Предмет и задачи теории игр, понятие игры.

Теория игр

1.Предмет и задачи теории игр, понятие игры.

2. Основные понятия теории игр.

3. Классификация игр.

Антагонистические матричные игры: чистые и смешанные стратегии.

4. Методы решения конечных игр: сведение игры mxn к задаче линейного программирования, численный метод – метод итераций.

***

Предмет и задачи теории игр, понятие игры.

В практической деятельности весьма часто приходится рассматривать явления и ситуации, в которых участвуют две (или более) стороны, имеющие различные интересы и обладающие возможностями применять для достижения своих целей разнообразные действия. Подобные явления и ситуации принято называть конфликтными, или просто конфликтами.

Например, студент приходит на экзамен, тянет билет и... возникает конфликтная ситуация. Действия сторон — студента и преподавателя — различны, да и их интересы не во всем совпадают. Разбойники делят добычу — снова конфликт.

Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими: заинтересованными сторонами, интересами этих сторон и их возможными действиями.

Любая конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни сложна. Ее изучение, к тому же, затруднено наличием многих и очень разных обстоятельств, часть из которых ни на развитие конфликта, ни на его исход какого-либо существенного влияния не оказывает.

Специфика деятельности часто такова, что учитываемые при принятии решений факторы нередко обладают так называемым свойством неопределенности, поскольку нельзя заранее определить точно, каково будет значение того или иного фактора или показателя. Отсюда следует, что и результат принятия решения также будет обладать свойством неопределенности.

Например,

Объем продажи в значительной степени зависит от спроса населения на тот или иной товар.

Спрос, как известно, является величиной случайной, следовательно, его значение имеет некоторый разброс и является точно неопределенным.

Неопределенность значений различных факторов приводит к тому, что рекомендации по решению проблемы не могут быть столь же четкими и однозначными, как в случаях полной определенности.

В процессе поиска решений появляются возможные варианты решений. Поэтому принятие решения состоит в выборе наилучшего варианта из имеющихся вариантов.

Лицо, принимающее решение, — это реально существующий индивидуум (или группа), которого не устраивает состояние дел или перспектива их будущего развития и который имеет полномочия действовать так, чтобы это состояние изменить.

В настоящее время разработаны специальные математические методы, предназначенные для обоснования решений в условиях неопределенности.

В некоторых наиболее простых случаях эти методы позволяют найти множество решений и выбрать из них оптимальное.

В более сложных случаях эти методы дают вспомогательный материал, позволяющий глубже разобраться в сущности явлений и оценить каждое из возможных решений с различных точек зрения, взвесить его преимущества и недостатки и в конечном счете принять если не единственно правильное, то по крайней мере близкое к оптимальному решение.

Следует заметить, что при выборе решения в условиях неопределенности всегда неизбежен элемент произвола, а, следовательно, и риска. Недостаточность информации всегда опасна, и за нее приходится платить. Поэтому в условиях сложной ситуации необходимо представить варианты решения и их последствий в такой форме, чтобы сделать произвол выбора менее сильным, а риск – минимальным.

Кроме того, в коммерческой деятельности приходится принимать решения в условиях противодействия другой стороны, которая может преследовать противоположные или иные цели, добиваться других путей достижения цели, препятствовать теми или иными действиями или состояниями внешней среды достижению намеченной цели. Причем эти противодействия противоположной стороны могут носить пассивный или активный характер. В таких случаях приходится учитывать возможные варианты поведения противоположной стороны, ответные действия, возможную реакцию и соответственно исходы.

Возможные варианты поведения обеих сторон и их исходов для каждого сочетания альтернатив и состояний можно представить в виде математической модели, которая называется игрой.

Если в качестве противоположности выступает неактивная, пассивная сторона, которая явно активно не противодействует достижению намеченной цели, то такие игры называются играми с "природой".

Такой стороной в коммерции являются неизвестность поведения клиентов, реакция населения на новые виды товаров, неясность погодных условий при перевозке товаров или проведении ярмарки, недостаточная информированность о коммерческих операциях, закупках, сделках и т.п.

В других ситуациях противоположная сторона активно, сознательно может противостоять достижению намеченной цели. В подобных случаях происходит столкновение противоположных интересов, мнений, целей.

Такие ситуации называются конфликтными, а принятие решений в конфликтной ситуации затрудняется из-за неопределенности поведения противника.

Известно, что противник сознательно стремится предпринять наименее выгодные для вас действия, чтобы обеспечить себе наибольший успех.

Неизвестно, в какой мере противник умеет оценить обстановку и возможные последствия, как он оценивает ваши возможности и намерения.

Обе стороны конфликта не могут точно предсказать взаимные действия. Несмотря на такую неопределенность, принимать решения приходится каждой стороне конфликта.

Необходимость обоснования оптимальных решений в конфликтных ситуациях привела к возникновению теории игр.

Теория игр — это математическая теория конфликтных ситуаций.

Основными ограничениями этой теории являются предположение о полной "идеальной" разумности противника и принятие при разрешении конфликта наиболее осторожного решения.

 

Основные понятия, используемые в теории игр.

Конфликтующие стороны называются игроками, одна реализация игры — партией, исход игры — выигрышем или проигрышем.

Развитие игры во времени происходит последовательно, по этапам или ходам. Ходом в теории игр называют выбор одного из предусмотренных правилами игры действия и его реализацию.

Ходы бывают личные и случайные.

Личным ходом называют сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действия и его осуществление.

Случайным ходом называют выбор, осуществляемый не волевым решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, пасовка, сдача карт и т.п.).

Одним из основных понятий теории игр является стратегия.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры, содержащей личные и случайные ходы, обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш.

Одной из плодотворных форм воплощения представлений об оптимальности можно считать понятие равновесия, при котором складывается такая (равновесная) ситуация, в нарушении которой не заинтересован ни один из игроков.

Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых договоров между игроками (ни у одного из игроков не будет мотивов к нарушению договора). Кроме того, такие ситуации являются выгодными для каждого игрока: в равновесной ситуации каждый игрок получает наибольший выигрыш (разумеется, в той мере, в какой это от него зависит).

Если в игре ситуации равновесия (в пределах отпущенных возможностей) нет, то, оставаясь в условиях стратегий, имеющихся у игроков, мы сталкиваемся с неразрешимой задачей.

При возникновении подобных случаев естественно ставить вопрос о таком расширении первоначального понятия стратегии, чтобы среди ситуаций, составленных из новых, в том или ином смысле обобщенных стратегий, заведомо нашлись бы равновесные.

Если такие обобщенные стратегии существуют, то обычно они представляются некоторыми комбинациями исходных стратегий (при этом, естественно, предполагается, что игра повторяется многократно).

Для того, чтобы отличать прежние стратегии от новых, первые называют чистыми, а вторые — смешанными стратегиями.

В большинстве конфликтных ситуаций при выборе разумной стратегии приходится принимать во внимание не один, а несколько показателей и факторов. Причем стратегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной и по другим.

Изучение игр можно проводить с различных точек зрения. Мы будем стремиться к

~ выработке принципов оптимальности, то есть того, какое поведение игроков следует считать разумным, или целесообразным,

~ выяснению реализуемости этих принципов, то есть установлению существования оптимальных в выработанном смысле ситуаций и

~ отысканию этих реализаций.

Итак, к основным понятиям, связанным и игрой относятся:

игра, игроки, партия, выигрыш, проигрыш, ход, личные и случайные ходы, стратегические игры, стратегия, оптимальная стратегия и др.

 

Классификация игр.

В зависимости от причин, вызывающих неопределенность исходов, игры можно разделить на следующие основные группы:

- комбинаторные игры, в которых правила дают в принципе возможность каждому игроку проанализировать все разнообразные варианты своего поведения и, сравнив эти варианты, избрать тот из них, который ведет к наилучшему для этого игрока исходу. Неопределенность исхода связана обычно с тем, что количество возможных вариантов поведения (ходов) слишком велико и практически игрок не в состоянии их всех перебрать и проанализировать;

- азартные игры, в которых исход оказывается неопределенным в силу влияния различных случайных факторов. Азартные игры состоят только из случайных ходов, при анализе которых применяется теория вероятностей. Азартными играми теория игр не занимается;

- стратегические игры, в которых полная неопределенность исхода вызвана тем, что каждый из игроков, принимая решение о выборе предстоящего хода, не знает, какой стратегии будут придерживаться другие участники игры, причем незнание игрока о поведении и намерениях партнеров носит принципиальный ха­рактер, так как отсутствует информация о последующих действиях противника (партнера).

Существуют игры, сочетающие в себе свойства комбинаторных и азартных игр, стратегичность игр может сочетаться с комбинаторностью и т.д.

В игре могут сталкиваться интересы двух или более игроков.

Если в игре участвуют два игрока, игра называется парной, если число игроков больше двух – множественной.

Участники множественной игры могут образовывать коалиции (постоянные или временные). Множественная игра с двумя постоянными коалициями превращается в парную.

Парные игры получили наибольшее распространение в практике анализа игровых ситуаций.

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий. Игра называется бесконечной, если хотя бы у одного игрока имеется бесконечное число стратегий.

Различают игры и по сумме выигрыша.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если каждый игрок выигрывает за счет других, а сумма выигрыша одной стороны равна проигрышу другой. В парной игре с нулевой суммой интересы игроков прямо противоположны.

Парная игра с нулевой суммой называется антагонистической игрой.

Наиболее полно исследованы в теории игр антагонистические игры. Игры, в которых выигрыш одного игрока и проигрыш другого не равны между собой, называются играми с ненулевой суммой.

По количеству ходов, которые делают игроки для достижения своих целей, игры бывают одношаговые и многошаговые.

Одношаговые игры заключаются в том, что игрок выбирает одну из доступных ему стратегий и делает всего один-единственный ход.

В многошаговых играх игроки для достижения своих целей делают последовательно ряд ходов, которые могут оканчиваться правилами игры либо могут продолжаться до тех пор, пока у одного из игроков не останется ресурсов для продолжения игры.

В последнее время получили большое распространение так называемые деловые игры.

Деловая игра имитирует взаимодействие людей и проявляется как упражнение в последовательном принятии множества решений, основанное на некоторой модели коммерческой деятельности и на исполнении участниками игры конкретных ролей-должностей.

Деловые игры имитируют организационно-экономические взаимодействия в различных звеньях коммерческих организаций и предприятий.

 

Элементами игровой модели являются: участники игры; правила игры; информационный массив, отражающий состояние и движение ресурсов моделируемой хозяйственной системы.

Преимущества игровой имитации перед реальным объектом таковы:

- наглядность последствий принимаемых решений, переменный масштаб времени;

- повторение имеющегося опыта с изменением установок;

- переменный масштаб охвата коммерческих явлений и объектов.

Основными направлениями использования деловых игр являются следующие:

- учебный процесс, например обучение моделированию коммерческих операций;

- аттестация персонала, проверка их компетентности;

- научные исследования;

- разработка бизнес-планов.

В деловых играх игрокам обычно задаются начальные условия, в которых они находятся, сообщаются правила проведения игры, представляются варианты возможных решений и оценка их последствий.

В игре обязательно присутствует "ведущий", который руководит игрой, оценивает принятые игроками решения, состояния, в которых они могут находиться в процессе игры, и определяет выигрыши и проигрыши по исходам игры.

Приведенный перечень существующих в настоящее время игр далеко не исчерпан.

Основными вопросами теории игр, которые возникают в коммерческой деятельности, являются:

1. В чем состоит оптимальность поведения каждого из игроков в игре, какие свойства стратегий следует считать признаками оптимальности;

2. Существуют ли стратегии игроков, которые обладали бы атрибутами оптимальности;

3. Если существуют оптимальные стратегии, то как их найти?