Раздел 1. Элементы линейной и векторной алгебры

Задания 1─10. 1. Исследовать систему линейных уравнений.

2. В случае совместности, решить систему методом Гаусса.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Задания 11─20. Даны векторы

в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.

11. = (1; 2; 3), = (-1; 3; 2), = (7; -3; 5),

= (6; 10; 17).

12. = (4; 7; 8), = (9; 1; 3), = (2; -4; 1),

= (1; -13; -13).

13. = (8; 2; 3), = (4; 6; 10), = (3; -2; 1),

= (7; 4; 11).

14. = (10; 3; 1), = (1; 4; 2), = (3; 9; 2),

= (19; 30; 7).

15. = (2; 4; 1), = (1; 3; 6), = (5; 3; 1),

= (24; 20; 6).

16. = (1; 7; 3), = (3; 4; 2), = (4; 8; 5),

= (7; 32; 14).

17. = (1; -2; 3), = (4; 7; 2), = (6; 4; 2),

= (14; 18; 6).

18. = (1; 4; 3), = (6; 8; 5), = (3; 1; 4),

= (21; 18; 33).

19. = (2; 7; 3), = (3; 1; 8), = (2; -7; 4),

= (16; 14; 27).

20. = (7; 2; 1), = (4; 3; 5), = (3; 4; -2),

= (2; -5; -13).

Раздел 2. Аналитическая геометрия

Задания 21─30. Даны координаты вершин пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄. Найти:

1) площадь грани А₁А₂А₃;

2) объем пирамиды;

3) уравнения прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты А₄D, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

6) длину высоты А₄D;

7) координаты точки пересечения высоты А₄D с плоскостью А₁А₂А₃.

21. А₁ (4; 2; 5), А₂ (0; 7; 2), А₃ (0; 2; 7), А₄ (1; 5; 0).

22. А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 4).

23. А₁ (4; 6; 5), А₂ (6; 9; 4), А₃ (2; 10; 10), А₄ (7; 5; 9).

24. А₁ (3; 5; 4), А₂ (8; 7; 4), А₃ (5; 10; 4), А₄ (4; 7; 8).

25. А₁ (10; 6; 6), А₂ (- 2; 8; 2), А₃ (6; 8; 9), А₄ (7; 10; 3).

26. А₁ (1; 8; 2), А₂ (5; 2; 6), А₃ (5; 7; 4), А₄ (4; 10; 9).

27. А₁ (6; 6; 5), А₂ (4; 9; 5), А₃ (4; 6; 11), А₄ (6; 9; 3).

28. А₁ (7; 2; 2), А₂ (5; 7; 7), А₃ (5; 3; 1), А₄ (2; 3; 7).

29. А₁ (8; 6; 4), А₂ (10; 5; 5), А₃ (5; 6; 8), А₄ (8; 10; 7).

30. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

31. Прямые 2 х + у – 1 = 0 и 4 х – у – 11 = 0 являются сторонами треугольника, а точка Р (1; 2) – точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на нее. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

32. Прямая 5 х - 3 у + 4 = 0 является одной из сторон треугольника, а прямые 4 х - 3 у + 2 = 0 и 7 х + 2 у – 13 = 0 его высотами. Составить уравнения двух других сторон треугольника. Сделать чертеж.

33. Точки А (3; -1) и В (4; 0) являются вершинами треугольника, а точка D (2; 1) - точкой пересечения его медиан. Составить уравнение высоты, опущенной из третьей вершины. Сделать чертеж.

34. Прямые 3 х - 4 у + 17 = 0 и 4 х – у – 12 = 0 являются сторонами параллелограмма, а точка Р (2; 7) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмма. Сделать чертеж.

35. Прямые х - 2 у + 10 = 0 и 7 х + у - 5 = 0 являются сторонами треугольника, а точка D (1; 3) ─ точкой пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

36. Прямые 5 х - 3 у + 14 = 0 и 5 х - 3 у – 20 = 0 являются сторонами ромба, а прямая х - 4 у – 4 = 0 – его диагональю. Составить уравнения двух других сторон ромба. Сделать чертеж.

37. На прямой 4 х + 3 у – 6 = 0 найти точку, равноудаленную от точек А (1; 2) и В (- 1; - 4). Сделать чертеж.

38. Найти координаты точки, симметричной точке А (5;2) относительно прямой х + 3 у – 1 = 0. Сделать чертеж.

39. Прямые х - 3 у + 6 = 0 и 3 х + у – 12 = 0 являются сторонами прямоугольника, а точка Р (7; 2) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон прямоугольника. Сделать чертеж.

40. Точки А (4;5) и С (2; - 1) являются двумя противоположными вершинами ромба, а прямая х – у + 1 = 0 – одной из его сторон. Составить уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

Раздел 3. Введение в математический анализ

Задания 41─50. Вычислить пределы.