Аппроксимация на основе интерполяции не имеет смысла или невозможна, когда исходные данные содержат погрешности, повторы или очень большое количество точек. В этих случаях используют сглаживание: критерий близости аппроксимирующей функции 
к исходным данным 
, 
рассматривается как минимальное отклонение значений в заданных точках. Количественно отклонение может быть оценено методом наименьших квадратов (МНК), согласно которому необходимо минимизировать сумму квадратов: 
где 
, 
- значения данных 
- значение аппроксимирующей функции в точке 
; 
- число данных, 
- незвестные параметры. Задача сводится к нахождению экстремума функции параметров 
. Линейная аппроксимация. В случае линейной формулы 
сумма квадратов принимает вид: 
. Эта функция имеет минимум в точках, в которых частные производные от 
по параметрам 
и 
обращаются в нуль, т.е. 
, 
Решая систему уравнений, получим значения 
и 
уравнения 
.
Полиномиальная аппроксимация. В случае выбора зависимости в виде полинома, например, 2-й степени 
сумма квадратов принимает вид: 
Эта функция имеет минимум в точках, в которых частные производные от 
по параметрам 
, 
, 
обращаются в нуль, т.е.: 
, 
, 
В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными: 
Или
При расчете удобно использовать таблицу
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| -2 | -8 | -12 |
Точность аппроксимации можно оценить среднеквадратической ошибкой
, которая не должна превышать погрешность исходных данных.
Формулы численного интегрирования Формулы прямоугольников и трапеций.
Численное интегрирование.
Требуется вычислить определенный интеграл: 
. Выберем на отрезке интегрирования 
различных узлов 
и интерполируем функцию 
по ее значениям в этих узлах некоторым полиномом 
. Тогда определенный интеграл приближенно можно вычислять по формуле 
,
Метод прямоугольников.
На каждом отрезке 
, 
функция 
заменяется полиномом нулевой степени 
. Поэтому приближенно I вычисляется по формуле:
Для равноотстоящих узлов формула имеет следующий вид:
- формула левых прямоугольников.
- формула правых прямоугольников.
Программа вычисления интеграла методом прямоугольников. Исходные данные: пределы интегрирования и число разбиений.
Function f(x). f = Sqr(2 * x ^ 2 + 1). 0End Function. Sub Integral()
a = Cells(1, 2). b = Cells(2, 2). n = Cells(3, 2). h = (b - a) / n. x = a. S = 0
1 s = s + f(x) * h. x = x + h. If x < b Then GoTo 1. Cells(5, 2) = s.End Sub
Метод трапеций.
В этом методе на каждом отрезке 
функция f(x) заменяется полиномом 1-й степени 
.
По формуле Лагранжа:
. Интегрируя 
на отрезке 
, получим:
. Суммируя по всем 
(
), получим формулу трапеций:
. Для равноотстоящих узлов 
, 
, …, 
формула принимает следующий вид: 
Программа вычисления интеграла методом трапеций:
в программе, заменить отмеченные строки на следующие:
1 s = s + 0.5 * (f(x) + f(x + h)) * h
x = x + h
