Выбор функциональной зависимости

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Имени Н. Э. Баумана

 

 

Лабораторная работа №1

по курсу:

«Математические методы в литейном производстве».

Построение и анализэмпирической математической модели

 

Вариант №17

 

Студентка: Широкова Н. В.

Группа: МТ5-102

 

Преподаватель: Вербицкий В.И.

 

 

г. Москва
2010 г.

 

1. Теоретическая часть- 3

2. Практическая часть- 4

2.1. Выбор функциональной зависимости- 5

2.2. Определение параметров модели- 6

2.3. Статический анализ эмпирической модели- 7

3. Выводы. 8

Цель работы - овладение методами выбора, построения и анали­за эмпирических математических моделей литейных процессов; закреп­ление навыков работы с ЭВМ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Теоретическая часть

Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой возможно "ближе" примыкающей к системе точек (xi,yi) (рис.1.1). В такой постановке задача весьма неопределенна: ведь класс возможных функций f(x) весьма велик. Поэтому на практике обычно ограничиваются достаточно узким классом функций, например, линейными, степенными, показательными и т.д.

Построение эмпирической модели слагается из следующих этапов:

· выбора формы функциональной зависимости;

· определения ее наилучших параметров;

· статистического анализа полученной математической модели

 

Выбор вида эмпирической модели производят следующим образом:

 

Используя данные эксперимента для крайних точек (x₁,y₁) и (x_n,y_n), по таблице 1 определяют x_s и y_s для всех семи зависимостей.

Особенностью моделей 1—7 является то, что с помощью элементарных преобразований все они могут быть сведены к линейной зависимости.

После выбора типа эмпирической модели определяют ее параметры. В нашем случае коэффициенты a и b. Мощным методом, позволяющим: получить наилучшие значения коэффициентов а и b, является метод наименьших квадратов. Поскольку все модели типа 1-7 с помощью соответствующих преобразований могут быть сведены к линейной модели (см. табл.1), то метод наименьших квадратов рассмотрим на примере получения линейной зависимости:

Y=Ax+B

 

Таблица 1

Тип модели	xs	ys	Уравнение	Преобразование к линейной модели Y=AX+B

Практическая часть

Вариант 17

 

В данной работе необходимо провести эмпирическое построение формулы для определения зависимости плотности песчаной смеси от ее газопроницаемости:

ρ=f(Г), [Г]=ед., [ρ]=кг/м³.

 

В ходе проведения эксперимента были получены следующие значения:

 

i	Г	ρ

Для обработки полученных значений используются следующие прогаммы:

§ ONIPRO.

§ MS Office2007 (Excel).

 

Выбор функциональной зависимости

После ввода данных в программу ONIPRO:

 

где Р – число измерений переменной Y при фиксированном значении X=X_i,

а среднее значение переменной Y в серии параллельных опытов,

.

Пользуясь таблицей 1 и уравнением определим критерий для выбора эмпирической модели.

Тип модели	xS	yS	yÙS
		1404,16667	1336,66667	67,5
		1389,97002	1423,33333	33,3633097
		1389,97002	1336,66667	53,303357
		1404,16667	1531,33333	127,166667
		1375,91691	1336,66667	39,2502473
		1375,91691	1531,33333	155,416419
		1404,16667	1423,33333	19,1666667

 

По результатам сравнения выбирается такая эмпирическая модель, для которой величина минимальна.

Минимальное значение = 19,1666667 для седьмого типа модели, описываемого уравнением: y = a*lgx+b . Преобразуем данную модель к линейной, вводя новые переменные (см. табл.1). В этих переменных модель будет линейной:

– связь между параметрами.

 

 

В результате получим преобразованные исходные данные: