БЛОК 3
Б3. 6. Операторы в нормированном пространтсве
ОПР1. Линейное пространство L называется нормированным, если любому его элементу x поставлено в соответствие число, называемое нормой и обозначаемое 
, причем при этом выполнены следующие условия:
Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние 
. Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств 1) – 3) нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все понятия и факты, которые были изложены для метрических пространств.
ОПР. Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.
ОПР: Оператором называется отображение 
где 
- некоторые пространства.
Область определения оператора 
- множество, на котором задано действие оператора, область значений оператора 
.
Обычно мы будем иметь дело со случаем H=G.
ОПР: Операторы 
называются равными, если:
ОПР: Оператор 
называется расширением А, а А – сужением (обозначается 
), если: 
ОПР: Оператор А называется непрерывным в точке 
если для всякого 
найдется такое 
, что 
если 
ОПР: Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке D (A).
ОПР: Линейный оператор –это многомерный аналог функции одной переменной, графиком которой служит прямая, проходящая через начало координат, то есть функций 
для некоторого 
.
ОПР: Оператор L с областью определения D (L) называется линейным, если для всех 
и всех 
:
.
Многие и весьма разнообразные уравнения представимы в виде 
Где L – линейный оператор.
Пусть А – линейный оператор. Будем говорить, что А имеет обратный, если для каждого 
существует точно одно 
, такое что 
. При этом под обратным понимается оператор с областью определения 
и множество значений D (A), заданный соотношением 
где .
Вопрос существования обратного оператора – это вопрос об условиях разрешимости операторного уравнения (*)
В конечномерном случае эти условия формулировала альтернатива Фредгольма.
Теорема Фредгольма (альтернатива).
Если уравнение 
имеет только тривиальное решение, то уравнение (*) разрешимо единственным образом при любой правой части.
Теорема Фредгольма.
Если уравнение имеет нетривиальное решение, то (*) разрешимо (заведомо не единственным образом) тогда и только тогда, когда 
ортогональна всем решениям сопряженной однородной задачи.
Линейный оператор А называется ограниченным, если существует 
такое, что для любого : 
.
Точная нижняя грань inf (С) всех чисел С,для которых выполняется это неравенство, обозначается 
и называется нормой оператора. Равносильное определение таково:
. 
Приведем несколько свойств ограниченных операторов.
Лемма 1. Если линейный оператор непрерывен в некоторой точке , то он непрерывен на D (A).
Лемма 2. Для линейных операторов непрерывность равносильна ограниченности.
Пример неограниченного оператора.
. Пусть 
Для ограниченного оператора существует 
, следовательно, доказывать можно “от противного “.
Доказано.
Б3. 7. Непрерывные и ограниченные операторы
Определение: Оператор 
ограничен, если 
.
Определение: Оператор непрерывен в точке 
, если 
.
Теорема: Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. Доказательство:
1. 
— ограничен, значит, 
.
А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
2. Пусть — непрерывен на X, в частности, в 
, тогда:
Подставляем в определение 
§ Для 
условие ограничения будет соблюдено при любом 
.
§ Для  рассмотрим  
Но  . Значит,  , таким образом, 
|
Выберем 
, и получим, что оператор ограничен.
