V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

 

будем решать 2-мя способами.

5.1. Метод вариации произвольной постоянной.

1 шаг. Решаем ОЛДУ:

2 шаг. Считаем ; .

Подставляем это решение в исходное НЛДУ и получаем систему уравнений для определения и :

Найдя и решаем для определения и полученные дифференциальные уравнения.

3 шаг. Подставляем найденные и в решение и получаем общее решение НЛДУ.

 

Пример 5.1: Решить уравнение .

 

Решение:

1 шаг. Решаем уравнение .

Его характеристическое уравнение .

Отсюда

И решение ОЛДУ имеет вид .

 

2 шаг. Считаем , .

Имеем систему:

.

Решаем эту систему относительно и :

.

Т.о. мы получим

.

Решая эти дифференциальные относительно уравнения, получим

.

 

3 шаг. .

Отсюда общее решение НЛДУ:

.

Пример 5.2: Метод подбора частного решения НЛДУ.

Метод основан на известном утверждении о том, что общее решение НЛДУ есть сумма общего решения ОЛДУ и некоторого частного решения НЛДУ.

Общее решение ОЛДУ мы уже умеем исходить.

Частные же решения НЛДУ ищутся по виду на основе следующих рецептов:

«Правило угадывания частного решения»

Форма f(x):

Форма частного решения:

 

1. Угаданное у^* надо умножить на х, если

а) - это один из корней характеристического уравнения и ;

в) - это один из корней характеристического уравнения и ;

с) и .

2. Угаданное у^* надо умножить на х², если

а) - кратный корень характеристического уравнения и ;

в) - кратный корень характеристического уравнения и ;

 

Обобщая сказанное, можно для рекомендовать подбор частного решения в виде

,

где k – кратность корня характеристического уравнения;

- многочлены, степень которых равна наибольшей из степеней многочленов .

Пример 5. 3.: Решить

Решение: 1 шаг. Решаем однородное уравнение

Отсюда

2 шаг. Так как не является корнем характеристического уравнения, то угадываем .

Подставляя его в исходное уравнение, получим

.

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей, находим

Отсюда ; .

3 шаг. Искомое решение имеет вид

.

Пример 5. 4. Решить уравнение .

Решение: 1 шаг. То же, что и в 2.1.5.

2 шаг. Поскольку в правой части стоит , т.е. , то мы применяем правило 1.в: -1 также является корнем характеристического уравнения. В связи с этим принимаем

.

Подставляем его в исходное уравнение

.

Упрощая, находим: . Отсюда

3 шаг. Пишем решение

Пример 5.5. Найти решение уравнения проходящее через точку:

Решение: 1 шаг. Решаем однородные уравнения

Отсюда .

2 шаг. Поскольку и в корнях и под знаком cos в правой части уравнения стоит коэффициент 2, то мы имеем случай 1.с. Поэтому

.

Найдем производные

.

Подставляем это в исходное уравнение и получаем

.

Отсюда и .

3 шаг. Общее решение, очевидно, будет

.

Найдем с₁ и с₂ из начальных условий:

Искомое частное решение имеет вид .

Пример 5.6. Решить уравнение

Решение: 1 шаг. Решаем однородное уравнение:

т.к. корень кратный.

2 шаг. Так как является кратным корнем характеристического уравнения, то ищем

Подставляем это в исходное уравнение

Отсюда .

3 шаг. Общее решение примет вид .

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА:

№ 1 Исследовать уравнение на наличие особых решений:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.