Векторы. Линейные операции над векторами

Физические величины, которые при выбранной системе единиц характеризуются одним числом, носят название скалярных. Например, плотность, масса тела, его температура и т.д.

Величины, которые характеризуются не только числом, но ещё и направлением в пространстве, называются векторными величинами, или просто векторами. Например, скорость, ускорение, сила и т.д.

Геометрически вектор изображается направленным отрезком и обозначается одной буквой или двумя буквами , где А – начло вектора, В – его конец. В литературе часто вектор обозначают одной буквой, выделенной жирным шрифтом, например, вектор . Длина вектора называется его модулем и обозначается или . Два вектора называются равными, если равны их длины, они параллельны и направлены в одну сторону. Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве. Поэтому при необходимости можно тот или иной вектор параллельно перенести в любую точку. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом и обозначается .

Сложение векторов производится по правилу параллелограмма: векторы и сносятся в общую точку О, на них строят параллелограмм ОАСВ и его диагональ ОС называют суммой векторов и (рис. 2). Поскольку вектор равен , то можно дать другое правило нахождения суммы (правило треугольника): суммой векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец , если вектор приложен к концу вектора , т.е. (Рис. 3). Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы , ,..., образуют ломаную, то суммой этих векторов является вектор, замыкающий эту ломаную. В частности, если ломаная замыкается, то сумма её звеньев равна нуль-вектору. Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения – переместительному и сочетательному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.Разностью двух векторов и , приведённых к общему началу О, является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , т.е. (Рис. 4). Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (на скаляры).

Пусть даны ось l и вектор . Проектируя начало и конец вектора на ось l, получим на ней вектор (Рис.5). Проекцией вектора на ось l называется число, равное длине вектора , взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли вектор в ту же сторону, что и ось l, или в противоположную. Направление оси l можно задать с помощью какого-либо вектора , идущего по оси и направленного в ту же сторону. Поэтому часто говорят о проекции вектора на направление вектора или просто – на вектор и пишут . Свойства проекций:

1. , где φ – угол между векторами и .

2. .

3. .

БАЗИС ПРОСТРАНСТВА И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Рассмотрим векторы , ,..., .

Вектор , представимый в виде , где , ,..., -некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов , ,..., .

Векторы , ,..., называются линейно зависимыми, если существуют такие постоянные числа , ,..., , не все одновременно равные нулю, что выполняется равенство . Если же это равенство выполняется только при всех , ,..., , равных нулю, то векторы , ,..., , называются линейно независимыми.

Всякая совокупность линейно независимых векторов, через которые линейно выражается любой вектор пространства, называется базисом этого пространства. Векторы, составляющие базис пространства, называются базисными.

Условия, при которых векторы являются линейно зависимыми:

1.Векторы , ,..., линейно зависимы, если среди них имеются линейно зависимые.

2.Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

3.Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

4.Четыре вектора всегда линейно зависимы.

Множество векторов называется векторным пространством, если линейная комбинация любых векторов множества также является вектором этого множества. Сами векторы называются элементами векторного пространства. Векторными пространствами являются, например, множество коллинеарных векторов, множество компланарных векторов, множество векторов обычного пространства. Упомянутые выше векторные пространства обозначаются соответственно через и . Пусть , , - линейно независимые векторы пространства , а - произвольный вектор этого пространства.