Теорема. Любой вектор пространства однозначно представим в виде линейной комбинации трёх линейно независимых векторов, , этого пространства, т.е..

Доказательство. Т.к. четыре вектора , , , всегда линейно зависимы, то , (34)

где среди коэффициентов левой части равенства имеются отличные от нуля. Заметим, что . В противном случае имели бы соотношение

противоречащее условию теоремы о линейной независимости векторов , , . Перепишем равенство (34) в виде

Или (35) где , , .

Возможность представления вектора линейной комбинацией базисных векторов доказана. Теперь докажем однозначность такого представления. Допустим, что существует другое представление вектора в виде комбинации векторов , , : (36)

Тогда вычитая из равенства (35) равенство (36), получим

.

Если среди чисел , , имеются отличные от нуля, то векторы , , линейно зависимы, а это невозможно. Значит , , , откуда следует, что , , .

Доказанная теорема утверждает, что любые три линейно независимых вектора образуют базис пространства . Таким образом, выражение представляет собой разложение произвольного вектора по базису , , . Коэффициенты в разложении вектора по базису , , называются координатами вектора в этом базисе. Всякий вектор , имеющий своими координатами в некотором базисе числа , будем записывать в виде . Наибол ьшее число линейно независимых векторов пространства называется размерностью этого пространства. Размерность пространства обозначается через (i =1,2,3).Размерность пространства совпадает с числом базисных векторов этого пространства, т.е. . В дальнейшем будем считать, что базисные векторы ориентированы. Так, например, система координат называется правой, если вращение от оси к оси в ближайшую сторону видно с положительного направления оси , совершающимся против часовой стрелки, и левой – если по часовой стрелке.

Базис, состоящий из взаимно перпендикулярных единичных векторов, называется ортонормированным. Векторы ортонормированного базиса называются ортами и обозначаются , , или . Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трёх пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс , вторая – осью ординат , третья – осью аппликат ; точка - начало координат. Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов , , , направленных соответственно по осям , и . Векторы , , называются базисными ортами. Координатам и , , вектора называют его проекции на координатные оси , и и пишут . Координаты вектора являются коэффициентами его разложения по ортам:

Вектор , направленный из начала координат в точку называется радиусом-вектором точки . Его проекции на оси координат равны координатам точки , т.е. .