Линейная краевая задача имеет вид:
. 
, при 
. Решение задачи проводится в следующей последовательности:
1. Определение сетки.
Отрезок [a,b] делится на 
частей:
| 
| … | 
| … | 
| 
| 
| |||||||
| 
| … | 
| … | 
| 
| 
| |||||||
, 
, 
2. Определение сеточной функции 
:
|
|
| 
| … |
|
|
|
| 
| … |
|
3. Аппроксимация уравнения:
Для каждой узловой точки 
заменяем функции и производные в уравнениях 6.9-6.10 конечноразностными аналогами:
т.е. 
(6.11)
т.е. 
Получаем ситему 
линейных алгебраических уравнений для определения 
неизвестных величин 
.
Задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Эйлера. Одним из простейших разностных методов решения обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка: 
, на отрезке 
. На данном отрезке выбираем некоторую совокупность точек 
с равностоящими узлами, т.е. 
.Конечно-разностная аппроксимация прозводной 
Так как 
, получаем формулу Эйлера 
, 
, с помощью которой значение сеточной функции 
в любом узле 
вычисляется по ее значению 
в предыдущем узле 
. На каждом шаге погрешность имеет порядок 
. В конце интервала погрешность 
, т.е. метод Эйлера имеет первый порядок точности. На рис. 6.1 дана геометрическая интерпретация метода Эйлера.
Модифицированный метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге до величины 
вместо 
в обычном методе. Запишем разложение функции в ряд Тейлора в виде: 
. Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей: 
Подставляя это соотношение в и пренебрегая членами порядка , получаем: 
. Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение 
входит в обе части соотношения, но можно построить приближенное решение с использованием двух итераций. Сначала по формуле Эйлера вычисляют первое приближение 
. Затем находится уточненное окончательное значение 
. Такая схема решения называется модифицированным методом Эйлера и имеет второй порядок точности.
Метод Рунге-Кутта. Формулы можно представить в виде 
где 
Такая формулировка модифицированного метода Эйлера представляет собой метод Рунге-Кутта второго порядка. На основе метода Рунге-Кутта могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Наиболее употребительной является следующая схема четвертого порядка: 
где 
. Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения. Однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с относительно большим шагом.
