Исход опыта называется благоприятным событию А, если в результате опыта событие А свершилось. Вероятностью события A назовем число Р(А)= 
, где m – число благоприятных событию А исходов, n – число всех исходов в данном опыте.
Пример 4. Опыт- бросание игрального кубика. Событие А - выпадение числа очков, кратного 3. Пусть X – число очков, тогда все возможные исходы нашего опыта: (Х=1), (Х=2), (Х=3), (Х=4), (Х=5), (Х=6), равновозможны. Всего случаев n=6, благоприятных из них m=2, следовательно,
P (A) = 
= 
.
Элементы комбинаторики
Имеется совокупность n объектов, назовем ее генеральной совокупностью. Из генеральной совокупности наудачу отбираем m объектов, эту отобранную совокупность назовем выборкой.
Выборка может быть упорядоченной, если порядок объектов (элементов) играет роль, и может быть неупорядоченной, если порядок элементов роли не играет.
Выборка может быть без повторений, если элементы повторяться не могут, и может быть с повторениями, если элементы в выборке повторяются.
Например, телефонный номер 260-61-51 - упорядоченная выборка с повторениями из десяти цифр по семи.
Упорядоченная выборка из n элементов по m называется размещением, неупорядоченная выборка из n элементов по m называется сочетанием. Число размещений и сочетаний c повторениями и без повторений из n элементов по m можно найти из следующей таблицы.
Таблица 1
Пример 5. Два счета из десяти выполнены с ошибками. Найти вероятность того, что из четырех взятых на проверку счетов один счет окажется с ошибками.
Решение.
Воспользуемся классической формулой Р(А)= , всего случаев 
, так как имеем дело с неупорядоченными выборками без повторений, благоприятных из них 
. Следовательно,
Запомните: 0!=1.
Основные теоремы
Теорема 1. Теорема сложения вероятностей.
Р(А1+А2+А3+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+...+Р(Аn) - Р(А1·А2) - Р(А1·А3) - … -Р(А1·Аn) - Р(А2·А3) -... - P(An-1·An)+P(А1·А2·A3)+P(А1·А2·A4)+...+P(Аn-2·Аn-1·An)+...+ +(-1)n-1 P(A1·A2·...·An).
Следствие 1.
Если события А1, А2,...,Аn несовместны, то
Р(А1+А2+А3+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+...+Р(Аn).
Следствие 2.
Вероятность суммы двух любых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, то есть Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А·В).
Замечание.
P(A) + P(
) = 1, откуда P() = 1−P(A).
Теорема 2. Теорема умножения вероятностей.
Условной вероятностью Р(А / В) события А относительно события В назовем вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.
Теорема умножения.
Р(А1·А2·А3·...·Аn)=Р(А1)·Р(А2/А1)·Р(А3/А1·А2) ·...·Р(Аn/А1·А2·А3·...·Аn-1).
Правило (теорема) умножения для двух событий. Вероятность произведения двух любых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно первого, то есть
Р(А·В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А/В).
Событие А называется независимым от события В, если условная вероятность события А относительно события Bравна безусловной вероятности события А, то есть Р(А/В)=Р(А). Нетрудно доказать, что если А не зависит от В, то и В не зависит от А.
Следствие. Если события А и В независимы, то Р(А·В)=Р(А)·Р(В).
Пример 6. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов. Какова вероятность того, что он ответит на два выбранных наудачу вопроса?
Решение.
Рассмотрим события: А- студент знает ответ на первый вопрос, В- студент знает ответ на второй вопрос. Найдем Р(А·В).
Р(А·В) = Р(А)·Р(В/А) = 
Определение. Несколько событий называют независимыми (или независимыми в совокупности), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Следовательно, если А1, А2,...,Аn независимы, то справедливо правило умножения для независимых событий
Р(А1·А2·А3·...·Аn)=P(A1)·P(A2)·P(A3)·...·P(An).
Пример 7. Два студента выполняют независимо друг от друга задание. Вероятность того, что задание будет выполнено первым студентом 0,6; для второго студента эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что
• оба студента выполнят задание;
• только один из них выполнит задание;
• хотя бы один из них выполнит задание.
Решение.
События: А - задание выполнит первый студент, В - задание выполнит второй студент. По условию Р(А) = 0,6; Р(В)=0,8; следовательно, Р() = 1–0,6 = 0,4; P(
) = 1–0,8 = 0,2.
• Р(А·В) = /события А и В - независимые события / = Р(А)·Р(В) = 0,6·0,8 = 0,48.
• Р(А· + ·B) = / A· и ·B - несовместные события /= Р(А· ) + Р( ·B) = Р(А)·Р() + Р()·Р(В) = 0,6·0,2 + 0,4·0,8 = 0,44.
• P(A+B)=/ А и В-совместные события /= Р(А)+Р(В)-Р(А·В)=0,6+0,8– –0,48=0,92.
