Стационарные случайные процессы

Случайная функция X (t)называется строго стационарной (стационарной в узком смысле), если ее n -мерные законы распределения инвариантны относительно сдвига во времени на величину t.

Если случайная функция строго стационарна, то ее математическое ожидание и дисперсия постоянны, т.е. не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени, т.е. от t. Обратное утверждение в общем случае неверно. Случайный процесс X (t)называетс я стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов:

m_x = const, D_x =const, K_x (t ₁ ,t ₂) = K_x (t ₂ - t ₁).

 

Корреляционная функция стационарной в широком смысле случайной функции обозначается и обладает следующими свойствами:

1) k_x (-t) = k_x (t);

 

2) | k_x (t) | £ D_x;

 

Если X (t) – стационарная в широком смысле дифференцируемая функция и то Y (t) – также стационарная в широком смысле случайная функция, причем

(9.6)

Для дифференцируемости стационарной в широком смысле случайной функции необходимо и достаточно существование второй производной корреляционной функции при t = 0.

Важнейшим свойством стационарных процессов является свойство эргодичности, когда средняя случайного процесса по множеству реализаций равна средней по одной реализации на бесконечном промежутке времени.

Средней по реализации на конечном промежутке времени [0, T ] называется число, определяемое выражением

Стационарный случайный процесс называется эргодическим относительно математического ожидания, если

 

.

 

Стационарный случайный процесс называется эргодическим относительно корреляционной функции, если

Стационарный в широком смысле случайный процесс, заданный каноническим разложением вида

(9.7)

где называется случайным процессом с дискретным спектром. Корреляционная функция такого процесса имеет вид

а дисперсия равна сумме дисперсий отдельных гармоник на частотах

: .

 

Стационарный случайный процесс называется случайным процессом с непрерывным спектром, если существует такая действительная неотрицательная функция S_x (w), определенная при всех wÎ R и называемая спектральной плотностью, что

; . (9.8)

 

Как видно, корреляционная функция и спектральная плотность стационарного процесса с непрерывным спектром связаны между собой взаимно обратными косинус-преобразованиями Фурье. В комплексной форме они имеют вид:

 

, . (9.9)

Дисперсия такого процесса равна

. (9.10)

 

Условия неотрицательности и четности являются необходимыми условиями стационарности в широком смысле случайного процесса X (t).

Нормированной спектральной плотностью называется отношение спектральной плотности к дисперсии процесса:

 

(9.11)

 

Стационарная случайная функция с постоянной спектральной плотностью называется стационарным белым шумом. Нормированная спектральная плотность стационарного белого шума со спектром частот имеет вид

 

 

Если X (t) – стационарный в широком смысле процесс с спектральной плотностью

то он называется низкочастотным белым шумом.

 

Выясним, является ли низкочастотный белый шум дифференцируемым. Найдём корреляционную функцию этого процесса.

 

Её первая и вторая производные соответственно равны:

 

Вычислим модуль второй производной при

 

 

Применяя к первой дроби правило Лопиталя и переходя к пределу, получим:

 

Так как то процесс дифференцируем.

 

На практике часто используются такие характеристики стационарного процесса, как эффективная ширина спектра и средний интервал корреляции (эффективная длительность корреляционной функции) Они находятся по формулам:

 

(9.12)

(9.13)

 

Геометрически эффективная ширина спектра равна основанию прямоугольника с высотой площадь которого равна площади фигуры под кривой при , а средний интервал корреляции равен основанию прямоугольника с высотой площадь которого равна площади фигуры под кривой при .

Справедливо так называемое соотношение неопределённости смысл которого заключается в следующем: чем уже ширина спектра стационарного процесса, тем больше интервал корреляции его сечений, и наоборот.

9.35. Корреляционная функция случайного процесса X (t) имеет вид Найти спектральную плотность, эффективную ширину спектра и средний интервал корреляции

 

¢ Найдём спектральную плотность:

 

 

Нетрудно видеть, что - чётная функция с единственной точкой максимума при .

Эффективная ширина спектра в данном случае равна , средний интервал корреляции

Как видно, - соотношение неопределённости обращается в равенство. £

 

9.36. На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс с математическим ожиданием и корреляционной функцией . Дифференцируем ли данный процесс в среднеквадратичном?

9.37. Задана корреляционная функция случайного процесса X (t). Показать, что взаимная корреляционная функция случайных процессов X (t) и может быть представлена в виде

9.38. На вход радиотехнической цепи, состоящей из последовательно соединённых дифференцирующих устройств и сумматора, поступает случайный стационарный сигнал X (t) c и корреляционной функцией (рис.9.2). Найти .

9.39. Является ли эргодической по отношению к математическому ожиданию синусоидальная стационарная случайная функция определённой частоты

9.40. Является ли эргодическим относительно корреляционной функции случайное гармоническое колебание где a - постоянная амплитуда, а - равномерно распределённая на отрезке случайная величина?

9.41. Случайный процесс задан следующим образом: где - независимые случайные величины, принимающие с равной вероятностью лишь два возможных значения + I и - I. Найти корреляционную функцию процесса и убедиться, что стационарен в широком смысле, но не является стационарным в узком смысле.

9.42. Установить, дифференцируем ли стационарный случайный процесс, корреляционная функция которого имеет вид

9.43. Показать, что взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции X (t) и её производной удовлетворяет условию

9.44. Показать, что если стационарный случайный процесс X (t) дифференцируем, то он стационарно связан со своей производной. Найти где .

9.45. Пусть X (t) - произвольный случайный процесс, стационарный в широком смысле. Доказать «соотношение неопределённости». См. задачу 9.35.

 

9.46 – 9.50. Дана корреляционная функция стационарного случайного процесса. Найти его спектральную плотность.

 

9.46.

9.47.

9.48.

9.49.

9.50.

 

9.51 – 9.54. Дана спектральная плотность стационарного случайного процесса. Найти его корреляционную функцию.