Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќбраз и прообраз при отображении




¬з€тие образа

ѕоложим, и Ч подмножества области определени€. ¬з€тие образа (или, что то же самое, применение оператора ) обладает следующими свойствами:

Ј ;

Ј ;

Ј .

ƒалее

Ј образ объединени€ равен объединению образов: ;

Ј образ пересечени€ €вл€етс€ подмножеством пересечени€ образов .

ѕоследние два свойства, вообще говор€, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

 

15. ќпределение прообраза подмножества относительно функции. “еорема о прообразе объединени€ и пересечени€ подмножеств относительно отображени€.

¬з€тие прообраза

ѕоложим, и Ч подмножества множества .

ѕо аналогии с вз€тием образа, вз€тие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двум€ очевидными свойствами:

Ј прообраз объединени€ равен объединению прообразов: ;

Ј прообраз пересечени€ равен пересечению прообразов .

ƒанные свойства, также, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).

¬ случае, если отображение обратимо (см. ниже), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому дл€ обратимых отображений выполн€етс€ следующее усиленное свойство дл€ пересечений:

Ј образ пересечени€ равен пересечению образов: .

 

16. ќпределение образа и прообраза подмножества относительно функции. “еоремы об образе прообраза и прообразе образа подмножества относительно функции.

ќбраз и прообраз (при отображении)

Ёлемент , который сопоставлен элементу , называетс€ образом элемента (точки) (при отображении ).

≈сли вз€ть целое подмножество области определени€ функции , то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества , а именно подмножество области значений (функции ) вида

,

которое, называетс€ образом множества (при отображении ). Ёто множество иногда обозначаетс€ как или .

Ќаоборот, вз€в некоторое подмножество области значений функции , можно рассмотреть совокупность тех элементов области определени€ (функции ), чьи образы попадают в множество , а именно Ч множество вида

,

которое называетс€ (полным) прообразом множества (при отображении ).

¬ том частном случае, когда множество состоит из одного элемента, скажем, , множество имеет более простое обозначение .

 

17. —войства отображени€ Ц быть инъекцией, сюръекцией и биекцией. “еорема о композиции инъекций.

»нъективность

ќсновна€ стать€: »нъекци€ (математика)

‘ункци€ называетс€ инъективной (или, коротко, инъекци€), если разным элементам множества сопоставлены разные элементы множества . Ѕолее формально, функци€ инъективна, если дл€ любых двух элементов таких, что , непременно выполн€етс€ .

ƒругими словами, сюръекци€ Ч это когда Ђу каждого образа есть прообразї, а инъекци€ Ч это когда Ђразные Ч в разныеї. “о есть при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов отображались в один и тот же элемент . ј при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент не имел прообраза.

 

 

18. —войства отображени€ Ц быть инъекцией, сюръекцией и биекцией. “еорема о композиции сюръекций.

—юръективность

ќсновна€ стать€: —юръекци€

‘ункци€ называетс€ сюръективной (или, коротко, сюръекци€), если каждому элементу множества прибыти€ может быть сопоставлен хот€ бы один элемент области определени€. ƒругими словами, функци€ сюръективна, если образ множества при отображении совпадает с множеством : .

“акое отображение называетс€ ещЄ отображением на.

≈сли условие сюръективности нарушаетс€, то такое отображение называют отображением в.

 

19. “еорема о биективности отображени€ f:A ->B, дл€ которого существует отображение g: B ->A с соотношени€ми g▫ f=1A и f ▫g =1B.

Ѕиекци€

 

Ѕиекци€ Ч это отображение, которое €вл€етс€ одновременно и сюръективным, и инъективным. ѕри биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом, определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. ѕоэтому биективное отображение называют ещЄ взаимно-однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

≈сли между двум€ множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекци€), то такие множества называютс€ равномощными. — точки зрени€ теории множеств, равномощные множества неразличимы.

¬заимно-однозначное отображение конечного множества в себ€ называетс€ перестановкой (элементов этого множества).

ќпределение

‘ункци€ называетс€ биекцией (и обозначаетс€ ), если она:

1. ѕереводит разные элементы множества в разные элементы множества (инъективность). »ными словами,

Ј .

2. Ћюбой элемент из имеет свой прообраз (сюръективность). »ными словами,

Ј .

 

ѕримеры

Ј “ождественное отображение на множестве биективно.

Ј Ч биективные функции из в себ€. ¬ообще, любой моном одной переменной нечетной степени €вл€етс€ биекцией из в себ€.

Ј Ч биективна€ функци€ из в .

Ј не €вл€етс€ биективной функцией, если считать еЄ определЄнной на всЄм .

—войства

Ј ‘ункци€ €вл€етс€ биективной тогда и только тогда, когда существует обратна€ функци€ така€, что

и

Ј ≈сли функции и биективны, то и композици€ функций биективна, в этом случае .  оротко: композици€ биекций €вл€етс€ биекцией. ќбратное, однако, неверно: если биективна, то мы можем утверждать лишь, что инъективна, а сюръективна.

 

20. ѕон€тие о равномощности множеств. —четные множества. “еорема о счетности или конечности объединени€ счетного числа конечных множеств. ѕример применени€ теоремы к доказательству счетности множества всех слов над конечным алфавитом.

ƒва множества называютс€ равномощными, если между ними существует биекци€. —уществование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества Ч это соответствующий ему класс эквивалентности.

 

21. ѕон€тие о равномощности множеств. —четные множества. “еорема о счетности счетного объединени€ счетных или конечных множеств. ѕример применени€ теоремы к доказательству счетности множества всех конечных подмножеств в множестве всех слов над конечным алфавитом.

Ќачнем с некоторых обозначений: через обозначим множество всех простых чисел. Ќами было доказано, что бесконечно, кроме того, €вл€етс€ подмножеством счетного множества, значит счетно. ќбозначим через Ц множество всех степеней простого числа . Ќапример . ясно, что дл€ любого счетно и дл€ любых i, j, , , Ø. Ќаконец, обозначим через Ц множество всех степеней всех простых чисел. ѕоскольку и бесконечно, то €вл€етс€ счетным множеством. “еорема 1. ѕусть ,Е Ц счетна€ совокупность счетных попарно непересекающихс€ множеств. “огда множество È... также €вл€етс€ счетным. ƒоказательство. “ак как и счетные множества, то существует биекци€ . “ак как попарно не пересекаютс€, то семейство отображений согласовано. “ак как попарно не пересекаютс€, то €вл€етс€ биекцией между множествами и , то есть . “еорема доказана. —ледствие 2. ѕусть Ц счетна€ совокупность счетных или конечных множеств , которые попарно не пересекаютс€. “огда счетно. ƒоказательство. Ћегко пон€ть, что объединение счетного числа конечных попарно пересекающихс€ множеств счетно. ƒл€ этого достаточно применить теорему 1, дополнив каждое конечное множество до счетного таким образом, чтобы эти расширенные множества по-прежнему попарно не пересекались. –азобьем совокупность всех данных множеств на две группы: - все конечные множества исходной совокупности, - все счетные множества исходной совокупности. ћножество конечно или счетно, множество счетно, причем Ø. ѕо доказанному ранее счетно. —ледствие доказано. “еорема 3. ѕусть ,Е Ц счетна€ совокупность счетных множеств и . “огда ј счетное множество. ƒоказательство. ѕостроим счетную совокупность конечных или счетных попарно непересекающихс€ множеств, объединение которых равно ј: , , ,Е, . ќчевидно, что Ø при и = ј. ѕо следствию 2 множество счетно. —ледствие 4. ѕусть ,Е Ц счетна€ совокупность конечных или счетных попарно различных множеств. “огда множество Е счетно. “еорема 5. ѕусть ј и ¬ счетные множества. “огда декартово произведение также €вл€етс€ счетным множеством. ƒоказательство.ѕеречислим элементы множеств ј и ¬: ј = , “огда = –азобьем на счетное объединение счетных множеств: , , .ЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. . ќчевидно, что Ø при , т.к. , и = ј ¬, то есть есть объединение счетного числа счетных попарно непересекающихс€ множеств. «начит счетно. —ледствие 6. ѕусть Ц счетные множества, тогда Ц счетно. ƒоказательство. ƒоказываетс€ легко индукцией по m. — помощью доказанных теорем можно установить счетность некоторых общераспространенных множеств. “еорема 7.ћножество рациональных чисел Q счетно. ƒоказательство. ћножество целых чисел Z счетно, значит и множество счетно. ћножество Z также счетно.  аждой паре (a; b), где поставим в соответствие рациональное число а: b. Ёто отображение €вл€етс€ отображением УнаФ, поэтому Q не более чем счетно, а так как оно бесконечно, то . ќпределение 8. а) „исло называетс€ алгебраическим числом степени n, если есть корень целочисленного многочлена . б) „исло называетс€ алгебраическим, если оно есть алгебраическое некоторой степени. ѕримеры. 1) Ћюбое рациональное число а: b €вл€етс€ алгебраическим степени 1, так как оно €вл€етс€ корнем целочисленного уравнени€ . 2) „исло €вл€етс€ алгебраическим числом степени 2, так как €вл€етс€ корнем целочисленного уравнени€ . 3) ƒокажем, что €вл€етс€ алгебраическим числом степени 6. ¬ самом деле, . “еорема 9.ћножество алгебраических чисел счетно. ƒоказательство.  аждый многочлен степени n + полностью определ€етс€ набором целых чисел длины n +1. ѕоэтому целочисленных многочленов существует столько же, сколько существует таких наборов, то есть , но . “аким образом, целочисленных многочленов степени n существует счетное число. ѕусть - множество всех целочисленных многочленов степени n и - множество всех целочисленных многочленов. “ак как есть счетное объединение счетных множеств, то оно само счетно. »так, множество всех целочисленных многочленов имеет счетную мощность. ѕеречислим все его элементы: P = . »ндекс сверху показывает степень многочлена . ѕо основной теореме алгебры многочлен имеет корней. ќбозначим через конечное множество всех корней многочлена . “огда есть множество всех алгебраических чисел. ѕоскольку ј есть счетное объединение конечных множеств, то ј счетно. “еорема доказана.
 

 

22. ѕон€тие о равномощности множеств. —четные множества. “еорема о счетности произведени€ счетных множеств. ƒоказательство счетности множества рациональных чисел.

23. ћощность континуума. “еорема  антора о несчетности множества точек на отрезке [0;1].

 

 

24. ѕон€тие равномощности множеств. “еорема  антора - Ѕернштейна о равномощности двух множеств (без доказательства). ѕримеры доказательства равномощности некоторых множеств с использованием теоремы  антора-Ѕернштейна (например, множества действительных чисел R и отрезка [0;1]).





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2017-02-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 17272 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—лабые люди всю жизнь стараютс€ быть не хуже других. —ильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Ѕорис јкунин
==> читать все изречени€...

472 - | 455 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.035 с.