Элементы теории случайных функций

9.1. Законы распределения и основные характеристики случайных функций

Случайной функцией называют функцию одного или нескольких аргументов, значение которой при фиксированных значениях аргументов является случайной величиной. Например, X (t) – случайная функция одного аргумента, если каждому значению t из некоторого множества поставлена в соответствие случайная величина X (t). Если параметр t играет роль времени, то случайная функция называется случайным процессом.

Реализацией случайной функции X (t) называется неслучайная функция x (t), полученная в результате испытания в заданных условиях.

Пусть над случайной функцией произведено n испытаний, в результате чего получено n реализаций Тогда при некотором фиксированном значении аргумента t = t _o эти реализации превратятся в значения случайной величины Х (t _о), которую называют сечением случайной функции. Ее закон распределения F ₁(x / t _о) является одномерной функцией распределения даннойслучайной функции X (t) при фиксированном t = t _o. Соответствующая одномерная плотность существует, если сечение X (t _о) является непрерывной случайной величиной, при этом в точках дифференцируемости функции F ₁(x / t _о) справедливо равенство

 

Двумерной функцией распределения называется функция совместного распределения двух сечений случайной функции:

 

 

Соответствующая двумерная плотность существует, если двумерная случайная величина непрерывна, и если при этом в точке (x, y) функция дважды дифференцируема, то

Отсюда

Основными характеристиками случайных функций являются математи-ческое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.

Математическим ожиданием и дисперсией случайной функции X (t) называются такие неслучайные функции которые для каждого фиксированного значения t равны математическому ожиданию и дисперсии соответствующего сечения.

Для случайной функции непрерывного типа

. (9.1)

(9.2)

Корреляционной функцией называется неслучайная функция двух действительных аргументов t ₁ и t ₂ , которая для каждой пары фиксированных t ₁ и t ₂ равна корреляционному моменту соответствующих сечений:

 

(9.3)

Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична коэффициенту корреляции двух сечений случайной функции.

Основные свойства корреляционной функции:

 

1. - свойство симметрии.

2.

 

3. Если Y (t) = X (t) + j(t), где j(t)- неслучайная функция, то

 

.

4.Если Y (t) = j(t) X (t), где j(t) - неслучайная функция, то

 

.

Взаимной корреляционной функцией двух действительных случайных функций называется неслучайная функция двух аргументов, равная корреляционному моменту данных случайных функций:

9.1. Случайная функция X (t) задана в виде X (t) = Vt + b, где V - случайная величина непрерывного типа, распределенная по нормальному закону а b - неслучайная константа. Найти одномерную плотность и основные характеристики процесса: и

 

¢ Зафиксируем значение аргумента t, тогда X (t) станет функцией лишь случайной величины, плотность распределения которой нормальна:

Функция монотонно возрастает всюду, поэтому справедливо равенство

откуда следует, что

Так как то

.

Отсюда получаем: £

 

9.2. Случайная функция где U – случайная величина, возможные значения которой принадлежат интервалу (0;10). Найти реализации функции X (t) в двух испытаниях, в которых U приняла значения: а) ; б)

9.3. Случайная функция где U –случайная величина дискретного типа, закон распределения которой имеет вид:

 

 

X
P	0,2	0,5	0,2	0,1

Найти сечения X (t), соответствующие фиксированным значениям аргумента: а) б)

9.4. Доказать, что неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

9.5. Доказать, что математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых.

9.6. Найти математическое ожидание случайной функции:

а) ,

б)

где U, V - случайные величины, причем M (U) = M (V) = 1.

9.7. Доказать, что при равных между собой значениях аргументов корреляционная функция случайной функции X (t) равна её дисперсии:

9.8. Доказать, что от прибавления к случайной функции X (t) неслучайной функции j(t) корреляционная функция не изменится: если Y (t) = X (t) +j(t), то

9.9. Доказать, что при умножении случайной функции X (t) на неслучайный множитель j(t) корреляционная функция умножается на произведение:

9.10. Случайный процесс X (t) имеет вид где V - случайная величина, равномерно распределенная на [0;3]. Найти одномерную функцию и плотность этого процесса.

9.11. Случайная функция X (t) задана в виде X (t) = U + Vt, где U и V - независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же закону распределения N (m,s). Записать одномерную плотность Найти

9.12. Случайное гармоническое колебание задано в виде где w - неслучайная частота, а случайные амплитуды A и B независимы и подчиняются каждая нормальному закону N (0;s). Найти одномерную и двумерную плотности процесса.

9.13. Одномерная плотность вероятности случайного процесса X (t) имеет вид

где a и s - постоянные величины, причём s> 0.

Найти: а) б) вероятность неравенства

 

9.14. Случайный процесс задан выражением где V - случайная величина, плотность вероятности которой

- неслучайная функция. Найти

9.15. Случайный процесс X (t) представляет собой случайную ступеньку

- единичная функция Хевисайда, A - случайная амплитуда с характеристиками Т - случайное, независимое от A время начала ступеньки, с плотностью распределения Найти математическое ожидание корреляционную функцию

9.16. Угол крена корабля X (t) представляет собой нормальный случайный процесс с характеристиками Известно, что в момент времени угол крена корабля составлял градусов. Какова вероятность того, что в момент угол крена будет больше, чем b градусов?