00 |
| ARM | 0.05 | 0.06 | 0.06 | 0.04 | 0.06 | 0.06 | 0.04 |
| USI | 0.15 | 0.00 | 0.00 | 0.14 | 0.00 | 0.15 | 0.15 |
| Прибыль | |||||||
| Потребность рынка, штук |
Время, требуемое для обработки единицы каждого продукта на каждом станке (в часах), вклад в прибыль от производства единицы каждого продукта и рыночный спрос на каждый продукт за месяц даны в таблице.
Цех работает 12 часов в день. Каждый месяц содержит 26 рабочих дней.
Т.к. сбыт изделий A и F тесно связан друг с другом, желательно выпускать их в равных количествах.
a. Составьте оптимальный план производства.
b. Определите, производство каких продуктов лимитировано рынком, и каких – техническими возможностями цеха.
c. Какие машинные ресурсы должны быть увеличены в первую очередь, чтобы добиться максимального увеличения прибыли (при заданных потребностях рынка)?
d. Есть ли продукт, который невыгодно производить? Почему? Что нужно изменить, чтобы все продукты стало выгодно производить?
Выпуск процессоров
Корпорация предполагает выпускать новые модификации процессоров на 4 своих предприятиях, в настоящее время обладающих избыточными производственными мощностями. Предполагается выпускать четыре различных модели процессоров с более высокими частотами: Celeron, Pentium III, Pentium 4 и Xeon 4, которые будут приносить прибыль: 25, 40, 130 и 300 у.е. соответственно.
Каждая модель требует различных площадей для хранения кремниевых пластин, поступающих раз в месяц, в сверхчистых помещениях до момента запуска в работу: 1.1, 1.5, 1.8 и 2.1 м2 на 1000 процессоров каждого типа соответственно. Затраты рабочего времени на выпуск этих изделий на четырех предприятиях и складские площади даны в таблице.
| Затраты рабочего времени предприятия (часов) на производство 1000 ед. изделий | Площадь имеющихся складов, м2 | ||||
| Celeron | Pentium III | Pentium 4 | Xeon 4 | ||
| Fab 11 | 0.6 | 0.7 | - | - | |
| Fab 12 | 0.65 | 0.65 | 0.9 | - | |
| Fab 30 | 0.37 | - | 0.47 | 0.9 | |
| Fab 32 | - | - | 0.42 | 0.8 |
Объемы ежемесячной рыночной потребности для каждой модели1100, 300, 750 и 200 тыс. штук соответственно. Предприятия могут работать 12 часов в день при 26 рабочих днях в месяц.
a. Какое количество изделий каждой модели должно быть произведено на каждом предприятии, чтобы получить наибольшую прибыль?
b. Способна ли корпорация удовлетворить потребности рынка? Какой из ресурсов корпорации является наиболее «дефицитным»?
c. Имеет ли корпорация необходимое количество производственных мощностей, чтобы удовлетворить потребности рынка, или ее в большей степени лимитируют складские ресурсы?
Предприятие в Энске
Цех одного из крупных предприятий города Энска производит 8 различных видов деталей для двигателей A, B, C1, C2, C3, D, E6, F имея в своем распоряжении перечисленный ниже парк из 7 видов универсальных станков: 2 шт.- ADF, 3 шт. - SHG, 3 шт. - BSD, 1 шт. - AVP, 1 шт. - BFG, 3 шт. - ABM, 2 шт. - RL.
Каждая деталь обрабатывается на нескольких станках. Время, требуемое для обработки единицы каждого продукта на каждом станке, вклад в прибыль от производства единицы каждого продукта и рыночный спрос на каждый продукт за месяц даны в таблице.
| Обработка на | A | B | C1 | C2 | C3 | D | E6 | F |
| ADF | 0.24 | 0.23 | 0.19 | 0.15 | 0.19 | 0.18 | 0.23 | 0.18 |
| SHG | 0.05 | 0.03 | - | 0.70 | 0.10 | - | 0.08 | 0.08 |
| BSD | 0.37 | 0.59 | 0.71 | 0.50 | 0.32 | 0.74 | 0.43 | 0.40 |
| AVP | 0.11 | 0.11 | 0.12 | 0.10 | 0.09 | 0.12 | 0.07 | 0.10 |
| BFG | 0.29 | 0.22 | - | 0.20 | 0.16 | 0.29 | 0.14 | 0.12 |
| ABM | - | 0.58 | 0.70 | 0.69 | 0.46 | 0.31 | 0.31 | 0.65 |
| RL | 0.08 | 0.01 | 0.08 | 0.11 | 0.12 | 0.08 | - | 0.12 |
| Прибыль | ||||||||
| Потребность рынка |
Цех работает 12 часов в день. Каждый месяц содержит 26 рабочих дней. Для упрощения задачи считаем, что возможен произвольный порядок обработки деталей на различных станках.
a. составьте оптимальный план производства.
b. Определите, производство каких продуктов лимитировано рынком, и каких – техническими возможностями цеха. Какие машинные ресурсы должны быть увеличены в первую очередь, чтобы добиться максимального увеличения прибыли (при заданных потребностях рынка)?
c. Есть ли продукт, который невыгодно производить? Почему? Что нужно изменить, чтобы все продукты стало выгодно производить?
Электронные переключатели
Фирма производит три вида электронных переключателей. Каждый тип требует сборку, состоящую из двух стадий. Время необходимое для сборки на каждой стадии приведено в таблице.
| Время сборки (в минутах) | ||
| Стадия 1 | Стадия 2 | |
| Модель A | 2.5 | |
| Модель B | 1.8 | 1.6 |
| Модель C | 2.0 | 2.2 |
Оборудование для каждой стадии работает 7.5 часов в день. Менеджер хочет максимизировать прибыль за следующие 5 рабочих дней. Модель А дает прибыль $8.25 за штуку. Модель B дает прибыль $7.00 за штуку. Модель С дает прибыль $7.80 за штуку. Фирма может продавать все, что она произведет, и, кроме того, имеет на следующую неделю оплаченный заказ на 60 шт.: по 20 шт. устройств каждого типа.
a. Каков должен быть оптимальный производственный план?
b. Все ли типы моделей выгодно производить? Если имеется убыточная модель, то что нужно изменить, чтобы ее производство стало выгодным? Можно ли изменить что-нибудь в технологии или в ценовой политике так, чтобы все модели стали выгодными? Попробуйте сделать это. Подробно опишите результаты Ваших исследований.
c. Допустим, Вы можете установить 2 сверхурочных часа для одной из стадий. Для какой именно стадии следует назначить эти сверхурочные часы, чтобы получить наибольшую прибыль? Подтвердите все ваши ответы вычислениями.
Фермер Билл Петрушкин
Фермер Билл Петрушкин имеет 300 акров орошаемых земель в Канзасе и в предстоящем сезоне собирается выращивать пшеницу, кукурузу, овес и сою. В таблице представлены данные о величине ожидаемого урожая, финансовых и трудовых затратах, расходе воды и предполагаемых ценах на выращенное зерно. (1бушель = 36,3 литра 1акр = 0,4 га)
| Тип зерна | Ожидаемый урожай (буш./акр) | Труд (ч./акр) | Издержки ($/акр) | Вода (акрофут/акр) | Ожидаемая цена ($/буш.) |
| Пшеница | $50 | $3.20 | |||
| Кукуруза | $75 | $2.55 | |||
| Овес | $30 | $1.45 | |||
| Соя | $60 | $3.10 |
Основываясь на анализе прошлогоднего рынка зерновых, Билл хочет произвести не менее 30 000 бушелей пшеницы и не менее 30 000 бушелей кукурузы, но не более 25 000 бушелей овса. Он располагает $25 000 для покрытия издержек, связанных с обработкой и уходом за полями, и планирует работать 12 часов в день в течение 150-дневного сезона. Он также не хочет перерасходовать объем 1200 акрофут воды для орошения, который разрешен ему министерством сельского хозяйства штата.
a. Какое количество акров земли Билл должен отвести под каждую зерновую культуру, чтобы максимизировать прибыль от предполагаемого урожая?
b. Все ли культуры стоит выращивать? Если есть культура, которая исключена из оптимального плана, насколько нужно увеличить цену за бушель (при условии, что ожидаемый урожай тот же) чтобы ее выгодно стало выращивать? Насколько больше должен быть ожидаемый урожай этой культуры (при условии постоянства цены),чтобы ее стало выгодно выращивать?
c. Если снять ограничение на производство кукурузы, войдет ли она в оптимальный план? Как изменится прибыль если кукурузу не выращивать?
d. Местная риэлтерская фирма предлагает Биллу арендовать прилегающий к его полям участок в 40 акров за $2000 за сезон. Стоит ли Биллу принять это предложение?
1.12. Фирма «Яхт-рем-строй»
Фирма производит два важных элемента конструкции для больших лодок и кораблей. Два эти продукта, Z345 и W250, производятся в двух модификациях: «стандартной» и «индустриальной», каждая из которых требует определенное количество специально обработанных цинка и железа. Фирма получает доход $400 на каждое стандартное изделие Z34 и $500 на каждое стандартное изделие 
W250. «Индустриальные» изделия дают 40% дополнительного дохода.
Каждую неделю фирма может обработать и подготовить для производства до 2500 кг цинка и 2800 кг железа. В таблице представлены количества цинка и железа, необходимые для производства каждой модели.
| Z435 | W250 | |||
| Стандартная | Индустриальная | Стандартная | Индустриальная | |
| Цинк | ||||
| Железо |
Фирма имеет контракт на поставку стандартных и индустриальных моделей в сумме не менее 20 шт. каждую неделю. Политика фирмы состоит в том, чтобы не менее 50% от всей продукции составляли индустриальные модели, а также, чтобы ни количество изделий Z345 ни количество изделий W250 не превышало 75% от всей произведенной продукции. Руководство фирмы полагает, что только следуя этой политике, фирма сможет продать всю произведенную продукцию.
a. Какой еженедельный план производства максимизирует прибыль фирмы? Какую интерпретацию Вы можете дать для дробных значений количества изделий каждой модели (если они присутствуют в оптимальном плане)?
b. Как измениться прибыль, если ограничение на производство не более 75% каждого вида изделий будет ослаблено или отменено?
c. Обоснуйте, стоит ли фирме закупить в предстоящую неделю дополнительное количество цинка, если за него придется заплатить цену больше, чем нормально платить фирма за цинк:
i. 100 кг при переплате $1 500.
ii. 100 кг при переплате $2 600
iii. 800 кг при переплате $10 000
iv. 900 кг при переплате $ 12 000
v. 900 кг при переплате $25 000
d. Доход от продажи единицы продукции каждого типа может изменяться в зависимости от рыночной ситуации. Насколько чувствителен оптимальный план к таким изменениям?
1.13. Предприятие «Высокий октан»
Нефтеперерабатывающее предприятие должно произвести не менее 8 000 тонн обычного бензина с октановым числом 85 и не менее 5 000 тонн высокооктанового с октановым числом 95. Товарный бензин с заданным октановым числом получается путем смешивания нескольких сортов первичного бензина, получающегося при перегонке. Для получения первичных бензинов в рассматриваемый период можно использовать три сорта сырой нефти от поставщиков с Южного Урала, с Каспийского моря и из Сибири.
Среднее октановое число первичного бензина и его количество, получаемые при перегонке каждого сорта нефти, доступные в рассматриваемый период времени, а также себестоимость тонны первичного представлены в таблице.
| Сырая нефть | Октановое число | Доступные объемы, тонн | Цена, руб/тонну |
| Южный Урал | 5 000 | 2 500 | |
| Каспий | 3 000 | 3 000 | |
| Сибирь | 12 000 | 4 000 |
В рассматриваемый период доступные производственные мощности предприятия «Высокий октан» позволяют произвести 15 000 тонн бензина.
Предприятие продает обычный бензин по цене 7 000 руб. за тонну, а высокооктановый – по цене 8 000 руб. за тонну. По технологии обычный бензин должен иметь октановое число не ниже 85, а высокооктановый бензин – не ниже 95.
a. Допуская, что октановое число товарного бензина равно взвешенному среднему октановых чисел первичных бензинов, из которых он получен, найти оптимальные количества каждого сорта первичного бензина, необходимые для производства обоих видов товарного бензина в рассматриваемый период. Предположите, что весь произведенный бензин может быть продан.
b. Предположим, что предприятие может высвободить дополнительные мощности для производства 3000 тонн бензина за счет приостановки работы по другим контрактам. Приостановка работ по этим контрактам ведет к штрафу в 5 млн. руб. Стоит ли компании заплатить этот штраф и высвободить дополнительные мощности для рассматриваемого проекта?
c. Предположим, что поставщик нефти из Сибири, имея излишки нефти и нуждаясь в денежных средствах желает заключить контракт с «Высоким октаном» на поставку 12 000 тонн нефти по цене 3350 руб. за условную тонну. Выгодно ли для «Высокого октана» принять это предложение? Получит ли поставщик больше денег в результате этой сделки? (Примите, что ограничение в 15 000 тонн действует).
d. Поставщик с Южного Урала, заплатив всего 200 долларов, получил информацию о том, что предложение сибирского поставщика принято. Так как ему абсолютно очевидно, что после переработки сибирской нефти нужда в нефти южноуральской возрастет, поставщик предлагает
«Высокому октану» купить еще 1000 тонн его нефти по цене 2700 за тонну. Выгодно ли принять это предложение с учетом высвобождения дополнительных мощностей (см. пункт b).
1.14. Корпорация «Ветер»
Корпорация предполагает запустить в производство новый вид вентиляционного оборудования на трех своих предприятиях, в настоящее время
обладающих избыточными производственными мощностями. Новый агрегат предполагается выпускать в трех различных модификациях, различающихся размером, назовем их условно: малый (М), средний (С) и большой (Б). Каждая модификация требует объема для хранения на складе и дает определенную прибыль. Соответствующие величины представлены в таблице. В таблице представлены также
¾ объемы рыночной потребности для каждой модификации продукта (количество единиц продукта каждой модификации, которое может быть продано каждый день)
¾ имеющийся объем склада на каждом из трех предприятий.
| Продукт | |||
| М | С | Б | |
| Необходимый объем, м3 | |||
| Прибыль, USD | |||
| Потребность рынка, шт |
| Производственные возможности каждого предприятия (количество единиц продукта, которое может быть произведено на данном предприятии, независимо от того какая модификация или модификации производятся). | Можно произвести, штук | Объем имеющихся складов, м3 |
| Предприятие 1 | 13 000 | |
| Предприятие 2 | 12 000 | |
| Предприятие 3 | 5 000 |
a. Какое количество продукта каждой модификации должно быть произведено на каждом предприятии, чтобы максимизировать прибыль?
b. Способна ли корпорация удовлетворить потребности рынка? Какой из ресурсов корпорации является наиболее «дефицитным»?
c. Имеет ли корпорация необходимое количество производственных возможностей (без учета объемов склада), чтобы удовлетворить потребности рынка?
1.15. Компания «Подмосковная электроника»
|
Каждый телевизор приносит 75 долларов прибыли, каждая стереосистема 50 долларов и радиоприемник – 35.
a. Сколько продуктов каждого типа следует произвести, чтобы получить наибольшее количество прибыли?
b. Есть ли продукт, который невыгодно производить в данной ситуации? На сколько следует уменьшить издержки при производстве этого продукта, чтобы он вошел в оптимальный план?
c. Допустим, имеется возможность обменять у производителя некоторое количество шасси одного типа на такое же количество шасси другого типа бесплатно. Обмен каких шасси Вы предпочли бы сделать и в каком количестве? Как изменится Ваша прибыль?
1.16. Компания «Пауэр Кулинг»
Компания «Пауэр Кулинг» производит семь различных изделий. Обозначим их условно как I, II, III, IV, V, VI и VII. Для их производства используются три основных типа сырья М, А и С. Причем для следующей рабочей недели подготовлено и обработано специальным образом 500 кг. сырья М, 750 кг. сырья А и 350 кг. сырья С.
В процессе производства используется основное оборудование двух типов: Handler 310 и UniPolisher 1200. С учетом переналадок и сервисного обслуживания Handler 310 имеет ресурс 12 рабочих часов в день, а UniPolisher 1200 – 15 рабочих часов.
В таблице отражены требования на ресурсы, со стороны всех 7 изделий и приносимая каждым из них прибыль.
|
Необходимо найти оптимальный план производства на предстоящую неделю: сколько и каких изделий выпустить. Следует учесть, что вы уже имеете заказ на изделие IV – 100 штук. Следует учесть также, что в то время как большинство изделий не имеет рыночных ограничений – сколько ни произведи, все они будут проданы – для изделий II и V такие ограничения существуют. Производить больше чем 600 штук изделия II и больше чем 700 штук изделия V в неделю не разумно.
a. Постройте задачу линейной оптимизации и решите ее.
b. Коммерческий менеджер полагает, что можно было бы увеличить отпускную цену изделия VI на 50 $ за штуку. Изменит ли такое повышение цены полную прибыль на следующей неделе?
c. Менеджер закупочного отдела с сожалением заключает, что он не сможет получить большее количество ресурса С от обычного поставщика. Есть и другой поставщик этого ресурса, однако он готов поставить его только по цене на 900 $ за кг. выше, чем у обычного поставщика. Вдобавок, он хочет продать не менее 50 кг. Следует ли принять предложение о дополнительной покупке 50 кг? Следует ли купить еще больше ресурса С?
d. Клиент, который ожидал 100 штук изделия IV на будущей неделе, теперь пытается «уболтать» менеджера «Пауэр Кулинг» поставить ему на будущей неделе на 50 штук изделия IV больше. На каких условиях можно согласиться на это запрос?
e. Зам. Генерального директора «Пауэр Кулинг» по производству нашел возможность увеличить рабочий ресурс Handler 310 на 4 часа в день. Оплата сверхурочных будет стоить на 4500 $ за час больше, чем обычные издержки. Стоит ли использовать 20 сверхурочных часов на следующей неделе? Если нет, то какое количество сверхурочных следует использовать, исходя из максимума прибыли?
1.17. Добыча руды в компании “Седьмой круг”
Компания, занимающаяся добычей руды, разрабатывает план работы на 5 лет.
Компания имеет 5 шахт, за пользование которыми она должна делать ежегодные лицензионные отчисления. Если использование шахты в текущем году не планируется, платить не нужно.
Для каждой шахты есть технический верхний предел на количество руды, которая может быть выдана «на гора» за год. Эти верхние пределы приведены таблице вместе с другими данными, например стоимостью добычи руды на различных шахтах.
| шахта | Максимальная добыча в год, млн. тонн в год | Содержание извлекаемого вещества | Стоимость извлечения, $ за тонну | Лицензионные отчисления, млн. $ в год |
| Первая | 2.8 | 21% | 1.7 | |
| Вторая | 16% | 1.5 | ||
| Третья | 2.3 | 14% | 1.9 | |
| Четвертая | 1.6 | 23% | ||
| Пятая | 1.8 | 13% | 2.1 |
Как видно из таблицы руда из различных шахт имеет разное содержание извлекаемого компонента. Для поставки на комбинат каждая руда перерабатывается по одному и тому же технологическому процессу, а затем смешивается, чтобы получить более-менее однородную руду с заданным и фиксированным содержанием извлекаемого компонента, так как технологический процесс на металлургическом предприятии подстроен под определенное содержание соединений металла в руде.
Так как в целом руды с течением времени становятся беднее, металлургическое предприятие – основной партнер компании, которому компания поставляет руду, собирается провести постепенный переход на обработку более бедных руд. Если в первый год предприятие ожидает 3 млн. тонн руды с содержанием извлекаемого компонента 20%, то во второй год – 3.75 млн. тонн руды с содержанием 16%, а в третий год и далее – 4 млн.тонн 15%-ной руды. Соответственно понизится и стоимость руды. Если в первый год руда покупается по $25 за тонну, то 16%-ная руда будет стоить $20 за тонну, а 15%-ная - $18.8 за тонну.
В то же время, компания завязывает деловые отношения с более удаленным предприятием, которое запрашивает по 3 млн. тонн 20%-ной руды, начиная с четвертого года. Правда в силу больших затрат на перевозку, это предприятие хочет покупать руду по $22 за тонну.
a. Запланируйте добычу руды на пяти шахтах в течение следующих пяти лет так, чтобы максимизировать прибыль. Следует ли какие-то шахты закрыть совсем?
b. Сколько прибыли можно получить за следующие 5 лет при оптимальном плане добычи? Результат дисконтируйте к началу первого года по ставке 10%.
c. Представьте, что владелец горнорудной компании получил предложение о продаже. По оценке экспертов покупатель предлагает цену, превышающую стоимость имущества компании на 180 млн. долл. Однако владелец считает, что за пять лет он заработает большую сумму. Стоит ли в действительности продавать компанию?
Детские велосипеды
Проектный отдел производственной компании «Велосипедик» разработал 6 новых моделей детских трехколесных велосипедов на предстоящий год. В таблице представлены необходимые данные о требуемых ресурсах и их запасах, прибыли от продажи 1 велосипеда и фиксированные издержки, связанные с запуском в производство каждой модели.
| Прибыль на 1шт. | Колеса малые | Колеса большие | Пластик (фунтов) | Издержка запуска модели | |
| Лель | $1.50 | 0.8 | $16 500 | ||
| Мечта | $2.00 | 1.2 | $18 000 | ||
| Герой | $2.25 | 1.5 | $17 500 | ||
| Робингуд | $2.75 | 2.1 | $18 000 | ||
| Джип | $3.00 | 1.8 | $20 000 | ||
| Монстр | $3.50 | 3.0 | $17 000 | ||
| Месячный запас | 10 000 | 8 000 | 9 000 |
a. Какие модели следует запустить в производство и сколько единиц каждой модели следует производить ежемесячно, чтобы максимизировать прибыль, если
i. «Велосипедик» выделяет только $70 000 на запуск новых моделей в предстоящем году.
ii. производить следует только одну из двух близких по типу моделей: либо модель Герой, либо модель Робингуд.
iii. по крайней мере 4 новых модели должны быть произведены.
iv. в случае производства модели Лель, модель Монстр также должна быть произведена.
b. Как ограничение средств на запуск новой продукции влияет на результат?
c. Как изменится результат, если фирма исключит одно из 3-х последних ограничений?
1.19. Горнопромышленная компания “Белые каски”
Компания, занимающаяся добычей руды, разрабатывает план работы на 5 лет. Необходимо решить, стоит ли закрыть одну или две шахты в связи с падением спроса на металл, который выплавляет металлургический комбинат с которым сотрудничает горнопромышленная компания.
Компания имеет 5 шахт, за пользование которыми она должна делать ежегодные лицензионные отчисления. Если использование шахты в последующие годы не предусматривается, платежи немедленно прекращаются и шахта закрывается для компании навсегда. Если шахта не используется в какой-нибудь год, но будет использована в дальнейшем, лицензионные отчисления необходимо сделать и в год простоя шахты.
|
Как видно из таблицы руда из различных шахт имеет разное содержание извлекаемого компонента. Для поставки на комбинат каждая руда перерабатывается по одному и тому же технологическому процессу, а затем смешивается, чтобы получить более-менее однородную руду с заданным и фиксированным содержанием извлекаемого компонента, так как технологический процесс на металлургическом предприятии подстроен под определенное содержание соединений металла в руде.
Так как в целом руды с течением времени становятся беднее, металлургическое предприятие, на которое компания поставляет руду собирается провести постепенный переход на обработку более бедных руд. Если в первый год предприятие ожидает 5.5 млн. тонн руды с содержанием извлекаемого компонента 12%, то во второй год – 6.6 млн. тонн руды с содержанием 10%, а в третий год и далее – 8.3 млн.тонн 8%-ной руды.
Соответственно понизится и стоимость руды. Если в первый год руда покупается по $12 за тонну, то 10%-ная руда будет стоить $10 за тонну, а 8%-ная -
$8 за тонну.
a. Запланируйте добычу руды на пяти шахтах в течение следующих пяти лет так, чтобы максимизировать прибыль. Какие шахты следует закрыть сразу? Какие в последующие годы?
b. Сколько прибыли можно получить при оптимальном плане добычи за следующие 5 лет? Результат дисконтируйте к началу первого года по ставке 13%.
c. Представьте, что владелец горнорудной компании получил предложение о продаже. По оценке экспертов покупатель предлагает цену, превышающую стоимость имущества компании на 60 млн. долл. Однако владелец считает, что за пять лет он заработает большую сумму. Стоит ли в действительности продавать компанию?
Предприятие Танти Мару
Предприятие Танти Мару выпускает на имеющихся у него трех видах автоматических линий Омега 150, Омега 200 и Омега 400 один и тот же продукт. Ежедневный заказ продукта на следующую неделю определен: понедельник – 3000 штук, вторник – 3800 штук, среда - 4200, четверг - 3650 и пятница - 2500 штук.
Характеристики линий по производительности и издержкам даны в таблице.
| Стоимость запуска линии | Стоимость производства единицы продукта | Производительность (в день) | Количество линий на предприятии | |
| Омега 150 | $250 | $30.0 | ||
| Омега 200 | $500 | $20.0 | ||
| Омега 400 | $700 | $18.0 |
В некоторые дни недели дневной мощности предприятия может не хватить, чтобы выполнить заказ. В этом случае можно производить продукт в предыдущий день с запасом.
a. Определите, какие линии следует запускать в каждый из дней и какое кол- во продукта на них производить, чтобы минимизировать издержки производства. Каковы эти минимальные издержки?
b. Как изменится полученный план, если учесть, что при производстве продукции сверх плана возникают дополнительные издержки, связанные с необходимостью специального складирования продукции в размере $2 за единицу продукции. Насколько возрастут издержки?
c. Выяснилось, что на одной из линий Омега 400 начались неполадки, приводящие к снижению качества продукции. Поэтому в понедельник ее придется налаживать. Как при этом изменится оптимальный план и издержки производства?
Очистка нефти
Завод по очистке нефти покупает два вида сырой нефти (В и Н). Перегонка разделяет нефть на фракции: бензин (октановое число 90), лигроин (80), керосин (70), газойль, мазут и остаток. Выход продуктов дан в общей таблице.
| Выход | бензин | лигроин | керосин | газойль | мазут | остаток |
| B | 0.10 | 0.20 | 0.20 | 0.12 | 0.20 | 0.13 |
| H | 0.15 | 0.25 | 0.18 | 0.08 | 0.19 | 0.12 |
| выход R-бензина | 0.6 | 0.52 | 0.46 | - | - | |
| выход К-бензина | - | - | - | 0.28 | 0.2 | |
| выход К-масла | - | - | - | 0.68 | 0.75 |
Продукты перегонки могут использоваться непосредственно или могут пройти реформинг либо крекинг. Реформинг дает R-бензин с окт. числом 115. Крекинг дает К-масло и К-бензин с окт. числом 105. Также после обработки из 1 ед остатка можно получить 0.5 ед смазочного масла.
Для производства топливного мазута, газойль, К-масло, мазут и остаток смешивают в пропорции 10:4:3:1.
Смешиванием бензина, лигроина, керосина, К- и R- бензина в нужных пропорциях получают два вида моторного бензина: А-84 (окт. ч. не меньше 84) и А-94 (окт. ч. не меньше 94). Смешиванием газойля (летучесть 1.0 ед), мазута (0.6) и К-масла (1.5) в различных пропорциях получают реактивное топливо (летучесть должна быть не выше 1). (Смешивание различных компонентов приводит к пропорциональному смешиванию их характеристик).
Ежедневные поставки нефти В не больше 20 000 баррелей, нефти Н ≤ 30 000 баррелей.
Могут быть переработаны не больше 45 000 баррелей сырой нефти в день. Максимум 10 000 баррелей продуктов могут быть подвергнуты реформингу, а объем крекинга - 8 000 баррелей/день.
Необходимо производить не менее 1000 баррелей смазочного масла в день.
Выпуск бензина А-94 должен оставаться на уровне не менее 40 % 
моторного топлива.
|
Производство минеральных плит (бизнес-кейс)
Фабрика производит материалы для строительства - различные виды плит, используемые для изоляции зданий. На фабрике есть две поточных линии. Производство функционирует в две смены по восемь часов каждая и удовлетворяет рыночный спрос полностью.
Однако, одна из поточных линий нуждается в техническом обслуживании. При этом нужно будет закрыть линию не менее чем на один месяц, но рыночный спрос в этот период должен быть полностью обеспечен.
Для этой цели можно использовать две возможности:
А – в предшествующий остановке месяц загрузить обе линии работой в три смены и произвести необходимое количество плит в запас;
Б - импортировать плиты из-за границы через компанию, с которой уже установлены рабочие связи;
|
В случае импорта прибыль от продажи плит уменьшится на 40%.
Фабрика имеет склад, на котором можно вдобавок к обычному объему запасов различных материалов и готовой продукции хранить 27 000 m3 плит. Все, что нужно будет хранить сверх этого придется разместить на соседнем складе, что будет стоить $3 за м3 в месяц.
Собственное производство ограничено складом сырья, вместимость которого не позволяет хранить более 1500 тонн порфирита и 1000 тонн шлака (которые являются главными компонентами изделий) сверх обычного количества.
Обычно соотношения сырья, используемого в процессе производства следующие - 50 % порфирита, 30 % шлака и 20 % сами же плиты (брак, отходы обработки и т.п.). Потери сырья в производстве - 8 %. Расчеты показывают, что такого количества сырья совершенно недостаточно для производства всех 57 000 м3 плит.
К счастью есть возможность использовать для хранения сырья железнодорожные вагоны. Железнодорожное ведомство при этом взимает плату в размере 100 USD/вагон в день. Вместимость каждого вагона 60 тонн. Предварительные переговоры показывают, что можно будет использовать не более 15 вагонов. Для простоты предположите, что каждый нанятый вагон будет в среднем использоваться в течение ½ месяца.
a. Каково оптимальное решение этой задачи? Какая наибольшая прибыль может быть достигнута?
b. Сколько плит следует импортировать?
План ремонта станков
|
Имеются маркетинговые ограничения на выпуск каждого изделия в каждом месяце:
| Январь | |||||||
| Февраль | |||||||
| Март | |||||||
| Апрель | |||||||
| Май | |||||||
| Июнь |
Фабрика работает 6 дней в неделю с двумя сменами по 8 часов каждый день. Примите, что каждый месяц состоит только из 24 рабочих дней.
Для простоты считайте, что любой порядок обработки изделия на разных станках может быть обеспечен.
a. Когда и что должна делать фабрика, чтобы максимизировать полную прибыль?
b. В текущем месяце (Январь) и в пять последующих месяцев некоторые станки будут отключены для обслуживания: Январь -1 шлифовальный; Февраль -2 горизонтально-сверлильных; Март -1 расточной; Апрель- 1 вертикально-сверлильный; Май - 1 шлифовальный и 1 вертикально- сверлильный; Июнь -1 строгальный и 1 горизонтально-сверлильный. Каков теперь должен быть оптимальный план производства?
c. Возможно ранение 100 шт. каждого изделия одновременно за $0,5 за штуку в месяц. Не имеется никаких запасов в настоящее время, но необходимо иметь запас в 50 изделий каждого типа в конце июня. Каков будет оптимальный план производства, сколько добавочной прибыли удастся извлечь?
d. Вместо спущенного сверху плана остановки каждого станка, спланируйте наилучший график остановки станков для обслуживания. Каждый станок должен быть остановлен один раз в полгода (на месяц) для обслуживания, кроме двух шлифовальных станков. Сколько можно заработать на лучшем плане остановки станков в расчете на полгода.
e. Рассмотрите и порекомендуйте любые увеличения цен и возможные приобретения (продажу) станков.
1.24. Непрерывное производство в компании «ТехГаз» (бизнес-кейс)
Компания имеет производственные мощности для производства 5 объемных продуктов – технических газов: кислорода, азота, ацетилена, аргона и двуокиси углерода. В зависимости выбранного режима непрерывного производства компания может производить от 4 до 25 массовых единиц кислорода и азота в час (однако, в сумме не более 29 единиц обоих газов в час), от 8 до 32 массовых единиц ацетилена, 2 единицы аргона и 6 единиц двуокиси углерода в час. Себестоимость производств массовой единицы газа дана в таблице.
|
Эти газы продаются в двух видах тары – стандартных баллонах и малых баллонах. Всего выпускается 11 видов продукции: 5 видов технически чистых газов и смесь аргона и двуокиси углерода в больших баллонах и 5 видов газа в малых баллонах.
При заполнении тары возникают утечки газа, которые приводят к тому, что для заполнения малого баллона, содержащего 1 массовую единицу газа расходуется обычно 1.2 единицы газа (для двуокиси углерода – 1.1 масс. ед.) При заполнении больших баллонов, содержащих по норме 8 массовых единиц газа расходуется 8.8 масс. ед. (для двуокиси углерода – 8.4 масс. ед., для смеси аргона и двуокиси углерода – 7.7 ед. аргона и 1.05 ед. двуокиси углерода).
Отпускные цены на все 11 видов продукции и максимальный объем продаж каждого продукта, согласно полученному бизнес – прогнозу на следующий месяц с учетом рыночной ситуации, приведены в следующей таблице.
| Большой баллон | Малый баллон | |
| Кис- ло- род | Аце- ти- лен | <
