Локализация точки на шкале 6 страница

Далее в излагаемой модели предполагается, что установленное правило соответствия имеет детерминистическую структуру, т.е. данный сенсорный образ, если он в точности повторился в двух пробах (причем за время между пробами схема соответствия не изменилась), вызовет всегда один и тот же ответ. Другими словами, любое правило принятия решения однозначно разбивает множество всех возможных ощущений на два класса — один, связанный с ответом “Да”, другой — с ответом “Нет”. На рис. 1 точками заполнены те области, которые связаны с ответом “Да”. На рис. 2 области с горизонтальной (вертикальной) штриховкой соответствуют ощущениям, которые могут быть вызваны стимулами <S> и <N>.

Линии 1, 2 и 3 показывают границы разбиения, соответствующего трем схемам соответствия, причем область “Да” при всех схемах соответствия лежит слева от этих границ. Рассмотрим сначала схему соответствия 1. Мы видим, что при такой схеме <N> всегда будет идентифицироваться правильно, т.е. p(FA)=0. Однако, <S> иногда (когда ощущение, вызванное <S>, попадает правее

 

 

 

Рис.1. Два множества ощущений, вызывающих ответ "Да"

 

Рис.2. Множества непересе­кающихся ощущений, вызыванных значащим и пустым стимулами: S - значащий стимул; N - пустой стимул; 1,2 и 3 - линии, показывающие границы разбиения множества ощущений

 

границы — эта область помечена точками) вызовет ответ “Нет”, т.е. испытуемый будет иногда пропускать сигнал, p(H)<1. При схеме соответствия 2 ситуация обратна. Испытуемый всегда идентифицирует <S> как “Да”, т.е. p(H)=1, но иногда (эта область помечена точками) <N> будет вызывать ответ “Да” (ложная тревога), т.е. p(FA)>0. Легко видеть, однако, что при данном сорасположении ощущений, вызываемых <S> и <N>, испытуемый может в принципе выработать такую схему соответствия (граница 3, штриховая линия), при которой можно избежать ошибок, т.е. p(FA)=0 и p(H)=1. Причина, обеспечивающая эту возможность, заключается в том, что указанные области не пересекаются, т.е. нет ни одного ощущения, которое могло бы быть вызвано (пусть с разной вероятностью) как <S>, так и <N>. Если это условие не выполняется (см. рис. 3), то, очевидно, при любой схеме соответствия испытуемый будет совершать ошибки того или иного рода (O или FA), либо и те, и другие.

 

 

Рис. 3. Два пересекающихся множества ощущений, вызванных значащим и пустым стимулами

 

Такова суть модели. Чтобы представить модель в количественной форме, допускаются два дополнительных упрощения. Первое из них может быть разъяснено следующим образом. Схема соответствия с содержательной точки зрения представляет собой соответствие данного ответа некоторому комплексу свойств сенсорного образа: “Если образ обладает свойствами таким-то и таким-то, то следует выбрать ответ “Да”, в противном случае — “Нет”. Очевидно, что не все свойства образа при этом используются. Рассматриваемое упрощение состоит в предположении, что решение принимается всегда на основе интенсивности какого-то одного качества сенсорных образов (“сладкость”, “наклонность”, “яркость” и т.п.), причем правило принятия решения имеет форму: “Если интенсивность (выраженность) качества больше некоторой величины C, то следует выбрать “Да”, в противном случае — “Нет”. Интенсивность качества, как это видно из предыдущей фразы, предполагается представимой действительным числом. Таким образом все возможные значения интенсивности данного качества занимают какую-то часть оси действительных чисел (например, всю положительную полуось), причем каждое из этих значений при предъявлении данного стимула может быть вызвано с тем или иным правдоподобием. Если значения интенсивности сенсорных образов образуют непрерывный континуум, то это правдоподобие выражается не вероятностью, а плотностью вероятности. Плотность вероятности возникновения ощущения со значением интенсивности ощущения X при подаче стимула A условимся обозначать через f (X/A).

Вернемся теперь к нашей ситуации, где стимул есть либо <S>, либо <N>. Каждому из стимулов соответствует своя функция плотности вероятности: f (X/S) и f (X/N) (рис. 4).

Согласно принятому утверждению, правило принятия решения определяется выбором граничной точки C (ее еще называют критической точкой или величиной критерия принятия решения о наличии сигнала), такой, что если интенсивность X в данной пробе превышает C, то следует ответ “Да”, если же не превышает, то — “Нет”. Легко видеть по рисунку, что вероятность ложной тревоги p(FA) равна вероятности того, что интенсивность X (при условии, что предъявлен <N>) превзойдет C, т.е. равна заштрихованной области под кривой f (X/N). Вероятность попадания p(H) равна вероятности того, что X (при условии, что предъявлен <S>) превзойдет C, т.е. равна незаштрихованной области под кривой f (X/S).

(8)

 

(9)

 

Если критерий C находится далеко вправо (показано на рис. 4 одной стрелкой), то, очевидно, p(FA)=p(H)=0. Если теперь начать двигать критерий справа налево, то при каждом очередном значении мы будем получать новую пару p(FA) и p(H), причем оба значения будут возрастать (или по крайней мере не убывать), пока при достаточно далеком левом положении C оба не станут равны 1 (показано двумя стрелками на рис. 4). Поскольку каждое значение C однозначно определяет пару чисел p(FA) и p(H), то ему можно поставить в соответствие точку внутри квадрата (рис. 5), на вертикальной стороне которого откладывается p(H), а на горизонтальной — p(FA), и таким образом представить результат работы наблюдателя.

 

 

Рис. 4. Общая модель обнаружения сигнала: справа –­ распределение сенсорных эффектов при воздействии значащего стимула, слева – пустого стимула

 

Полученная по этим точкам кривая называется рабочей харак­теристикой наблюдателя или просто — PX. Любая пара распределений, f(X/S) и f(X/N) однозначно определяет PX, но обратное неверно: одна и та же PX может определяться раз­личными парами f(X/S) и f(X/N). PX идет из точки (0,0) квадрата в точку (1,1) и при этом располагается выше его главной диагонали. Последнее следует из того, что распределение f(X/S) сдвинуто вправо относительно f(X/N), т.е. p(H) превышает p(FA).

 

Рис.5. Рабочая характеристика идеального наблюдателя

 

Вероятности p(H) и p(FA) меняются содружественно, т.е. нельзя только путем изменения схемы соответствия одновременно увеличить одну из них и уменьшить другую (или, что то же самое, нельзя одновременно уменьшить или увеличить вероятности ошибок обоих родов, FA и O). Это очень важное положение верно для любых пар f(X/S) и f(X/N). Из него следует, что только пара этих вероятностей, а не каждая в отдельности, характеризует сенсорную способность наблюдателя.

Допустим, в эксперименте с симметричной платежной матрицей (V=W) и P(S) = 0,5) испытуемый установил положение критерия, как это показано на рис. 6а.

 

 

Рис.6. Модели обнаружения сигнала:

а - симметричный; б -либеральный; в -жесткий кри­терий принятия решения; вертикальная штриховка — p(H), косая — p(FA)

 

Результаты этого мысленного эксперимента с так называемым симметричным критерием представлены в таблице 3.

Это положение критерия оптимально в том смысле, что суммарный выигрыш испытуемого в этом случае будет максимален.

Пусть теперь в следующем эксперименте платежная матрица осталась симметричной, а P(S)=0.9.

Таблица 2

Вероятности исходов эксперимента с симметричной платежной матрицей и P(S)=0.5

 

 

Таблица 3

Вероятности исходов эксперимента с симметричной платежной матрицей и P(S)=0.9

 

Таблица 4

Вероятности исходов эксперимента с симметричной платежной матрицей и P(S)=0.1

 

Теперь (рис. 6б), чтобы сохранить тот же выигрыш, наблюдателю необходимо сдвинуть критерий так, чтобы p(H) резко возросло, даже за счет возрастания p(FA) — теперь важнее не пропустить сигнал, чем не дать ложную тревогу! Следовательно, критерий C сдвинется влево. В данном случае говорят, что наблюдатель использует либеральный критерий.

Пусть в третьем эксперименте при симметричной платежной матрице P(S) установили равной 0.1.

В этой ситуации (рис. 6в) критерий должен быть сдвинут вправо, и в этом случае говорят об использовании строгого критерия. Аналогичные изменения положения критерия принятия решения можно рассмотреть и при изменениях платежной матрицы при постоянной ве­личине P(S).

Для каждой пары f(X/S) и f(X/N), если заданы V,W и P(S), может быть рассчитано оптимальное положение C — то, при котором выигрыш максимален. В cоответствии с данной логикой можно исследовать вопрос, насколько реальное положение критерия, выбираемое испытуемым, близко к оптимальному. Но, разумеется, это можно сделать лишь в том случае, если мы можем восстановить по результатам экспериментов теоретическую схему, т.е. построить функции распределения f(X/S) и f(X/N) и найти критерий C.

 

Итак, перед нами стоит задача восстановления теоретической схемы по экспериментальным данным. Прежде всего, разберемся в том, что представляют собой экспериментальные данные. Пусть выбраны стимулы <S> и <N> и проведен эксперимент по методу “Да-Нет”. Результатом эксперимента является пара вероятностей p(H), p(FA). Далее какие-то параметры эксперимента меняются (изменятеся P(S) и/или платежная матрица, или снимается обратная связь и заменяется на предварительную информацию или что-то еще), и эксперимент повторяется с теми же <S> и <N>. Получаем, вообще говоря, другую пару p(H), p(FA). Повторяя эксперимент несколько раз, мы будем иметь в результате несколько пар p(H), p(FA), т.е. несколько точек PX. Разумеется, и это очень важно, мы можем считать все эти пары p(H) и p(FA) точками одной PX лишь постольку, поскольку предполагается, что изменения экспериментальных параметров могут привести только к изменению положения критерия C, но не к изменению схемы соответствия, в более широком смысле слова включающем возможное привлечение новых сенсорных качеств, замену одного качества на другое и в результате, если это новое качество одномерно, — получению новой пары распределений f(X/S) и f(X/N). Таким образом, проблема формулируется так: по нескольким точкам PX нужно восстановить f(X/S), f(X/N) и C. Однако, мы уже говорили, что в таком виде проблема не решается, так как даже если бы была известна вся PX (т.е. все точки, а не несколько, чего никогда, естественно, не бывает), распределения f(X/S) и f(X/N) не восстановимы однозначно. Поэтому в модели, которую мы излагаем (обычно называемой, хотя и не совсем точно, теорией обнаружения сигналов, ТОС) принимается еще одно упрощающее предположение (впрочем, в отличие от первого, оно допускает прямую экспериментальную проверку, о чем речь пойдет ниже): существует такая монотонная трансформация оси интенсивности, в результате которой оба распределения становятся нормальными. Для краткости трансформированную ось мы будем обозначать просто через z и говорить о z-значениях. Под монотонной трансформацией понимается система всевозможных растяжений и сжатий различных областей оси X так, что если точка q лежит левее r, то после трансформации это отношение сохраняется. Примером такой трансформации является логарифмирование, растягивающее положительную полуось действительных чисел на всю действительную ось. Итак, мы имеем два нормальных распределения, причем всегда можно считать, что на оси выбрана такая позиция нуля и такой масштаб, что f(Z/N) имеет центр в нуле и стандартное отклонение, равное 1. Для восстановления теоретической картины, таким образом, необходимо определить положение центра и стандартное отклонение распределения f(Z/S).

Если допустить, что ss,n= 1, т.е. дисперсии обоих распределений равны, а центр распределения f(Z/S) сдвинут вправо от центра распределения f(Z/N) на величину a, тогда

 

(10)

 

В этом случае вместо a обыкновенно пишут специальный символ d' и называют эту величину мерой чувствительности наблюдателя к сигналу. Чувствительность к сигналу характеризуется степенью отличия Z-величин, вызываемых <S>, от Z-величин, вызываемых <N>. Чем меньше величина d', тем больше перекрываются области Z-значений, соответствующих <S> и <N> (рис. 7).

 

Рис. 7. Модель ТОС при различных уровнях обнаружимости сигнала

 

Легко видеть, что при одном и том же положении критерия C, а следовательно, при одной и той же величине p(FA), величина p(H) тем ближе к p(FA), чем меньше d'. Если d' = 0, то p(FA) = p(H) при всех C и, следовательно, PX в таком эксперименте совпадает с главной диагональю квадрата (рис. 8). Если d' > 0, PX лежит выше диагонали и имеет гладкий и симметричный вид относительно побочной диагонали, идущей из (0,1) в (1,0). Чем больше d', тем более выпукла PX влево-вверх и тем дальше она отстоит от главной диагонали. Как же практически вычислить d' и C по результатам эксперимента? Сколько точек PX следует для этого иметь?

Оказывается, достаточно только одной точки, т.е. только одной пары p(FA), p(H). Действительно,

(11)

 

Это уравнение необходимо решить относительно C. Введем новый термин: нахождение C по P в уравнении (12):

 

(12)

называется Z-преобразованием P:

C = Z [P]. (13)

 

Рис.8. PX при различных уровнях обнаружимости стимула

 

Сделать Z-преобразование можно по обычной таблице нормального распределения. Если есть таблица, показывающая для каждого C значение интеграла (12), то нужно попросту отыскать в таблице значение интеграла, наиболее близкое к P, и посмотреть слева, какому C оно соответствует. Легко показать, что уравнение (11) в терминах Z-преобразования имеет решение:

C = -Z [p(FA)]. (14)

 

Теперь допустим, что C найдено. Как, зная p(H), найти величину d'? Рассмотрим теоретическую картинку, из которой удалено распределение, соответствующее N (оно уже не понадобится, см. рис. 9а). Сдвинем все распределение вдоль оси Z вместе с критерием C влево так, чтобы центр совместился с точкой 0. Критерий С при этом, очевидно, займет позицию (С - d'), а заштрихованная область не изменится и останется равной по площади p(H) (см. рис. 9б). Но наше сдвинутое распределение имеет центр в нуле и единичную дисперсию. Следовательно:

(15)

С - d' = z[p(H)]. (16)

 

Сопоставив (14) и (16), получим:

d' = z[p(H)] - z[p(FA)]. (17)

 

Допустим теперь, что проведен новый эксперимент с измененными параметрами, так что получена новая пара p(FA) и p(H). Если наше предположение относительно f(Z/S) и f(Z/N) верно (т.е. они оба нормальны и имеют одну и ту же дисперсию), то, несмотря на изменение величины С,

 

Рис.9. Теоретическое распределение ощущений при действии значащего стимула:

а -.сдвинутое на величину d' относительно "шумового" распределения; б - с центром, смещенным влево до точки 0; ось X - величина единичного среднеквадратичного отклонения; ось Y - плотность вероятности величины сенсорного эффекта; точка С - положение критерия

 

прямо определяемой по формуле (14), величина d', определяемая по формуле (17), должна оставаться постоянной. Мы приходим к важному заключению: если по оси абсцисс откладывать величины Z[p(FA)], а по оси ординат — z[p(H)], то точки PX должны выстроиться в прямую линию, описываемую уравнением (17): z[p(H)] = z[p(FA)] + d', и наклоненную под 45 к оси абсцисс. График зависимости Z[p(H)] от Z[p(FA)] (см. рис. 10) называется PX в двойных нормальных координатах. Из соотношения (17) вытекает способ экспериментальной проверки предположений, принятых о нормальности распределений и равенстве дисперсий. Пусть мы провели K экспериментов и получили K точек PX (K ³ 2).

Построим РХ в двойных нормальных координатах: z[p(FA)] и z [p(H)]. Поскольку вероятности p(H) и p(FA) оценивались по частотам (т.е. мы имеем лишь их приблизительные значения), то точки, соответствующие z-преобразованиям, будут отклоняться от теоретической прямой (с наклоном 45 градусов) даже в том случае, если проверяемые предположения верны. Следовательно, надо провести прямую наилучшего приближения и проверить с помощью стандартных статистических средств, значимо или не значимо ее наклон отличается от 45°. Если отличие не значимо, исходные предположения могут считаться верными, а величина свободного члена в формуле прямой дает нам статистическую оценку d'. Разумеется, всем этим выводам должна предшествовать проверка того, является ли расположение экспериментальных точек хорошим приближением к прямой линии, т.е. необходимо провести статистический тест на линейность.

 

Рис.10. PX в двойных нормальных координатах, sS=sN

 

Допустим теперь, что удалось показать, что z-преобразованная PX не является прямой с наклоном в 45 градусов. Тогда мы можем обратиться к более общему варианту нашей теоретической схемы: допустить, что sSраспределения f(z/S) произвольна, но оба распределения нормальны. Очевидно, формула (14) сохраняет свою силу, так как C определяется только по p(FA). Изменения по отношению к случаю с ss,n= 1 появляются лишь в том месте, где распределение f(z/S) вместе с критерием C сдвигается влево до совмещения центра с нулевой точкой. Теперь мы уже не можем написать формулы (15) и (16), так как сдвинутое распределение описывается формулой:

 

 

Однако, если мы вдобавок к сдвигу сожмем ось Z ровно в  раз, то распределение приобретет нужную нам табличную форму. При этом критерий C, который после сдвига занял позицию C - a (мы уже не напишем d' вместо a), займет позицию. Итак:

 

(18)

 

(19)

 

Сопоставляя (14) и (19) имеем:

(20)

 

Итак, если оба распределения нормальны, то график PX в двойных нормальных координатах должен быть прямой линией с наклоном 1/s (см. рис.11). Для проверки предположения о нормальности нужно оценить возможность описания экспериментальных точек линейной функцией или, (другими словами) “хорошесть” подгонки прямой линии к экспериментальным точкам.

На основании статистических оценок предположение о нормальности отвергается, если даже наилучшая (в смысле метода наименьших квадратов, например) прямая плохо подходит к данным.

Предположим, что распределения f(z/S) и f(z/N) имеют одинаковые дисперсии, то есть PX в двойных нормальных координатах является прямой линией с наклоном 1. Положение каждой отдельной точки на PX соответствует некоторому положению критерия C.

Можно показать, что при сделанных нами допущениях о нормальности распределений и равенстве дисперсий каждому положению C взаимно однозначно соответствует так называемое отношение правдоподобия (в точке C) ­– b, которое определяется как:

.

 

 

Рис.11. PX в двойных нормальных координатах, sS¹sN.

(21)

 

Здесь f(C/S) и f(C/N) представляют собой значения функций плотности вероятности f(X/S) и f(X/N), взятые в критической точке C. Отношение правдоподобия b характеризует то, во сколько раз правдоподобнее, что сенсорная репрезентация, равная по величине значению C, будет вызвана значащим стимулом, чем стимулом пустым.

По некоторым теоретическим соображениям положение критерия принято характеризовать именно этим значением b, а не самой величиной C.

Значения f(C/S) и f(C/N) легко найти, зная p(H) и p(FA). Для этого необходимо воспользоваться таблицей плотности нормального распределения: найти значения плотностей, соответствующие Z[p(H)] и Z[p(FA)] (что мы уже умеем делать). Эти значения обозначаются через f[p(H)] и f[p(FA)]. Таким образом:

(22)

 

Оказывается, однако, что не обязательно искать f-преобразования для того, чтобы вычислить b. Вместо этого проще (и полезнее) вычислить lnb прямо по z-преобразованным вероятностям. Дело в том, что в формулы, выражающие p(H) и p(FA) через d' и b, последняя входит только в форме lnb(попытайтесь сами вывести эти соотношения):

 

(23)

 

(24)

Отсюда легко вывести формулу для вычисления lnβ:

(25)

 

§ 3. Метод двухальтернативного вынужденного выбора (2АВВ)

 

В методе 2АВВ предъявления всегда осуществляются парами, причем предъявления в одной паре либо следуют друг за другом во времени, либо осуществляются одновременно, но ясно разделены пространственно. Одна пара всегда состоит из <S> и <N>, и это испытуемому известно, но какое именно из предъявлений (первое или второе, правое или левое и т.п.) содержит сигнал, а какое является пустым, должен определить испытуемый. Например, предъявляется пара линий, одна из которых наклонена, а другая вертикальна. Линии располагаются слева и справа от фиксационной точки и после каждого предъявления испытуемый должен решить, какая линия (слева или справа) имела наклон. Другой пример. Испытуемый слышит постоянный белый шум. Во время прослушивания дважды (скажем, с интервалом в полсекунды) загорается и гаснет (в течении 50 мс) индикатор начала и конца предъявления. В одном из двух предъявлений к шуму добавляется слабый тон частотой 1000 Гц, и задача испытуемого состоит в том, чтобы указать, в первом или во втором предъявлении присутствовала тональная добавка.

Чтобы различать варианты организации пары стимулов, условимся один из элементов пары называть “первым” и записывать на первом месте, а другой — “вторым” и записывать на втором месте. Таким образом пара может иметь либо форму <S,N>, либо форму <N,S>. Допустим, если в нашем первом примере наклонная линия находится слева, мы имеем <H,B>, а если справа — <B,H>, где B означает “вертикальна”, H — “наклонна”. Соответственно, если испытуемый считает, что наклонная линия находится слева, то его ответ может быть записан как “<H,B>”. В общем случае матрица стимулов-ответов представима в форме:

Во всех остальных отношениях 2АВВ ничем не отличается от метода “Да-Нет”. Если условиться идентифицировать пару по ее первому элементу, то можно даже не менять обозначений. Например,

P(S) = P(<S,N>), P(N) = P(<N,S>) = 1 - P(S).

 

Правильный ответ 1 можно условно считать попаданием и обозначать его условную вероятность через p(H)=p("Да","Нет"/<S,N>); ошибку 2 можно условно считать ложной тревогой и использовать обозначение p(FA)=p ("Да","Нет"/<N,S>) и т.д. Аналогично методу “Да-Нет” вводятся платежные матрицы, обратная связь, предварительная информация. Укажем, однако, на одно существенное отличие. Если в методе “Да-Нет” P(S) и платежная матрица таковы, что мы допускаем, что субъективные цены обеих ошибок (FA и O) одинаковы, то вовсе не необходимо, чтобы условные вероятности этих ошибок были равны. Или, что то же самое, нет оснований, вообще говоря, ожидать, что p(H) = p(CR). В методе 2АВВ, однако, пары <S,N> и