Первообразная или неопределенный интеграл
Определение первообразной
Определение. Функция 
называется первообразной функции 
на отрезке 
, если для всех точек этого интервала выполняется равенство 
.
Теорема 1. Если 
и 
две первообразные функции , то разность между ними равна постоянному числу.
Доказательство:
Рассмотрим новую функцию 
, равную разности первообразных функции 
. Нетрудно видеть, что 
, а значит 
.
Следствие. Если для некоторой функции найдена какая-нибудь первообразная , то любая другая первообразная имеет вид 
.
Определение. Если есть первообразная функции , то выражение называется неопределенным интегралом и обозначается 
.
– подынтегральная функция; 
– подынтегральное выражение.
.
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на этом отрезке.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции 
.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная. 
.
4. 
.
5. 
.
6. Если , то
а) 
,
б) 
,
в) 
.
Таблица интегралов
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. 
;
12. 
.
Методы интегрирования
Интегрирование методом подстановки
Заметим, что следующие равенства не зависят от того, как обозначается переменная или
или 
.
Пусть 
любая дифференцируемая функция. Тогда 
, что следует из правила дифференцирования сложной функции 
.
Часто метод подстановки применяется в другой форме. В этом случае переменную представляют как функцию вспомогательного аргумента 
.
Интегрирование по частям
Пусть 
и 
функции, имеющие непрерывные производные. Тогда 
. Интегрируя это равенство, получим 
. Для получения формулы осталось выразить 
из правой части.
– формула интегрирования по частям.
Интегрирование рациональных дробей
Напомним, что корнем многочлена 
называется число 
(действительное или комплексное), такое, что 
. При этом многочлен можно разложить на множители 
, где 
– кратность корня . Если 
, то корень называется простым. В случае если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то комплексное число, сопряженное данному корню, также является корнем этого многочлена. Тогда в разложении многочлена на множители входит квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом 
.
Дробно-рациональной функцией называется функция вида 
, где и 
многочлены соответственно степени 
. Если 
, то дробь называется правильной. В противном случае – неправильной. Для неправильной дроби нужно выполнить процедуру выделения целой части, то есть представить данную неправильную дробь как сумму многочлена и правильной дроби 
. Где 
– частное и остаток от деления числителя дроби на знаменатель соответственно.
.
Для того чтобы проинтегрировать правильную дробь ее нужно разложить в сумму простейших дробей. К простейшим дробям относятся такие дроби: 
. Разложение дроби в сумму простейших определяется следующими правилами.
а) Знаменатель имеет простые действительные корни
Теорема 1. Пусть 
простой корень знаменателя дроби . Тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей 
.
б) Знаменатель имеет действительные кратные корни
Теорема 2. Пусть – корень знаменателя дроби кратности , тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей 
.
Следствие. 
в) Знаменатель имеет комплексные корни
Теорема 3. Пусть два комплексных сопряженных числа 
являются корнями знаменателя дроби . Тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей 
.
