СD<AB (АВ және СD кесінділері)
Өлшем бірлігі ретінде кіші кесіндіні аламыз. А нүктесінен бастап АВ кесіндісін СD кесіндісі арқылы өлшейміз. Өлшеу СD кесіндісінен кіші РВ кесіндісі қалғанша жүргізіледі.
Нәтижесінде РВ < СD кесіндісін аламыз. СD кесіндісін бірдей 10 бөлікке бөлеміз. Оның оннан бір бөлігін РВ кесіндісінде өлшейміз.
Өлшеу СD кесіндісінің 
бөлігінен кіші Р1В кесіндісі қалдық болып қалғанша жүргізіледі. Сурет бойынша Р1В кесіндісі СD кесіндісінің бөлігін бес рет өлшегенде шығады. Жаңа Р1В кесіндісін СD кесіндісінің 
бөлігінен кіші Р2В кесіндісі қалдық болып қалғанға дейін СD кесіндісінің бөлігімен өлшейміз. Өлшеуді осылай жалғастыра беруге болады. Мұндай өлшеу нәтижесінің үш жағдайы бар.
1-жағдай. Өлшеу қандай да бір қадамда аяқталып, нәтижесінде рационал сан шығады.
2-жағдай. Өлшеу шексіз жалғасады және нәтижесінде шексіз периодты ондық бөлшек шығады.
3-жағдай. Өлшеу шексіз жалғасады, нәтижесінде шексіз периодты емес ондық бөлшек шығады.
1-мысал. Рационал сандардың арасында квадраты 2-ге тең санның болмайтынын дәлелдейік.
Д/еу: Қарсы жоримыз. Яғни сондай сан бар дейік. Ол санды 
қысқартылмайтын бөлшек түрінде жазамыз. Екінші дәрежеге шығарамыз. 
=2 немесе 
. 2n2 –жұп сан, демек m2 саны да жұп сан. Ендеше m санының өзі де жұп болғаны. m жұп санын m=2k (к бүтін сан) түрінде жазуға болады. Енді осы мәнді теңдігіне қойсақ, (2k)2 
немесе 
немесе 
аламыз. 2k2 саны жұп сан, ендеше n2 саны да жұп. Нәтижесінде бөлшегінің алымы және бөлімі жұп сандар болады, яғни бөлшек қысқартылады. Бұл бөлшегінің қысқартылмайтын бөлшек екенінен қайшы. Демек, квадраты 2-ге тең рационал сан бар деген жорамал қате.
А-ма: Кез келген шекті периодты емес ондық бөлшек иррационал сан деп аталады.
Мысалы: πсаны.
А-ма: Барлық рационал және иррационал сандар нақты сандар жиынын құрайды.
Нақты сандар жиынын сан түзуі деп атайды. Координаталық түзу – сан түзуінің геометриялық моделі. Нақты сандардың геометриялық кескінін көрсету үшін түзу жүргізіп, ол түзуде: 1)оң бағыт, 2) санақ басы, 3) бірлік кесінді алынады. Осылайша салынған түзу сан осі деп аталады.
IV. Жаңа материалды түсінгенін тексеру.
№1, №2, № 5, №6
V. Қорытынды
1. Рационал сан дегеніміз?
2. Иррационал сан деген не?
3. Нақты сандар деген не?
VI. Үй жұмысы. №3, №4
VII. Бағалау.
Алгебра 9сынып
Мерзімі:
Сабақтың тақырыбы: “Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу ”
Сабақтың мақсаты: а) білімділік: Оқушыларды екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуді шешуге
үйрету;
ә) дамытушылық: Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу, сызықтық функция
ұғымдарын дамыту;
б) тәрбиелік: Оқушыларды шыдамдылыққа тәрбиелеу.
Сабақтың түрі: Жаңа сабақ
Көрнекі құрал-жабдықтар:
Әдіс тәсілдер: баяндау, есептер шығару
Сабақтың барысы:
1.Ұйымдастыру кезеңі
2. Үй тапсырмасын тексеру
3. Жаңа материалды түсіндіру
Анықтама. 
(1) түріндегі теңдеуді екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу деп атайды, мұндағы 
-айнымалылар, 
- нақты сандар және 
мен 
бір мезгілде нөлге тең емес.
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуге мысал ретінде 
т.с.с келтіруге болады. Ал 
теңдеуі екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу болмайды, себебі бірінші қосылғыштағы айнымалының дәреже көрсеткіштерінің қосындысы 2-ге тең.
Мысал. Екі көршіде 15 жылқы болған. Әрқайсысында неше жылқыдан болған?
Шешуі. 
Бірінші көршіде 1 жылқы болса, екіншісінде 14, бірінші көршіде 2 жылқы болса, екіншісінде 13жылқы болады, осылай кете береді. Нәтижесінде біз 
айнымалыларының келесі шекті жиынын табамыз:
Анықтама. Теңдеуді қанағаттандыратын кез келген сандар жұбы екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің шешімі деп аталады.
Теорема. Егер теңдеудің екі жағына да бірдей санды немесе айнымалылардың барлық мағынасында мәндері болатын өрнекті қоссақ, онда берілген теңдеуге мәндес теңдеу шығады.
1-салдар. Егер теңдеудің екі жақ бөлігінде де бірдей сандар бар болса, онда оларды ескермеуге болады.
2-салдар. Теңдеудің кез келген қосылғышын оның бір жақ бөлігінен екінші жақ бөлігіне қарама-қарсы таңбамен көшіруге болады.
Теорема. Егер теңдеудің екі жақ бөлігін де нөлден өзгеше санға немесе айнымалының кез келген мәнінде нөлге тең емес және мағынасы болатын өрнекке көбейтсе, онда берілген теңдеуге мәндес теңдеу шығады.
1-салдар. Теңдеудің екі жақ бөлігін де – 1-ге көбейтіп, оның барлық мүшелерінің таңбаларын қарама-қарсы таңбаға өзгертуге болады.
2-салдар. Бөлшек коэффициенттері бар теңдеудің екі жақ бөлігін де бөлшек коэффициенттердің ортақ бөліміне көбейтіп, бүтін коэффициентті мәндес теңдеуге өзгертуге болады.
4. Есептер шығару
№11
1) 
2) 
№12
1) 
2) 
№13
5. Сабақты қорытындылау
6. Оқушыларды бағалау
7. Үйге тапсырма: №1-6
Алгебра – 10
Мерзімі:
Сабақтың тақырыбы: “Функция, Сандық функция ның анықталу облысы, мәндер
облысы.Функцияның берілу тәсілдері ”
Сабақтың мақсаты: а) білімділік: Оқушыларға функция туралы ұғым беру, функцияның анықталу
облысы, мәндерінің облысы туралы толық түсінік беру;
ә) дамытушылық: Функция, функцияның анықталу облысы, мәндерінің облысы,
екі айнымалысы бар теңдеу ұғымдарын дамыту;
б) тәрбиелік: Оқушыларды графиктерді сауатты сыза білуге тәрбиелеу.
Сабақтың түрі: Жаңа сабақ
Көрнекі құрал-жабдықтар:
Әдіс тәсілдер: баяндау, есептер шығару
Сабақтың барысы:
1.Ұйымдастыру кезеңі
2. Үй тапсырмасын тексеру
3. Жаңа материалды түсіндіру
Анықтама. Кез келген жағдайда, тек қана бір сандық мәнді ғана қабылдайтын шаманы абсолют тұрақты шама деп атайды.
Мысалы, кез келген үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 
-қа тең.
Анықтама. Берілген жағдайда ғана тұрақты, толық анықталған сандық мәнін сақтайтын тұрақты шаманы параметр деп атайды.
Анықтама. Әртүрлі сандық мәндер қабылдайтын шаманы айнымалы шама деп атайды.
Анықтама. Х жиынындағы х-тің әрбір мәніне 
жиынының нақты бір 
мәнін сәйкес қоятын ереже немесе заңдылық функция деп аталады.
Функцияны 
, 
, 
және т.с.с. белгілейді.Мұндағы х-тәуелсіз айнымалы немесе аргумент, у-тәуелді айнымалы немесе функция; 
-заңдылық.
4. Есептер шығару
№9
а) 
ә) 
б) 
в) 
№10 а) 
ә) 
б) 
в) 
№11
а) 
ә) 
б) 
в) 
№13
Тиісті емес Тиісті Тиісті емес Тиісті емес
5. Сабақты қорытындылау
6. Оқушыларды бағалау
7. Үйге тапсырма: №1-3,4-6
Сабақ-1
Сабақтың тақырыбы:Қайталау. Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру.
Сабақтың мақсаты: Тригонометриялық функциялардың қасиеттері мен формулаларын өрнектерді түрлендіру барысында қолдану әдістерін пысықтау. Ұлттық бірыңғай тестілеуде жиі қолданылатын тригонометриялық тепе-теңдіктер мен келтіру формулаларын қолдану тәсілдерін қарастыру.
Сабақтың міндеттері:
· Тригонометриялық өрнектерді түрлендіріп, есептер шығару барысында қолдана білу дағылары мен білімдіктерін қалыптастыру.
· Тригонометриялық формулалардың мән - мағынасын түсінуге, ғылыми сөйлеуге, оқылған материалды бекітудің әр түрлі әдіс - тәсілдерін қолдана отырып, оқушылардың сабаққа деген құштарлығын, есте сақтау қабілеттерін дамыту.
· Ойларын жинақылықпен, тиімді жеткізе білуге, ұқыптылықпен орындауға, жеке тұлға қасиеттеріне баулу.
Сабақтың көрнектілігі: Интерактивті тақта, деңгейлік тапсырмалар-карточкалар, тест тапсырмалары.
Сабақтың типі: қайталау, жүйелеу сабағы.
Оқыту әдісі: Деңгейлеп оқыту әдісінің кейбір элементтерін пайдалану.
«Математиканың өз тілі бар - ол формула»
С.В.Ковалевская
Сабақтың барысы:
1. Ұйымдастыру кезеңі (3 мин)
2. Өткенді пысықтау. (5 мин)
3. Негізгі формулаларды қайталау. Тапсырмаларды орындау.(20 мин)
4. Сабақты қорытындылау.(15 мин)
Үй тапсырмасын беру. (2 мин)
1. Ұйымдастыру кезеңі:
Сәлемдесу; жаңа оқу жылымен құттықтау; оқушылардың сабаққа дайындығын тексеру; сабақ мақсатымен таныстыру.
2. Өткенді пысықтау: а) Бірінші деңгей: оқушының деңгейдегі формулалардың сауатты оқылуы, талдай білуі. Оқушылар өздерінің білетін формулаларын тақтада жылдам, әрі дұрыс жазу керек.
ә) Интерактивті тақтаны пайдалана отырып, толық формулаларды қайталаймыз.
3. а) Екінші деңгей: алгоритмдік деңгей-ережені қолдану алгоритмін құрастыру, алгоритм бойынша есептер орындау.
І – ші деңгейлік тапсырма.
1) Егер 
және 
бұрышы IV ширекте жатпайтын болса, онда 
және 
ны табыңдар.
және II-ширекте жатпайтыны белгілі. 
және 
мәндерін табайық.
.
бұрышы ІІ ширекте жатпағандықтан (берілуі бойынша косинус мәні теріс сан болғандықтан, ол ІІІ ширекте жатады), синус функциясы теріс таңбалы болуы керек. Сондықтан сонғы нәтижесі ретінде синус үшін теріс мәнді аламыз, яғни 
. Демек, 
.
2) 
бұрышының барлық тригонометриялық функциясын аргументі 
-тан аспайтын функциямен ауыстырыңдар.
Ол үшін: 
деп жазайық.
Сонымен берілген бұрыш бір қосылғышы -тан аспайтын қосындыға ауыстырылды. Енді тригонометриялық функциялардың сүйір бұрышына арналған келтіру формулаларын қолданамыз. Сонда:
3)Өрнектің ең үлкен мәнін табыңдар: 
ең үлкен мәні 4.
ә) Үшінші деңгей: Эвристикалық деңгей – математикалық ұғымдарды салыстыра білу, ұғымдардың ортақ қасиеттерін жинақтай білу, айырмашылықтарын ажырата білу.
ІІ деңгейлік тапсырма.
1).Кіші оң таңбалы аргументке келтіріңдер:
А) 
Ә) 
а) , синус функциясының тақтығын ескереміз. Сонда 
ә) ең кіші оң аргументке келтіреміз. Ол үшін, алдымен 
ты түрлендірейік, яғни 
Сондықтан 
2) 
және 
; болса, онда қалған үш тригонометриялық функцияның мәндерін есептеңдер.
және 
біле отырып, 
мәндерін есептейік. бұрышы ІІ ширекке тиісті, өйткені ІІ ширекте синус функциясы оң таңбалы болып келеді. Енді 
тендігін қолдансақ, 
немесе 
болады. 
тепе-теңдігінен 
шығады.
тепе-теңдігін қолдансақ:
болады.
3) Есептеңдер: 
б) Төртінші деңгей: шығармашылық деңгей- алған білімді жүйелеу; яғни ұғымдардың бұрыннан белгілі және жаңа ақпараттарды айыра білу.
III-ші деңгейлік тапсырма:
1) Өрнектің мәнін табыңдар:
А) 
Ә) 
А) 
Ә) 
2) Егер 
және 
болса, онда және 
ны табыңдар.
және екенін біле отырып, және ны табайық.
бұрышы ІV ширекке тиісті болады. Өйткені ІV ширекте тангенс функциясы теріс таңбалы, ал косинус функциясы оң таңбалы. Енді және табамыз. Ол үшін:
тепе-теңдігін аламыз. Одан 
немесе 
Ал 
болады.
тепе –теңдігінен 
немесе 
аламыз.
3) және арқылы сәйкесінше 
ны өрнектеңдер.
ны және арқылы өрнектеу үшін синустың қос бұрышының формуласын екі рет қолданамыз:
Енді 
ны және арқылы өрнектейік. Ол үшін синус пен косинустың қос бұрышының формуласын қолданамыз. Сонда
4. Қорытынды. Әрқайсысы 5 тапсырмадан құрылған үш деңгейлік тапсырма интерактивті тақтада беріледі.
Белгіленген уақыттан соң, оқушылар бірін – бірі тексеру үшін жұмыстарын алмастырады
Тесттің жауаптары көрсетіледі.
Тексерушілер дұрыс жауапқа «+», қате жауапқа «-» таңбасын қояды.
Бағалау: Балдық шкала тақтада көрсетіледі. Әр оқушы өзіне баға қояды. Оның процентін есептеп бағасы қойылады. Бағалау балдық жүйемен жүргізіледі.
Деңгейлік тапсырма:
І деңгейлік тапсырма:
1) Өрнекті ықшамда: 
2) 
болса, 
ті тап.
3) Есепте: 
.
ІI деңгейлік тапсырма:
1) Өрнекті ықшамда: 
2) 
, 
деп алып, 
ні анықта.
3) Теңбе-теңдікті дәлелде: 
ІІI деңгейлік тапсырма:
1) Теңбе-теңдікті дәлелде: 
2) Өрнектің ең кіші мәнін тап:
3) Өрнекті ықшамда: 
Деңгейлік тестік тапсырма:
І деңгей:
1) 
өрнектің мәнін табыңыз.
а) 
; ә) 
; б)1; в) 
;
2) Өрнекті ықшамда: 
а) 
; ә) 
; б) 
; в)- ;
3) Өрнектің мәнін тап: 
а) 1; ә) 
; б) 
; в) 
4) Бөлшекті қысқартыңдар: 
а) 
; ә) 
; б) 
; в)1
5) 
Есепте: 
а) 
; ә) -0,5; б) 
; в) 2
ІІ деңгей:
1) 
деп алып 
өрнегінің мәнін тап.
а) -8; ә) 2; б) 4; в) 5
2) Өрнекті ықшамда: 
а) 
; ә)0; б)1; в) 3
3) Бөлшекті қысқарт: 
а) 
; ә) 
; б) 
; в) 
4) Есепте: 
а) 
; ә) - ; б) 
; в) 8
5) 
өрнегін 
түріне келтір.
а) 
ә)- б) 
в) 
ІІІ деңгей:
1) Өрнекті ықшамда: 
а) 
ә) 
б) - в) -
2) Өрнектің мәнін тап: 
а) 
ә) 
б) 
в) 
3) 
деп алып 
ні анықтаңдар.
а) 
ә) 
; б) 26; в) 1
4) Өрнекті ықшамда: 
а) 
; ә) ; б) 
; в)
5) Кестені қолданбай 
тің мәнін есепте.
а) 
; ә) 
; б) 
в) 1
Деңгейлік тестік тапсырманың жауаптары:
| І деңгей | ә | а | в | А | б |
| ІІ деңгей | б | б | а | Б | а |
| ІІІ деңгей | б | ә | ә | В | ә |
Бағалау: Бағалау балдық жүйемен жүреді.
А деңгейінің әрбір есебі 1 балл
Б деңгейінің әрбір есебі 2 балл
С деңгейінің әрбір есебі 2,5 балл
Әр оқушы дәптерлеріне қанша балл жинағанын жазып отырады. Ең жоғарғы балл 22 балл. Осы балдың 50-60 % - «3»
66-86 % - «4»
87-100% - «5»
Үйге тапсырма: тест жинақтарынан әр деңгейден 3 есептен.
