Степенные функции, их свойства и графики.
Функции вида (где - любое действительное число) называют степенными функциями.
Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях и имеет смысл степень .
Рассмотрим различные случаи в зависимости от показателя степени .
Ø Показатель - четное натуральное число. | |
1) | |
2) | |
3)функция четная, так как | |
4) убывает на , возрастает на | |
Ø Показатель - нечетное натуральное число. | |
1) | |
2) | |
3)функция четная, так как | |
4) возрастает на | |
Ø Показатель , где - натуральное число. | |
1) , кроме | |
2) | |
3) функция четная, так как | |
4)) убывает на , возрастает на |
Ø Показатель , где - натуральное число. | |
1) , кроме | |
2) , кроме | |
3) функция нечетная, так как | |
4)) убывает на и . |
Ø Показатель - положительное действительное нецелое число. | |
1) . 2) . 3) функция общего вида. 4) возрастает на . | |
Ø Показатель - отрицательное действительное нецелое число. | |
1) . 2) . 3) функция общего вида. 4) убывает на . |
Показательная функция, ее свойства и график.
Вспомним основные свойства степени. Пусть , , - любые действительные числа. Тогда
В практике часто используются функции , ,
, и т.д., т.е. функция вида , где - заданное число, - переменная. Такие функции называются показательными. Это объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени – заданное число.
Определение. Показательной функцией называется функция , где - заданное число, .
Свойства показательной функции:
10. . (Это свойство следует из того, что степень , где , определена для всех )
20. .
30. Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если , и убывающей, если .(следует из свойств 8 и 9).
Построим графики функции и , используя рассмотренные свойства и построив несколько точек, принадлежащих графику.
График функции проходит через точку и расположен выше оси Ох. Если и убывает, то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает его); если и возрастает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции , если .
График функции также проходит через точку и расположен выше оси Ох. Если и возрастает, то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает его); если и убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции , если .
Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так, радиоактивный распад описывается формулой , где \ - масса радиоактивного вещества в момент времени ; - масса радиоактивного вещества в начальный момент времени , - период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).
С помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т. д.
Задача 1. Решить уравнение .
Решение. По свойству 20 показательной функции данное уравнение имеет корень,
т.к. . Одним из корней является число , так как . Других корней нет, так как функция возрастает на всей числовой прямой, и поэтому при и при .
Ответ: .