Тема 5. Линейные преобразования.
Системой координат называют способ, позволяющий с помощью чисел однозначно установить положение точки относительно некоторой геометрической фигуры. Примерами могут служить система координат на прямой – координатная ось и прямоугольные декартовы системы координат соответственно на плоскости и в пространстве.
Выполним переход от одной системы координат xy на плоскости к другой системе 
, т.е. выясним, как связаны между собой декартовы координаты одной и той же точки в этих двух системах.
Рассмотрим сначала параллельный перенос прямоугольной декартовой системы координат xy, т. е. случай, когда оси 
и 
новой системы параллельны соответствующим осям x и y старой системы и имеют с ними одинаковые направления.
Если известны координаты точек M (x; y) и 
(a; b) в системе xy, то (рис.15) в системе 
точка М имеет координаты: 
.
Рассмотрим далее поворот системы xy на угол 
«против часовой стрелки» и перейдем к новой системе с тем же началом О.
Пусть отрезок ОМ длины ρ образует угол 
с осью и 
. Тогда (рис.16) с осью х отрезок ОМ образует угол 
и координаты точки M в системе хy равны 
, 
.
Учитывая, что в системе 
координаты точки М равны 
и 
, получаем
При повороте же на угол «по часовой стрелке» соответственно получим: 
Задача 0.54. Определить координаты точки М(-3; 7) в новой системе координат x/y/ , начало 0/ которой находится в точке (3; -4), а оси параллельны осям старой системы координат и одинаково с ними направлены.
Решение. Подставим известные координаты точек М и О/ в формулы: x/ = x-a, y/ = y-b.
Получим: x/ = -3-3=-6, y/ = 7-(-4)=11. Ответ: М/ (-6; 11).
§2. Понятие линейного преобразования, его матрица.
Если каждому элементу х множества Х по некоторому правилу f соответствует один и только один элемент y множества Y, то говорят, что задано отображение f множества Х в множество Y, а множество Х называют областью определения отображения f. Если, в частности, элементу х0 Î Х соответствует элемент у0 Î Y, то пишут у0 = f (х0). В этом случае элемент у0 называют образом элемента х0, а элемент х0 - прообразом элемента у0. Подмножество Y0 множества Y, состоящее из всех образов, называют множеством значений отображения f.
Если при отображении f различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества Y, то отображение f называют обратимым.
Если У0=У, то отображение f называют отображением множества Х на множествоY.
Обратимое отображение множества Х на множество Y называют взаимно однозначным.
Частными случаями понятия отображения множества в множество являются понятие числовой функции и понятие геометрического отображения.
Если отображение f каждому элементу множества Х сопоставляет единственный элемент этого же множества Х, то такое отображение называют преобразованием множества Х.
Пусть задано множество n-мерных векторов линейного пространства Ln.
Преобразование f n-мерного линейного пространства Ln называют линейным преобразованием, если
для любых векторов 
из Ln и любых действительных чисел α и β. Иначе говоря, преобразование называется линейным, если линейная комбинация векторов переходит в линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами.
Если в некотором базисе 
задан вектор 
и преобразование f линейное, то по определению 
, где 
-образы базисных векторов.
Следовательно, линейное преобразование вполне определено, если заданы образы базисных векторов рассматриваемого линейного пространства:
(12)
Матрицу 
в которой k-тый столбец является координатным столбцом вектора 
в базисе 
, называют матрицей линейного преобразования f в этом базисе.
Определитель det L называют определителем преобразования f и Rg L называют рангом линейного преобразования f.
Если матрица линейного преобразования невырожденная, то и само преобразование невырожденное. Оно преобразует взаимно однозначно пространство Ln в себя самого, т.е. каждый вектор из Ln является образом его некоторого единственного вектора.
Если матрица линейного преобразования вырожденная, то и само преобразование вырожденное. Оно преобразует линейное пространство Ln в некоторую его часть.
Теорема. В результате применения линейного преобразования f с матрицей L к вектору 
получается вектор 
такой, что 
.
|
, полученное по определению, подставим разложения (12).
Получим:
|
Числа, записанные в скобках, являются координатами вектора 
по базису :
|
По определению операции умножения матриц систему (13) можно заменить матричным
равенством 
, что и требовалось доказать.
Примеры линейных преобразований.
1. Растяжение вдоль оси х в к1 раз, а вдоль оси у в к2 раз на плоскости ху определяется матрицей 
и формулы преобразования координат имеют вид: х/ = k1x; y/ = k2y.
2. Зеркальное отражение относительно оси у на плоскости ху определяется матрицей 
и формулы преобразования координат имеют вид: x/ = -x, y/ = y.
3. Поворот в реальном трехмерном пространстве на угол φ вокруг оси z определяется матрицей 
и формулы преобразования координат имеют вид: x = x/ cosφ – y/ sin φ,
y = x/ sinφ + y/ cos φ, z = z/.
Задача 0.55. Пусть А – матрица линейного преобразования в базисе ортов. Докажите, что преобразование в этом базисе, определяемое равенством 
, является линейным.
Доказательство. Воспользуемся определением линейного преобразования. Тогда по условию задачи в базисе ортов для любых векторов 
и любых действительных чисел α и β выполнены равенства:
что и требовалось доказать.
Задача 0.56. Линейное преобразование с матрицей А переводит линейно независимые векторы 
в векторы 
и 
соответственно. Записать матрицу А и найти образ вектора 
.
Решение. Образы 
базисных векторов 
определяют линейное преобразование с матрицей А = 
Образ вектора 
найдем из соотношения 
. Получим: 
. Ответ: А = 
