Линейные преобразования случайных функций

Говорят, что случайная функция Х (t) сходится в среднеквадратическом при к случайной величине Х _о, если начальный момент второго порядка стремится к нулю при t ® t _о:

= 0.

Сходимость в среднеквадратическом обозначается символом

Случайная функция Х (t) называется непрерывной в среднеквадратическом в точке t _о, если

Производной случайной функции X (t) называется случайная функция X ¢(t), определяемая как предел в среднеквадратическом отношения приращения случайной функции к приращению неслучайного аргумента:

Для дифференцируемости случайной функции необходимо, чтобы функция X (t)была непрерывной, а для этого непрерывной должна быть ее корреляционная функция. Достаточным условием дифференцируемости функции X (t)в точке t является существование второй смешанной частной производной корреляционной функции при равных значениях ее аргументов.

Интегралом в среднеквадратическом от случайной функции X (t) в постоянных границах от a до b называется предел соответствующей интегральной суммы

где l- наибольший из всех D t_i, а предел понимается в смысле среднеквадратического.

Линейным однородным преобразованием случайной функции X (t) называется преобразование L _о, обладающее следующими свойствами:

1^о. L _о[ X ₁(t) + X ₂(t)]= L _о[ X ₁(t)] + L _о[ X ₂(t)];

2^о. L _о[ CX (t)] = CL _о[ X (t)].

Примерами линейных однородных преобразований могут служить:

а) оператор дифференцирования ;

б) оператор интегрирования ,

где операции дифференцирования и интегрирования следует понимать в «среднеквадратическом»;

в) оператор умножения случайной функции на неслучайную

Y (t) = j(t) X (t);

г) оператор интегрирования с заданным «весом» .

Линейным неоднородным называется преобразование вида

Y (t) = L _о[ X (t)] + f (t),

где f (t)- неслучайная функция.

Каноническим разложением случайной функции называется сумма ее математического ожидания и взаимно некоррелированных элементарных случайных функций

, (9.4)

где случайные величины имеют математические ожидания, равные нулю, и называются коэффициентами канонического разложения, а неслучайные функции - координатными функциями.

Корреляционная функция канонического разложения имеет вид

. (9.5)

При t ₁= t ₂= t . (9.5а)

9.17. На RC - цепочку, изображённую на рис. 9.1, подаётся

случайное напряжение X (t) c характеристиками и Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию напряжения Y (t) на выходе цепочки.

¢ Дифференциальное уравнение, описывающее связь между входным и выходным напряжениями RC - цепочки, составляется на основе закона Кирхгофа и имеет вид

Решая это уравнение при нулевом начальном условии методом вариации произвольных постоянных, получим:

Таким образом, случайный процесс Y (t) является результатом применения к случайной функции X (t) линейного однородного оператора

Значит,

Дисперсия процесса на выходе равна . £

9.18. На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс X (t) с математическим ожиданием и корреляционной функцией где - постоянная дисперсия X (t). Определить математическое ожидание и дисперсию на выходе системы.

¢ Реакция имеет характеристики

Полагая , находим дисперсию которая зависит от и от коэффициента характеризующего быстроту затухания корреляционной связи между сечениями случайной функции X (t) при возрастании промежутка между ними.

При малых значениях корреляционная связь затухает медленно, поэтому случайные функции X (t) и Y (t) изменяются со временем сравнительно плавно. Следовательно, дифференцирование X (t) приводит к незначительным ошибкам.

Если же величина велика, корреляционная функция убывает быстро, в составе случайной функции X (t) преобладают резкие беспорядочные колебания, значит, дифференцирование такой функции приведет к большим погрешностям. £

9.19. Случайная функция X (t) задана каноническим разложением:

Найти математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса

¢ Запишем каноническое разложение случайного процесса Z (t):

Отсюда следует, что координатные функции

Каноническое разложение корреляционной функции имеет вид

или .

Тогда дисперсия процесса будет равна £

9.20 – 9.29. На вход динамической системы поступает случайный сигнал X (t), характеристики которого известны. Работа системы описывается оператором L. Определить характеристики случайной функции Y (t).

9.20.