Действия с линейными преобразованиями. Связь между матрицами линейного преобразования в различных базисах.

1⁰. Преобразование векторного пространства L_n называется нулевым, если оно каждый вектор из L_n переводит в нулевой вектор. Матрицей нулевого преобразования является нулевая матрица.

Если же каждому вектору из L_n сопоставляется этот же вектор, то преобразование называется тождественным, а его матрицей является единичная матрица.

2⁰. Последовательное выполнение двух преобразований – преобразования с матрицей А и последующего преобразования с матрицей В является преобразованием h˚f с матрицей ВА и называется произведением преобразования f на преобразование h. В этом случае из следует ВА

Произведение линейных преобразований ассоциативно, но не коммуникативно, т. к. в общем случае АВ ≠ ВА.

Произведение любого преобразования f на тождественное преобразование равно самому преобразованию f.

3⁰. Суммой преобразования с матрицей А и преобразования с матрицей В является преобразование с матрицей А + В.

4⁰. Потребуем, чтобы для каждого образа линейного преобразования L = существовал единственный прообраз . Это означает, что система уравнений (13) должна быть разрешима относительно х₁, х₂,…., х_n для любых у₁, у₂,…., у_n. Это возможно только в случае, когда det L ≠ 0, т.е. матрица L невырожденная. И тогда существует преобразование L^–1 = , называемое обратным преобразованию L = .

5⁰. Пусть S – матрица линейного преобразования S = в старом базисе, N – матрица того же преобразования N = в новом базисе и Т – матрица перехода от старого базиса к новому, т. е.
= Т , = Т . Тогда из равенств SТ = S = = Т = ТN следует, что матрицы S и N одного и того же линейного преобразования в разных базисах связаны соотношением SТ = ТN.

Задача 0.57. В базисе преобразование f имеет матрицу Найти матрицу В преобразования f в базисе

Решение. Матрица перехода от старого базиса к новому имеет вид и связывает матрицы А и В соотношением А∙Т = Т∙В. И т.к. базисные векторы линейно независимы, то detТ ≠0 и существует матрица Т ^–1.

Т ^–1 = .

Выполним умножение матриц и найдем В = Т ^–1 ·А · Т.

Т ^-1 ·A= =

B= Ответ: В =

Задача 0.58. Заданы линейно независимые векторы = (2, 3, 5)^T, = (0, 1, 2)^T, = (1, 0, 0)^T. Найти линейное преобразование, переводящее векторы , , соответственно в векторы
= (1, 1, 1)^T, = (1, 1, – 1)^T и = (2, 1, 2)^T.

Решение. Полагаем, что - матрица искомого линейного преобразования, тогда по условию задачи должны выполняться одновременно равенства C , С , С или короче
СА = В, где матрица базиса и матрица системы векторов .

Т.к. det А = 1 ≠ 0, то существует и тогда

Ответ: С =

§4. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. Характеристический многочлен.

Пусть в n-мерном линейном пространстве ненулевой вектор коллинеарен своему образу А при линейном преобразовании с матрицей А, т. е. существует число μ такое, что А = μ . Тогда число μ называют собственным значением, а вектор - принадлежащим числу μ собственным вектором преобразования. В этом случае равенство А = μ , А = μЕ , А – μЕ = , (А – μЕ) = означает, что система однородных уравнений

(14)

имеет ненулевое решение = (х₁, х₂,…, x_n). Это возможно только в случае, если det (А–μЕ)= 0, т. е. если собственное значение μ является корнем уравнения

(15)

которое называется характеристическим уравнением преобразования. Если «раскрыть» определитель, то левую часть этого уравнения называют характеристическим многочленом матрицы А. Он может иметь не более n действительных корней, сумма которых равна следу матрицы А.

Таким образом, если требуется найти собственные векторы преобразования с матрицей А n-го порядка, то составляют характеристическое уравнение (15). Его решениями являются собственные значения матрицы А и для каждого из них составляют систему (14). Решением каждой такой системы уравнений с точностью до числового множителя является собственный вектор .

Задача 0.59. Линейное преобразование задано в некотором базисе матрицей . Найти собственные значения и принадлежащие им собственные векторы линейного преобразования.

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его действительные корни.

μ_1,2 =1, μ₃ = 4. Таким образом, имеются два собственных значения, причем одно из них двукратное.

Ищем собственные векторы, принадлежащие первому двукратному собственному значению μ = 1.

С этой целью решаем систему уравнений (L – μ₁ E) или

Т.к. ранг системы равен 1, а количество неизвестных 3, то система имеет 2 линейно независимых частных решения.

Если полагать х₁=1, х₂ = 0, то получим х₃=-1 и первый собственный вектор = (1; 0; -1)^T

Если полагать х₁=0, х₂ = 1, то получим х₃=0 и второй собственный вектор = (0; 1; 0)^T.

Ищем собственный вектор, принадлежащий числу μ = 4.

Если полагать х₁=1, то получим х₃=2 и третий собственный вектор = (1; 0; 2)^T.

Ответ:

Перечислим основные свойства собственных векторов и собственных значений.

1. Если собственные векторы принадлежат различным собственным значениям, то они линейно независимы.

Если полагать противное, т.е. считать собственные векторы линейно зависимыми и , то при μ₁ ≠ μ₂ из и следует и при это возможно только при μ₁ - μ₂ = 0, что противоречит условию μ₁ ≠ μ₂. Следовательно, собственные векторы в действительности линейно независимы.

Из свойства 1. следует, что если в n-мерном линейном пространстве преобразование имеет n различных собственных значений, то существует базис из собственных векторов этого преобразования.

2. Если μ – собственное значение кратности S, то ему принадлежат не более S линейно независимых собственных векторов.

3. Если А и В – матрицы одного и того же линейного преобразования в разных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают.

Действительно, учитывая, что В = Т ^-1АТ и Т ^-1 μЕТ = μТ ^-1ЕТ= μ Т ^-1Т = μЕ, имеем det(B-μE) =
=det(Т ^-1АТ – Т ^-1μEТ) = det [Т ^-1(А - μE)T] = det Т ^-1 ∙ det (A -μE)∙det Т = det (A - μE)· det Т ^-1 · det T =
=det (A-μE), т.е. det (B - μE) = det (A - μE).

Из этого свойства следует, что характеристический многочлен матрицы А можно считать характеристическим многочленом преобразования в любом базисе.

А тогда все матрицы линейного преобразования имеют один и тот же набор собственных значений.

4. Матрица линейного преобразования в некотором базисе имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами.

Задача 0.60. Линейное преобразование с матрицей А = имеет собственные векторы
= (1; 0; -1)^T, = (1; 1; -1)^T и = (1; 0; 2)^T. Найти матрицу этого линейного преобразования в базисе .

Решение. Составим матрицу перехода к новому базису и вычислим обратную ей матрицу.

Матрицу В линейного преобразования в новом базисе находим по формуле В = Т ^-1АТ.

Т ^-1А=

В=

Ответ: В базисе из собственных векторов линейное преобразование имеет диагональную матрицу

В= .