Б3. 8. Компактные операторы

Б3. 1,2,3,4,5.

Б3. 6. Операторы в нормированном пространтсве

Б3. 7. Непрерывные и ограниченные операторы

Пусть X,Y – некоторые линейные пространства, множество .

Опр. Если каждому элементу x Î D можно поставить в соответствие определенный элемент yÎY, то говорят, что задан оператор , при этом, множество D – область определения оператора F: D(F).

Опр. Множество называется областью значений оператора F, элемент y называется образом элемента x, элемент x называется прообразом.

Опр. Два оператора и называются равными, если и если .

Опр. Оператор называется взаимнооднозначным, если каждому образу отвечает единственный прообраз , при этом .

Опр. Если - взаимнооднозначный оператор, то полностью определяет оператор , для которого и .

Опр. Элемент называется пределом оператора при , если .

Опр. Оператор , определенный в окрестности точки , называется непрерывным в точке , если .

Опр. Пусть - оператор с нормированные пространства. Оператор называется ограниченным, если он переводит всякое ограниченное множество из во множество ограниченное в .

Опр. Оператор с областью определения и областью значений называется линейным, если:

1) - линейное многообразие; 2) .

Опр. Линейный оператор с называется ограниченным, если он ограничен на единичном шаре , т.е. если ограничена величина С другой стороны, если ограничен, то для которой выполняется:

Теорема: Оператор A ограничен тогда и только тогда, когда выполняется оценка , .

Доказательство: При x = 0 справедливость (2) очевидна.

Пусть . Рассмотрим элемент , .

Поэтому, из (1) следует, что , значит, . Так как норма аддитивна, а оператор А линеен, то получаем: .

Если верно (2), то тогда в замкнутом шаре .

Значит, оператор ограничен.

Следствие: Если - ограничен, то он ограничен на любом шаре.

Теорема (Об эквивалентности понятий ограниченности и непрерывности линейного оператора): Пусть , - банаховы пространства. Область определения оператора - . Для того, чтобы был непрерывен необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

Доказательство: Пусть непрерывен. Предположим, что - неограничен. Значит, будет неограниченно: "n $ с нормой , такой что . Введем элемент .

При этом . А из непрерывности следует, что

Противоречие доказывает теорему.

Пусть ограничен, значит, выполнено (2) и при . Т.е. получим, что непрерывен в точке и, значит, - непрерывен на .

Обратные операторы

Опр. Множество x ÎD(A) называется ядром оператора A.

всегда содержит нулевой элемент.

Теорема 1: Оператор A – взаимнооднозначный тогда и только тогда, когда .

Теорема 2: оператор существует и ограничен на тогда и только тогда, когда для m >0 и " xÎD(A) выполняется равенство

Доказательство:

Пусть существует и ограничен на . Это значит, что существует c > 0 "yÎR(A) будет выполняться (из определения ограниченности). Т.к. , то получаем формулу (1).

Если выполняется (1), то , если . Покажем, что

По теореме 1 существует , который однозначно действует из R(A) в D(A). Если в (1), получим ограниченность на R(A).

Опр. Линейный оператор называется непрерывно обратимым, если , оператор A обратим и , т.е. ограничен.

Теорема 3: Оператор A непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A) = Y и для m > 0 и "xÎD(A) выполняется (1).

Теорема 4: Если A – линейный ограниченный оператор, . - банаховы пространства и оператор A взаимнооднозначный, тогда ограничен.

 

Б3. 8. Компактные операторы