Нарощення за простими відсотками

Під нарощеною сумою позички розуміють початкову її суму разом з нарахованими на неї відсотками до закінчення строку позички. Процес зміни суми боргу разом з нарахованими відсотками за простою ставкою відсотків можна уявити у вигляді арифметичної прогресії P, P + P · i, P + P · i + P · i і т. д. Перший член дорівнює Р, різниця Рі, останній член являє собою суму боргу S = P + P · i · n.

Сума, що накопичилась до кінця строку, складається з двох елементів — початкової суми боргу та відсотків:

S = P + I,

де І = P · i · n.

Процес нарощення суми боргу за простими відсотками являє собою лінійну залежність нарощеної суми S від строку позички, що продемонстровано на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Процес нарощення суми боргу за простими відсотками

З формули простих відсотків та графіка видно, що сума відсотків прямо пропорційно залежить від початкової суми позички, ставки відсотків і строку позички. Нарощена сума визначається множенням початкової суми позички на множник нарощення, який показує, у скільки разів нарощена сума більша за початкову. Формула розрахунку множника нарощення залежить від виду використовуваної відсоткової ставки та умов нарощення. Якщо при цьому використовується проста відсоткова ставка, то нарощену суму позички визначають за такою формулою:

S = P + I = P (1 + ni).

Величину S називають нарощеною сумою платежу, наведену формулу — формулою нарощення за простими відсотками, а множник (1 + ni) — множником нарощення.

Приклад 1. Видано кредит у сумі 1000 грн. на строк 2 роки під 5 % річних. Необхідно визначити відсоток, який отримує кредитор, та суму, яку боржник виплатить наприкінці строку.

Розв’язання. Спочатку визначимо величину відсотка

І = P · i · n = 1000 · 0,05 · 2 = 100 грн.,

а потім нарощену суму S = P + I = 1000 + 100 = 1100 грн.

Цю задачу можна розв’язати також іншим способом:

S = P (1 + n · i) = 1000 (1 + 2 · 0,05) = 1100;

I = S – P = 1100 – 1000 = 100 грн.

Якщо ставка відсотків змінюється з часом, тоді формула нарощення за простою фіксованою змінною ставкою розраховується таким чином:

де i_k — ставка простих відсотків для періоду k; n_k — тривалість періоду k.

Приклад 2. Яка буде нарощена сума позички, якщо в угоді передбачається за перші два роки нарахування 10 % річних, а в наступні два роки ставка простих відсотків збільшується кожні півроку на 1 відсотковий пункт. Початкова сума позички дорівнювала 1000 грн.

Розв’язання.

Як правило, прості відсотки використовуються в короткострокових фінансово-кредитних операціях, тобто коли строк позички не перевищує одного року. Оскільки строк позички менше одного року, а відсоткова ставка встановлюється у розрахунку на один рік, виникає необхідність визначити, яка частина відсотків має бути заплачена кредитору. Якщо q — кількість днів користування грошима протягом року; К — кількість днів у році (база року), тоді строк користування грошима в роках n можна подати таким чином:

Величини q та К можуть набувати різних числових значень. Кількість днів позички (q) обчислюють точно за календарем або приблизно, коли вважають, що місяць незалежно від того, скільки днів було за календарем, дорівнює 30 дням.

Це стосується також і бази для нарахування відсотків, тобто кількості днів у році. Кількість днів у році можна розрахувати точно, тобто за календарем (365 або 366 днів), або приблизно, коли вважають, що рік дорівнює 360 днів. Якщо рік складається з 360 днів, то у даному разі розраховують звичайні або комерційні відсотки. Якщо рік дорівнює кількості днів за календарем, то обчислюють точні відсотки.

Різні значення q та К приводять до різних результатів у нарахуванні простих відсотків. Для короткострокових фінансово-кредитних операцій в такому разі можна використовувати формулу простих відсотків:

Тут можливі три варіанти розрахунку відсотків:

а) звичайні відсотки з приблизною кількістю днів позички, коли q має приблизне значення, а К = 360 днів. Такий метод нарахування відсотків дістав назву німецької методики нарахування відсотків. Він використовується, коли не потрібно великої точності при нарахуванні відсотків;

б) комерційні відсотки, коли q точне, а К дорівнює 360 днів. Цей метод нарахування відсотків найчастіше застосовують при обліку векселів та інших операціях у комерційних банках. Цей метод нарахування відсотків іноді називають банківським, або французьким;

в) точні відсотки з точною кількістю днів позички, коли q точне, а К = 365 днів. Цей метод дає найточніші результати. На практиці цей метод дістав назву англійський метод нарахування відсотків.

Іноді прості відсотки можуть використовуватися не лише при короткострокових, а й довгострокових операціях, коли відсотки нараховуються у споживчому кредиті, що, як правило, надається на кілька років.

При споживчому кредиті виникає проблема визначення величини разового погашувального платежу. Він визначається, виходячи з суми кредиту і величини нарахованих відсотків. Погашення суми кредиту разом з нарахованими відсотками відбувається рівними частинами протягом всього строку кредиту. Величина погашувального платежу (q) обчислюється за формулою:

де Р — ціна товару або сума кредиту; m — кількість платежів на рік; n — строк кредиту у роках; і — проста річна ставка відсотків, під яку надано кредит; q — сума одного платежу при погашенні.

Застосовуючи таку методику погашення кредиту, фактична сума боргу постійно зменшується, а відсотки залишаються постійними протягом усього строку. У даному разі дійсна відсоткова ставка за споживчим кредитом виявляється більшою, ніж ставка за умовами кредиту.

10.3. Дисконтування та облік
за простими відсотками

У деяких випадках залежно від умов фінансової угоди постає завдання визначення початкової суми боргу за заданою нарощеною сумою боргу S, відсотковою ставкою і і строком позички n. Проблема полягає в тому, що за відомою сумою S, яку необхідно сплатити через деякий час n, необхідно визначити суму отриманої позички Р. Операцію такого характеру в фінансових розрахунках називають дисконтуванням, а різницю між нарощеною сумою S і початковою величиною Р — дисконтом.

Якщо відсотки утримуються безпосередньо при видачі позички, тоді застосовується облікова ставка. При використанні облікової ставки при видачі позички головним завданням є визначення початкової суми боргу (Р) або суми на будь-яку дату до моменту сплати нарощеної суми (S).

У такому разі вважають, що сума дисконтується, а різницю
S – P = D називають дисконтом.

Необхідність визначення P за S виникає під час купівлі банком векселів.

Існує два види дисконтування:

1) математичне дисконтування;

2) банківський облік.

До математичного дисконтування вдаються в тих випадках, коли за заданими S, n та i необхідно знайти Р.

де — дисконтний множник.

Приклад 3. Необхідно визначити, яку суму видасть кредитор і суму дисконту, якщо через три місяці з моменту видачі кредиту боржник уплатить кредитору 1025 грн. Кредит надано під 10 % річних.

Розв’язання:

грн.

Величина дисконту D = S – P = 1025 – 1000 = 25 грн.

Величину Р, якщо вона знайдена за S, називають дисконтованою величиною S, або сучасною величиною платежу S, або теперішньою вартістю.

Банківський, або комерційний, облік полягає в тому, що банк до кінцевої дати платежу за векселем або іншому короткостроковому зобов’язанню купує його у власника і бере на себе весь ризик по отриманню грошей. При цьому ціна, за якою банк купує вексель, повинна бути менша за ціну, що вказана на векселі. Таким чином, банк, продав його векселедавцю, отримує дохід, реалізуючи тим самим дисконт.

Необхідність визначення дисконту виникає при різних фінансових операціях, зокрема обліку векселів та інших короткострокових зобов’язань. При цьому звичайно застосовують не математичний, а банківський облік. Згідно з цим методом відсотки за користування позичкою розраховуються з суми, що належить виплаті в кінці строку позички. Ставка, за якою нараховані відсотки, називається обліковою, або дисконтною (d). Річні облікові ставки розраховуються за такою формулою:

тоді як

звідси P = S (1 – nd).

Дисконт P = S – D = S – Sdn = S (1 – nd).

Величину (1 – nd) називають дисконтним множником, який показує, у скільки разів початкова величина Р менше за нарощену величину S.

Дисконтування за обліковою ставкою здійснюється, як правило, за умови, що рік дорівнює 360 днів, а кількість днів у періоді точна, тобто місяць дорівнює 30 дням, незалежно від кількості днів у місяці за календарем.

Необхідно враховувати таку властивість простих облікових ставок: при n > 1/ d величина Р буде від’ємною.

Приклад 4. Необхідно знайти при обліку векселів суму, яку банк виплатить власнику, якщо останній врахував його в банку 15 жовтня. Вексель було надано на суму 1000 грн. з оплатою 15 листопада. Облікова ставка 10 %.

Розв’язання: грн.

З цієї суми банк може утримувати і комісійні за проведення операції.

Якщо необхідно на основі облікової ставки визначити суму, яку потрібно поставити в бланку векселя, тоді на основі початкової величини та облікової ставки визначають нарощену суму.

Формула нарощення за обліковою ставкою має такий вигляд:

де коефіцієнт 1/(1 – nd) є множником нарощення, в основу якого покладена облікова ставка.

Приклад 5. Необхідно визначити суму, яку потрібно поставити в бланку векселя за умови, що строк векселя 3 місяці, облікова ставка — 10 %, під вексель надається 1000 грн.

Розв’язання: грн.

Еквівалентність ставки відсотків і облікової ставки:

Показники	Ставка відсотків	Облікова ставка
Нарощення	S = P (1 + ni)
Визначення початкової суми		P = S (1 – nd)
Відсоток, дисконт	I_i = S – P = Pni	D_d = S – P = Snd

10.4. Визначення тривалості позички
і рівня відсоткових ставок

Часто при укладанні кредитних угод виникає необхідність визначення строку, на який може бути надано позичку при відомій початковій величині, сумі, яку необхідно погасити в кінці строку, та рівні відсоткової ставки.

Для визначення строку позички і рівня відсоткових ставок використовуються такі формули:

Приклад 6. Визначити, яку облікову ставку застосував банк, заплативши 1240 грн. під час обліку векселя, викупна ціна якого 1300 грн. Термін платежу за векселем настає через 4 місяці.

Розв’язання: , або 13,85 %.

Приклад 7. Кредит надано в сумі 1000 грн. Відсоткова ставка 10 % річних. Нараховуються прості відсотки. У кінці строку боржник поверне суму в розмірі 1040 грн. Необхідно визначити, на який строк буде надано цей кредит.

Розв’язання: роки.