Задачи для самостоятельного решения. 1. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости.

1. Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

Ответ. .

2. Найти точку пересечения прямых , .

Ответ. .

3. Найти расстояние между прямыми

Ответ. 1.

4. Доказать, что прямые

пересекаются. Найти точку пересечения. Записать уравнение плоскости, в которой лежат эти прямые.

Ответ. (2,2,1); .

5. Через точку провести прямую, перпендикулярно Ox и прямой

Ответ. .

6. Через точку провести прямую, пересекающую прямую и параллельную плоскости .

Ответ. .

7. В уравнениях прямой определить параметр так, чтобы эта прямая пересекалась с прямой и найти точку пересечения.

Ответ. , .

8. Вычислить расстояние между параллельными прямыми и .

Ответ. .

9. В плоскости yOz найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную прямой

Ответ. .

10. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

Ответ. .

11. Найти расстояние между прямыми и .

Ответ. 7.

12. Через точки и проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

Ответ. (9,–4,0), (3,0,–2), (0,2,–3).

13. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой

Ответ. .

14. Доказать перпендикулярность прямых:

1) и

2) и

15. Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями

и .

Ответ. .

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К УРАВНЕНИЮ

ПЛОСКОСТИ И УРАВНЕНИЯМ ПРЯМОЙ

1. Угол между прямой

и плоскостью

определяется по формуле

. (4.1)

Рис. 2.22

2. Условия принадлежности прямой (14) к плоскости (2):

(4.2)

3. Условие параллельности прямой и плоскости:

или . (4.3)

4. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

или . (4.4)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 4.1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

Решение. За направляющий вектор прямой можно принять нормальный вектор плоскости . Искомая прямая будет иметь уравнения .

Ответ. .

Задача 4.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Решение. За нормальный вектор плоскости можно принять направляющий вектор данной прямой, тогда уравнение запишется в виде (8.1): ; .

Ответ: .

Задача 4.3. Найти проекцию точки на прямую .

Рис. 2.23

Решение. Построим вспомогательную плоскость, проходящую через точку

перпендикулярно данной прямой, то есть нормальный вектор плоскости имеет вид:

, а уравнение плоскости

(рис. 2.23). Точка

– точка пересечения построенной

плоскости и данной прямой и будет являться искомой проекцией точки P на прямую. Для нахождения точки пересечения решим систему

Из последнего уравнения: при , получим . Проекция точки на прямую имеет координаты (3,–2,4).

Ответ: (3,–2,4).

Задача 4.4. Найти точку Q, симметричную точке относительно плоскости .

Решение. Построим прямую, проходящую через точку перпендикулярно плоскости . Уравнения этой прямой имеют вид (8.13): . Основанием этого перпендикуляра будет точка пересечения прямой и плоскости. Найдём её, решив систему

Отсюда и основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость. Искомая точка Q лежит на той же прямой, причём , но , значит , отсюда . Итак, .

Ответ. .

Задача 4.5. Доказать, что прямые

лежат в одной плоскости и составить уравнение этой плоскости.

Решение. Если прямые лежат в одной плоскости (компланарны) и не параллельны, то они пересекаются. Условие пересечения двух прямых имеет вид (8.17). В нашем случае , , , , тогда

, ,

т.е. прямые не параллельны.

Найдём нормальный вектор искомой плоскости. Поскольку он перпендикулярен векторам и , то его можно представить как векторное произведение:

При записи уравнения может быть взята любая из точек или : , .

Ответ. .

Задача 4.6. Составить параметрические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям и пересекает прямые

Решение. Найдём направляющий вектор искомой прямой. Так как перпендикулярен и , то за вектор можно принять вектор, коллинеарный векторному произведению и :

то есть .

Прямая не является параллельной ни одной координатной оси, поэтому одну из координат точки можно задать произвольно, например, . Найдём точку из условий пересечения искомой прямой с каждой из двух заданных прямых имеет вид (3.9). Выпишем их в нашем случае: сначала условие пересечения прямой с направляющим вектором , и прямой , , а затем прямой , и прямой , . Получим систему уравнений относительно и