Швидкість зростання за складними і простими відсотками

Нарахування складних річних відсотків

У довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсотки не виплачуються відразу після їх нарахування, а приєднуються до суми боргу, для нарощення суми позички застосовуються складні відсотки. База для їх нарахування не залишається постійною; вона збільшується з кожним кроком у часі на величину приєднаних відсотків, нарахованих у поперед­ньому періоді, а процес зростання початкової суми позички прискорюється.

Приєднання нарахованих відсотків до суми, яка була базою для їх визначення, називають капіталізацією відсотків.

Якщо відсотки нараховуються один раз наприкінці року, то в кінці першого року нарощена сума дорівнює Р + Р · і, в кінці другого року — Р (1 + і) + Р (1 + і) і = Р (1 + і)², до кінця третього року — Р (1 + і)³. Цей ряд являє собою геометричну прогресію Р, Р (1 + і), Р (1 + і)², Р (1 + і)³, …, перший член якої дорівнює почат­ковій величині позички Р, а знаменник — (1 + і).

Нарощена сума — це член геометричної прогресії у відповідному році нарощення. Для n -го року нарощення член геометричної прогресії матиме вигляд Р (1 + і) ⁿ, який відповідає нарощеній сумі наприкінці строку позички.

Отже, нарахування складних відсотків здійснюється за такою формулою:

,

де S — нарощена сума платежу (боргу), P — початкова сума боргу, i — складна відсоткова ставка, n — число періодів нарахування відсотків.

Величину (1 + і) ⁿ називають множником нарощення. Значення множника нарощення для цілих чисел n і і наведено в додатку 1.

Приклад 1. Кредит надано в сумі 1000 грн. на 5 років за складною ставкою відсотків 10 % річних. Визначити, яку суму повинен повернути боржник наприкінці строку позички.

Розв’язання: S = P (1 + i) ⁿ = 1000 (1 + 0,1)⁵ = 1610,5 грн.

Якщо передбачаються зміни у часі, але застосовуються фіксовані (змінні) ставки відсотків, то формула нарощення за складними відсотками матиме такий вигляд:

S = P (1 + i ₁) ^{n 1}(1 + i ₂) ^{n 2}… (1 + i_k) ^nk,

де i ₁, i ₂,..., i_k — послідовні значення ставок відсотків; n ₁, n ₂,..., n _k — періоди, протягом яких здійснюється нарахування за відповідними ставками.

Приклад 2. Відсоткова ставка за позичкою визначена на рівні 8,5 % плюс надбавка 0,5 відсоткових пункта в перші два роки і 0,75 відсоткових пункта — у наступні три роки.

Розв’язання: Множник нарощення у даному разі буде 1,09²1,0925³ =
= 1,549.

Швидкість зростання за складними і простими відсотками

Використання у фінансових розрахунках прос­тих і складних відсотків дає неоднакові результати, відмінність між якими зумовлена строками позичок. Співвідношення значень множників нарощення дає можливість порівняти процеси нарощення за різними ставками відсотків, але при абсолютно однакових величинах.

Процес нарощення боргу за складною ставкою відсотків відбувається швидше, ніж за простою ставкою відсотків, коли строк нарахування перевищує рік (n > 1). Якщо строк користування грошима n £ 1, то прості відсотки дають більший результат. Це випливає також з математичного доведення нерівностей: якщо n > 1, то 1 + i_nn < (1 + i_c) ⁿ; n = 1, то 1 + i_nn = (1 + i_c) ⁿ; якщо n < 1, то 1 + i_nn > (1 + i_c) ⁿ. При цьому слід враховувати однакову базу року у розрахунках.

Графічно процеси нарощення за складними та простими відсотками зображено на рис. 11.1.

Рис. 11.1. Процеси нарощення за складними
та простими відсотками

Криві нарощення за простими та складними відсотками перетинаються в точці, де строк позички дорівнює одному року або одному періоду нарахування відсотків, тобто n = 1 1 + i_nn = (1 + i_c) ⁿ. Порівнюючи процеси нарощення за складними та простими ставками відсотків можна дійти висновку, що прості відсотки кредитору вигідно застосовувати при наданні короткострокових позичок, а складні — при наданні довгострокових.

Формули подвоєння

Іноді виникає ситуація, коли ми маємо певну суму грошей, але потрібна в майбутньому сума грошей в n разів більша. Необхідно визначити, за скільки років (періодів) початкова сума збільшиться у n разів, якщо відома величина банківського відсотка та умови інвестування грошей. Для того, щоб розв’язати цю задачу, використовують так звані формули подвоєння, які допомагають визначати кількість років, за які початкова сума позички збільшиться у 2 (або в n) разів.

Загальний випадок, коли необхідно визначити число років, протягом яких початкова сума збільшиться в n разів:

а) для простих відсотків (1 + ni_n) = N ;

б) для складних відсотків (1 + i_c) ⁿ = N .

N = 2;

а) подвоєння за простими відсотками:

б) подвоєння за складними відсотками:

.

Нарахування відсотків
при дрібному числі років

У випадках, коли n не є цілим числом, тобто складається з цілої й дробової частин, нарощення визначається двома способами: за формулою нарощення складних відсотків і на основі змішаного методу, згідно з яким за ціле число років нараховуються склад­ні відсотки, а за дробове — прості:

S = P (1 + i) ^a (1 + bi),

де n = a + b, a — ціле число років, b — дробова частка року.

Приклад 3. Кредит у розмірі 30 тис. грн. надано на строк 3 роки і 160 днів. Якщо обумовлена в контракті ставка дорівнює 6,5 % і перед­бачено змішаний метод нарахування відсотків, то сума боргу на кінець строку становитиме:

S = 30000 1,0653(1 + 160/365 0,065) = 37271 грн.

За формулою нарощення складних відсотків

S = 30000 1,065³ 1.065^160/365 = 37252 грн.

11.2. Номінальна та ефективна
ставки відсотків

Як правило, прийнято капіталізувати відсотки не раз, а кілька разів на рік. Число разів нарахування відсотків на рік позначимо літерою m. Річна ставка відсотків, яка називається номінальною, позначається j. Тоді в кожному окремому періоді нараховується j / m — ставка відсотків. Нарощену суму визначають за формулою:

S = P (1 + j / m) ^mn.

Приклад 4. Кредит надано в розмірі 1000 грн. на 5 років під 12 % річних. Відсотки на суму боргу нараховуються щомісячно. Необхідно визначити величину боргу наприкінці строку позички.

Розв’язання: S = P (1 + j / m) ^mn = 1000 (1 + 0,12/12)^12·5 = 1816,7 грн.

Збільшення m призводить до більш швидкого процесу нарощення. Це відбувається тому, що відсотки нараховуються частіше і реальний відносний дохід, який отримує кредитор, виявляється більшим, ніж номінальна ставка відсотків. Для того, щоб виміряти ефективність цієї операції, використовують ефективну, або дійсну, ставку відсотків, яка відображає той реальний дохід, який одержують від однієї грошової одиниці на рік. Ця ставка також показує, яка річна ставка надає той самий фінансовий результат, що і m -разові нарахування на рік за ставкою j / m.

Ефективну ставку можна знайти, виходячи з її визначення. Оскільки вона призводить до того ж фінансового результату, що і ставка j / m при m -разовому нарахуванні відсотків на рік, то множники нарощення по цих ставках повинні бути рівні.

Отже, можна записати таке рівняння:

(1 + і) ⁿ = (1 + j / m) ^{n · m} .

Звідси — ефективна ставка відсотків визначається за такою формулою:

I = (1 + j / m) ^m – 1.

Приклад 5. Номінальна ставка 6 % річних, відсотки нараховуються кожні півроку. Визначити ефективність цього процесу нарощення.

Розв’язання: i = (1 + j / m) ^m – 1 = 1,03² – 1 = 6,09 %.

Це означає, що позичка, яка надана під 6 % річних за умови, що відсотки нараховуються два рази на рік, принесе кредитору відносний дохід у розмірі 6,09 % на рік. Заміна в договорі номінальної ставки j при нарахуванні відсотків m разів на рік на ефективну ставку i не змінює фінансових зобов’язань сторін, які беруть участь у договорі, тобто учасникам фінансової угоди байду­же, яку використовувати ставку: або 6,09 % при нарахуванні відсотків один раз на рік, або 6 % при нарахуванні відсотків один раз на рік.

Якщо необхідно визначити на основі ефективної номінальну ставку, то можна використати таку формулу:

j = m ((1 + i)^{1/ m} – 1).

Ця ситуація може виникнути тоді, коли кредитор хоче отримати дохідність за рік у розмірі і і нараховуються відсотки m разів на рік. Тоді йому необхідно проставити в угоді річну ставку відсотків j.