Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2- го порядка.

Линейная краевая задача имеет вид:

. , при . Решение задачи проводится в следующей последовательности:

1. Определение сетки.

Отрезок [a,b] делится на частей:

…

…

…

…

, ,

2. Определение сеточной функции :

			…
			…

3. Аппроксимация уравнения:

Для каждой узловой точки заменяем функции и производные в уравнениях 6.9-6.10 конечноразностными аналогами:

т.е.

(6.11)

т.е.

Получаем ситему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных величин .

 

 

Задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера. Одним из простейших разностных методов решения обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка: , на отрезке . На данном отрезке выбираем некоторую совокупность точек с равностоящими узлами, т.е. .Конечно-разностная аппроксимация прозводной Так как , получаем формулу Эйлера , , с помощью которой значение сеточной функции в любом узле вычисляется по ее значению в предыдущем узле . На каждом шаге погрешность имеет порядок . В конце интервала погрешность , т.е. метод Эйлера имеет первый порядок точности. На рис. 6.1 дана геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге до величины вместо в обычном методе. Запишем разложение функции в ряд Тейлора в виде: . Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей: Подставляя это соотношение в и пренебрегая членами порядка , получаем: . Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части соотношения, но можно построить приближенное решение с использованием двух итераций. Сначала по формуле Эйлера вычисляют первое приближение . Затем находится уточненное окончательное значение . Такая схема решения называется модифицированным методом Эйлера и имеет второй порядок точности.

Метод Рунге-Кутта. Формулы можно представить в виде где Такая формулировка модифицированного метода Эйлера представляет собой метод Рунге-Кутта второго порядка. На основе метода Рунге-Кутта могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Наиболее употребительной является следующая схема четвертого порядка: где . Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения. Однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с относительно большим шагом.