Дифференциальное уравнение вида
(1)
где 
, f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если 
, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.
Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).
Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение
(2)
и найти его корни 
. Каждому простому корню 
соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид 
, а каждому корню 
кратности k - решения 
. Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.
,
где 
произвольные постоянные.
Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме и в случае комплексных корней 
. Для каждой пары комплексно сопряженных корней 
в формулу общего решения включаются слагаемые
,
если эти корни простые, и слагаемые
,
если каждый из корней 
имеет кратность k. Здесь 
- многочлены степени k-1.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение.
Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению
.
Разлагая левую часть уравнения на множители, находим корни:
,
.
Следуя выше изложенной теории, выпишем общее решение данного уравнения
.
Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций 
, частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.
| Правая часть | Число, сравниваемое с корнем характеристического уравнения | Вид частного решения |
| 0 - не корень | 
|
| 0 - корень кратности k | 
| |
|  - не корень
| 
|
| - корень кратности k
| … | |
|  - не корень
| 
|
| - корень кратности k
| 
| |
|  - не корень
| 
|
| - корень кратности k
| 
|
Здесь 
-многочлены степени s, а 
- многочлены степени s, коэффициенты которых нужно найти методом неопределенных коэффициентов. Для того чтобы их найти, нужно функцию, задающую вид частного решения, подставить в исходное дифференциальное уравнение и после приведения подобных слагаемых приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения. В случае, когда для определения вида частного решения нельзя воспользоваться только одной строкой таблицы, применяют принцип суперпозиции.
Теорема (принцип суперпозиции). Пусть 
- решения уравнений
,
соответственно. Тогда
есть решение уравнения
.
Пример 2. Решить уравнение 
, удовлетворяющее условиям 
.
Решение.
Сначала найдем общее решение данного неоднородного уравнения второго порядка, а затем среди всех решений выберем то, которое удовлетворяет заданным условиям. Так как характеристическое уравнение 
имеет корни 
, то общим решением соответствующего однородного уравнения является функция:
.
Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида 
. Найдем методом неопределенных коэффициентов частные решения 
уравнений
(*)
(**)
соответственно.
Определим частное решение 
уравнения (*). Правая часть 
представляет собой произведение многочлена первой степени и 
. Число, которое нужно сравнивать с корнем характеристического уравнения - это 1. Оно является простым корнем характеристического уравнения кратности 1. Согласуя с параметрами таблицы, имеем 
, следовательно, частное решение будем искать в виде:
,
где коэффициенты a и b подлежат определению. Подставляя последнее выражение в (*), и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получим следующую систему:
откуда 
, а значит
.
Правая 
часть уравнения (**) представляет собой произведение многочлена нулевой степени и тригонометрической функции. Число 2i не является корнем характеристического уравнения. Частное решение 
уравнения (**) ищем в виде (
):
.
Подставляя в (**), и приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x справа и слева, получим систему для определения коэффициентов c и d:
Откуда 
. Поэтому 
. Согласно принципу суперпозиции, частное решение 
первоначального уравнения имеет вид:
,
а его общее решение определяется функцией:
.
Чтобы решить задачу Коши, определим значения произвольных постоянных 
в общем решении. Для этого в решение и его производную подставим x=0. Используя начальные условия , получим:
откуда 
. Значит решение поставленной задачи Коши есть
.
Линейное неоднородное уравнение (1) с любой правой частью 
можно решить методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение 
соответствующего линейного однородного уравнения. Тогда решения уравнения (1) ищется в виде
.
Функции 
определяются из системы
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение.
Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение 
. Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения есть 
, решениями которого являются 
. Тогда общим решением однородного уравнения будет функция 
. Тогда решение заданного уравнения будем искать в виде
.
Функции определяются из системы
Решая систему, находим
.
Тогда функция
определяет общее решение исходного уравнения.
Рассмотрим дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным уравнения с постоянными коэффициентами.
