Оцінка результату багаторазових вимірів

Короткі теоретичні відомості

Вступ і постановка задачі

Як показує досвід, при багаторазових вимірах однієї і тієї ж фізичної величини, зроблених за допомогою того самого вимірювального приладу, в однакових умовах, з однаковою ретельністю результати спостережень будуть відрізнятися один від одного. Це вказує на те, що при багаторазових вимірах результати спостережень, а отже і їх похибки, можна розглядати як реалізації відповідної випадкової величини.

Поява випадкових похибок обумовлена спільним впливом на засіб і об’єкт виміру випадкових факторів, між якими відсутній взаємний зв’язок. Ефект впливу кожного такого фактору настільки незначний, що обумовлені ним відхилення неможливо виділити і врахувати окремо.

Проте сумарний вплив цих факторів створює вже значні, помітні відхилення (похибки), що теж неперервно змінюються випадковим чином як по величині, так і за знаком.

На відміну від систематичних похибок, що завжди можуть бути в тій або іншій мірі виключені, компенсовані або враховані, випадкові похибки принципово не можуть бути усунені, їх не можна виключити в процесі вимірів, не можна врахувати за допомогою поправок у кожному з результатів вимірів.

Такого виду похибки оцінюються методами математичної статистики і теорії ймовірностей.

Оцінка результату багаторазових вимірів

Багаторазові виміри проводяться з метою визначення, а часто і зменшення випадкової складової похибки [1].

Припустимо, що зроблено n вимірів величини x, дійсне значення котрої дорівнює а. і

при цьому отримані результати спостережень X₁,Х₂ Х_j.......Х_n„...Виміри проводяться таким чином, що систематичні і грубі похибки виключені, а результати спостережені, рівномірні і незалежні один від одного.

 

 

Тоді величину X можна розглядати як випадкову із функцією розподілу ƒ(х), а можливі результати спостережень, як випадкові величини функцією розподілу, тобто

 

М(х) = M_[x]; D_(x) = D_[x] (1.1)

 

В цих умовах в якості результату виміру природньо прийняти математичне очікування оцінкою якого є середньоарифметичне отриманих результатів спостережень

M_(x) = . (1.2)

 

Отже, середньоарифметичне є найбільш достовірним значенням, що можна дати вимірюваній величині, і тому воно приймається в якості оцінки останньої.

Оскільки в якості оцінки дійсного значення вимірюваної величини береться середньоарифметичне результатів спостереження, то для оцінки випадкових похибок доцільно використовувати випадкові відхилення результатів спостереження від середньоарифметичного:

 

ΔХі = Хі-Х. (1.3)

 

В теорії ймовірностей доведено, що оцінка середньоквадратичного відхилення результатів спостереження виражається через випадкові відхилення (1.3):

 

 

(1.4)

 

де - центрована випадкова похибка. Ця оцінка характеризує ступінь розсіювання окремих спостережень щодо середньоарифметичного М(Х). Обчис­лення середньоарифметичного на практиці проводиться на основі обмеженого числа спостережень. Тому воно також є випадковою величиною, дисперсія якої дорівнює:

 

(1.5)

Отже, середньоквадратичне відхилення середньоарифметичного буде:

 

 

(1.6)

Таким чином, середньоквадратичне відхилення середньоарифметичного в разів менше середньоквадратичного відхилення результату спостереження.

Підставивши (1.6) в (1.5), одержимо:

 

 

(1.7)

 

 

Вираз (1.7) визначає оцінку середньоквадратичного відхилення середньоариф­метичного результату виміру. З отриманого виразу випливає, що по мірі збільшення числа спостережень, середньоквадратичне відхилення результату виміру зменшується, і чим їх більше, тим ближче середньоарифметичне до істинного значення величини, що вимірюється.