Операции (высказывания) алгебры логики

Основные понятия алгебры логики. Логические основы ЭВМ

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления, числа записываются с помощью двух символов (0 и 1).(стр 83-88 лучше все прочитать и попытаться понять)

Восьмери́чная систе́ма счисле́ния — позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Шестнадцатеричная система счисления ( шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10₁₀ до 15₁₀, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы IBM/360, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с 8-битными символами, как, например, PDP-11 или БЭСМ-6) использовали восьмеричную систему.

В стандарте Юникода номер символа принято записывать в шестнадцатеричном виде, используя не менее 4 цифр (при необходимости — с ведущими нулями).

Шестнадцатеричный цвет — запись трёх компонент цвета (R, G и B) в шестнадцатеричном виде.

В математике основание системы счисления принято указывать в десятичной системе в нижнем индексе. Например, десятичное число 1443 можно записать как 1443₁₀ или как 5A3₁₆.

В разных языках программирования для записи шестнадцатеричных чисел используют различный синтаксис:

В Ада и VHDL такие числа указывают так: «16#5A3#».

В Си и языках схожего синтаксиса, например, в Java, используют префикс «0x». Например, «0x5A3».

В некоторых ассемблерах используют букву «h», которую ставят после числа. Например, «5A3h». При этом, если число начинается не с десятичной цифры, то для отличия от имён идентификаторов (например, констант) впереди ставится «0» (ноль): «0FFh» (255₁₀)

Другие ассемблеры (AT&T, Motorola), а также Паскаль и некоторые версии Бейсика используют префикс «$». Например, «$5A3».

Некоторые иные платформы, например ZX Spectrum в своих ассемблерах (MASM, TASM, ALASM, GENS и т. д.) использовали запись #5A3, обычно выровненную до одного или двух байт: #05A3.

Другие версии Бейсика используют для указания шестнадцатеричных цифр сочетание «&h». Например, «&h5A3».

В Unix-подобных операционных системах (и многих языках программирования, имеющих корни в Unix/linux) непечатные символы при выводе/вводе кодируются как 0xCC, где CC — шестнадцатеричный код символа.

В электронных калькуляторах

Б3-34 и ему подобные используют "-", "L", "C", "Г", "E" " " (space) на их экране.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. В этом числе 3 цифры. В соответствии с вышеуказанным правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 16:

5A3₁₆ = 3·16⁰+10·16¹+5·16²
= 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 1443₁₀

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему нужно разбить его на тетрады справа налево и заменить каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой. Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную нужно заменить каждую его цифру на соответствующую тетраду из нижеприведенной таблицы перевода.

Таблица перевода чисел

	0hex	=	0dec	=	0oct
	1hex	=	1dec	=	1oct
	2hex	=	2dec	=	2oct
	3hex	=	3dec	=	3oct
	4hex	=	4dec	=	4oct
	5hex	=	5dec	=	5oct
	6hex	=	6dec	=	6oct
	7hex	=	7dec	=	7oct
	8hex	=	8dec	=	10oct
	9hex	=	9dec	=	11oct
	Ahex	=	10dec	=	12oct
	Bhex	=	11dec	=	13oct
	Chex	=	12dec	=	14oct
	Dhex	=	13dec	=	15oct
	Ehex	=	14dec	=	16oct
	Fhex	=	15dec	=	17oct

Операции (высказывания) алгебры логики

Типы высказываний (основные операции алгебры логики):

1. Конъюнкция – логическое умножение (результат соединения высказываний с помощью связки “и”) дает сложное высказывание, истинное только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания обозначаются: x y или x & y или х×у, читается “х и у”.

Обозначается Таблица истинности

на схемах & логического умножения

X	Y	Х Ù Y

 

 

2. Дизъюнкция – логическое сложение (результат соединения высказываний с помощью связки ”или”) дает сложное высказывание, истинное, когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний. Обозначается x y или x + y – дизъюнкция, читается “х или у”

Обозначается Таблица истинности

на схемах 1 логического сложения

X	Y	Х Ú Y

 

3. Строгая дизъюнкция (результат соединения высказываний с помощью связки “исключающее или”) дает сложное высказывание, истинное, когда истинно только одно из составляющих его высказываний (x y или x y - строгая дизъюнкция).

Таблица истинности

X	Y	Х Y

 

 

Иначе эта операция называется “сложение по модулю 2”, т.к. при сложении четного количества единиц результат будет 0, а при сложении нечетного количества единиц – 1.

4. Инверсия - логическое отрицание (результат применения к высказыванию связки “не”) дает сложное высказывание, истинное, когда исходное высказывание ложно ( x или - инверсия).

Обозначается инверсия Таблица истинности инверсии

Х

на схемах

Нет

 

 

5. Импликация (следование) (результат соединения высказываний с помощью связки “если..., то”) дает сложное высказывание, ложное, только когда первое из составляющих его высказываний истинно, а второе - ложно (x y - импликация).

Таблица истинности

импликации

Х	Y	X Y

6. Эквиваленция (результат соединения высказываний с помощью связки “тогда и только тогда”) дает сложное высказывание, истинное, когда истинность составляющих его высказываний совпадает (X «Y или X º Y - эквиваленция).

Эта операция называется также “эквивалентность” или равнозначность. Ее таблица истинности

Х	Y	X«Y

 

Алгебра логики вводит аксиомы и основные законы, с помощью которых можно упростить схемную реализацию компьютерных устройств или алгоритмов обработки информации, тем самым повысить надежность и сократить затраты на обработку информации. Используются также логические операторы - кванторы общности (“для всех”) и существования (“существует”). Для сложных высказываний строятся таблицы истинности, например:

A	B	A B	A B	A B
0 (ЛОЖЬ)	0 (ЛОЖЬ)	0 (ЛОЖЬ)	0 (ЛОЖЬ)	1 (ИСТИНА)
0 (ЛОЖЬ)	1 (ИСТИНА)	0 (ЛОЖЬ)	1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)
1 (ИСТИНА)	0 (ЛОЖЬ)	0 (ЛОЖЬ)	1 (ИСТИНА)	0 (ЛОЖЬ)
1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)	1 (ИСТИНА)

№3. История развития ЭВМ
СуперЭВМ К суперЭВМ относятся мощные многопроцессорные вычислительные машины с быстродействием сотни миллионов – десятки миллиардов операций в секунду. Супер-компьютеры используются для решения сложных и больших научных задач (метеорология, гидродинамика и т. п.), в управлении, разведке, в качестве централизованных хранилищ информации и т.д. Архитектура суперкомпьютеров основана на идеях параллелизма и конвейеризации вычислений. В этих машинах параллельно, то есть одновременно, выполняется множество похожих операций (это называется мультипроцессорной обработкой). Таким образом, сверхвысокое быстродействие обеспечивается не для всех задач, а только для задач, поддающихся распараллеливанию. Что такое конвейеpная обработка? Приведем сравнение — на каждом рабочем месте конвейера выполняется один шаг производственного процесса, а на всех рабочих местах в одно и то же время обрабатываются различные изделия на всевозможных стадиях. По такому принципу устроено арифметико-логическое устройство суперкомпьютера. Отличительной особенностью суперкомпьютеров являются векторные процессоры, оснащенные аппаратурой для параллельного выполнения операций с многомерными цифровыми объектами — векторами и матрицами. В них встроены векторные регистры и параллельный конвейерный механизм обработки. Если на обычном процессоре программист выполняет операции над каждым компонентом вектора по очереди, то на векторном — выдаёт сразу векторные команды. Векторная аппаратура очень дорога, в частности, потому, что требуется много сверхбыстродействующей памяти под векторные регистры. Наряду с векторно-конвейерной системой обработки данных существует и скалярная система, основанная на выполнении обычных арифметических операций над отдельными числами или парами чисел. Строго говоря, системы, использующие скалярную обработку данных, по своей производительности уступают суперЭВМ, но у них наблюдаются тенденции, характерные для высокопроизводительных вычислительных систем: необходимость распараллеливания больших задач между процессорами. Типовая модель суперЭВМ должна иметь примерно следующие характеристики: высокопараллельная многопроцессорная вычислительная система с быстродействием примерно 100000 МFLOPS; емкость: оперативной памяти 10 Гбайт, дисковой памяти 1-10 Тбайт (1 1000Гбайт); разрядность: 64; 128 бит. Большие ЭВМ Большие ЭВМ за рубежом чаще всего называют мэйнфреймами (Mainframe). К мэйнфреймам относят, как правило, компьютеры, имеющие следующие характеристики: производительность не менее 10 MIPS; основную память емкостью от 64 до 1000 Мбайт; внешнюю память не менее 50 Гбайт; многопользовательский режим работы (обслуживает одновременно от 16 до 1000 пользователей). Мейнфреймы и до сегодняшнего дня остаются наиболее мощными (не считая суперкомпьютеров) вычислительными системами общего назначения, обеспечивающими непрерывный круглосуточный режим эксплуатации. Они могут включать один или несколько процессоров, каждый из которых, в свою очередь, может оснащаться векторными сопроцессорами (ускорителями операций с суперкомпьютерной производительностью). В нашем сознании мейнфреймы все еще ассоциируются с большими по габаритам машинами, требующими специально оборудованных помещений с системами водяного охлаждения и кондиционирования. Однако это не совсем так. Прогресс в области элементно-конструкторской базы позволил существенно сократить габариты основных устройств. Наряду со сверхмощными мейнфреймами, требующими организации двухконтурной водяной системы охлаждения, имеются менее мощные модели, для охлаждения которых достаточно принудительной воздушной вентиляции, и модели, построенные по блочно-модульному принципу и не требующие специальных помещений и кондиционеров. Основными поставщиками мейнфреймов являются известные компьютерные компании IBM, Amdahl, ICL, Siemens, Nixdorf и некоторые другие, но ведущая роль принадлежит безусловно компании IBM. Именно архитектура системы IBM/360, выпущенной в 1964 году, и ее последующие поколения стали образцом для подражания. В нашей стране в течение многих лет выпускались машины ряда ЕС ЭВМ, являвшиеся отечественным аналогом этой системы. В архитектурном плане мейнфреймы представляют собой многопроцессорные системы, содержащие один или несколько центральных и периферийных процессоров с общей памятью, связанных между собой высокоскоростными магистралями передачи данных. При этом основная вычислительная нагрузка ложится на центральные процессоры, а периферийные процессоры (в терминологии IBM - селекторные, блок-мультиплексные, мультиплексные каналы и процессоры телеобработки) обеспечивают работу с широкой номенклатурой периферийных устройств. Они предназначены для решения широкого класса научно-технических задач и являются сложными и дорогими машинами. Их целесообразно применять в больших системах при наличии не менее 200 - 300 рабочих мест. Централизованная обработка данных на мэйнфрейме обходится примерно в 5 - 6 раз дешевле, чем распределённая обработка при клиент-серверном подходе. Известный мейнфрейм S/390 фирмы IBM обычно оснащается не менее чем тремя процессорами. Максимальный объём оперативного хранения достигает 342 Терабайт. Производительность его процессоров, пропускная способность каналов, объём оперативного хранения позволяют наращивать число рабочих мест в диапазоне от 20 до 200000 с помощью простого добавления процессорных плат, модулей оперативной памяти и дисковых накопителей. Десятки мейнфреймов могут работать совместно под управлением одной операционной системы над выполнением единой задачи. Малые ЭВМ Малые ЭВМ (мини ЭВМ) - надежные, недорогие и удобные в эксплуатации компьютеры, обладающие несколько более низкими по сравнению с мэйнфреймами возможностями Мини - ЭВМ (и наиболее мощные из них супермини - ЭВМ) обладают следующими характеристиками: производительность - до 100 МIPS; емкость основной памяти - 4-512 Мбайт; емкость дисковой памяти - 2-100 Гбайт; число поддерживаемых пользователей-16-512. Все модели мини-ЭВМ разрабатываются на основе микропроцессорных наборов интегральных микросхем, 16-, 32-, 64-раз рядных микропроцессоров. Основные их особенности: широкий диапазон производительности в конкретных условиях применения, аппаратная реализация большинства системных функций ввода-вывода информации, простая реализация микропроцессорных и многомашинных систем, высокая скорость обработки прерываний, возможность работы с форматами данных различной длины. К достоинствам мини-ЭВМ можно отнести: специфичную архитектуру с большой модульностью, лучшее, чем у мэйнфреймов, соотношение производительность/цена, повышенная точность вычислений. Мини-ЭВМ ориентированы на использование в качестве управляющих вычислительных комплексов. Традиционная для подобных комплексов широкая номенклатура периферийных устройств дополняется блоками межпроцессорной связи, благодаря чему обеспечивается реализация вычислительных систем с изменяемой структурой. Наряду с использованием для управления технологическими процессами мини-ЭВМ успешно применяются для вычислений в многопользовательских вычислительных системах, в системах автоматизированного проектирования, в системах моделирования несложных объектов, в системах искусственного интеллекта. Родоначальником современных мини-ЭВМ можно считать компьютеры РDР-11 (Program Driven Processor - программно- управляемый процессор) фирмы DЕС (Digital Equipment Corporation - Корпорация дискретного оборудования, США), они явились прообразом и наших отечественных мини-ЭВМ - Системы Малых ЭВМ (СМ ЭВМ): CM 1, 2,3,4,1400,1700 и др. Микрокомпьютеры Микрокомпьютеры — это компьютеры, в которых центральный процессор выполнен в виде микропроцессора. Продвинутые модели микрокомпьютеров имеют несколько микропроцессоров. Производительность компьютера определяется не только характеристиками применяемого микропроцессора, но и ёмкостью оперативной памяти, типами периферийных устройств, качеством конструктивных решений и др. Микрокомпьютеры представляют собой инструменты для решения разнообразных сложных задач. Их микропроцессоры с каждым годом увеличивают мощность, а периферийные устройства — эффективность. Быстродействие — порядка 1 – 10 миллионов опеpаций в сек. Разновидность микрокомпьютера — микроконтроллер. Это основанное на микропроцессоре специализированное устройство, встраиваемое в систему управления или технологическую линию.