рифметические действия над числами в двоичной,

восьмиричной и шестнадцатиричной системах счисления

Алгоритм поразрядного сложения:С=А+В.

где с_i ‑ цифра і-го разряда результата;

р_і+1 ‑ перенос в i +1 разряд.

Алгоритм поразрядного вычитания: R=А-В.

где r_і ‑ цифра і-го разряда результата;

z_і+1 ‑заем из i+1 разряда.

Алгоритм порaзрядного умножения: S=А*В.

где s _і ‑ цифра і-го разряда результата;

р_і+1 ‑ перенос в i+1 разряд.

В разных системах счисления могут выполняться все 4 арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Для выполнения простейших операций – сложение и вычитание ‑ удобно пользоваться таблицей сложения:

+

Пример: 0 + 1 = (нулевая строка и первый столбец при пересечении дают 1). Аналогично, 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10.

Операция вычитания предполагает обратную процедуру.

Примеры:

11011 1101001 10101011,011 110,0111

+ 10111 – 110111 + 11010100,101 – 11,1111

10010 110010 110000000,000 10,1000

 

ВОСЬМИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Таблица для сложения и вычитания чисел в восьмиричной системе счисления.

Таблица 3

+

Таблица для сложения и вычитания чисел в восьмиричной системе счисления применяется следующим образом:

2 + 6 = 10; 11-7 = 2

Примеры:

723 126 72165,23 11610,23 19951026

+ 334 – 27 + 37734,54 – 2716,67 – 19951022

1257 77 132121,77 6671,34 4

ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Таблица для сложения и вычитания чисел в шестнадцатиричной системе счисления используется также, как и таблицы для двоичной и восьмиричной систем счисления.

Таблица 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11

3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12

4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13

5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14

6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15

7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16

8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17

9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A

C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B

D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C

E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D

F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E

 

Пример:

9 + В = 14 1A – F = B

 

Алгоритм операции деление: С=А:В.

Операция деления выполняется с использованием правил десятичного деления с помощью методов умножения и вычитания.

Сначала делаем сдвиг делителя к старшему разряду делимого на n разрядов. Потом от делимого отнимаем сдвигаемый делитель до тех пор, пока остаток будет меньше, чем сдвигаемый делитель. Цифра частного определяется количеством вычитаний сдвигаемого делителя.

Остаток сдвигается на один разряд влево и определяется следующая цифра частного. Количество разрядов целой части частного на 1 больше количества сдвигов разрядов делимого, то есть n+ 1.

Пример:

256 ₍₁₀₎| 2 Делитель = 002; n = 2;

- 200 1 2 8 Сдвигаемый делитель = 200;

56 Количество разрядов целой части частного = 3.

560

-400

1600

-1600

 

2.4. Представление чисел в ЭВМ

 

В зависимости от способа представления в них чисел машины делятся на машины с фиксированной запятой и машины с плавающей запятой.

В машинах с фиксированной запятой применяется естественная форма записи чисел: число представляется в виде последовательности цифр, разделенной на целую и дробную часть.

Ячейка памяти такой машины состоит из знакового разряда и цифровых разрядов. Постоянное количество числовых разрядов отведено для хранения целой части числа, остальные цифровые разряды предназначены для изображения ее целой части.

 

знак

Целая часть

Дробная часть

 

Название "машина с плавающей запятой (точкой)" происходит от того, что при записи чисел в ячейках запятая помещается (с помощью записи в указателе положения запятой) после любого цифрового разряда ячейки.

При этом используются числа в так называемой нормализованной форме. Числа с плавающей запятой представляются в ЭВМ по формуле:

А = М*q ^p,

где М ‑ мантисса;

q ‑ основание системы счисление;

р ‑ порядок числа.

Мантисса числа ограничена диапазоном

q ^–1 < |M| < 1.

Мантисса нормализуется таким образом, чтобы первой цифрой после запятой была значащая цифра, а не нуль. Если после вычисления мантисса имеет в старших разрядах нули, то она при нормализации сдвигается влево на количество нулевых разрядов и при этом порядок уменьшается на столько же единиц, сколько сдвигов влево было в мантиссе. Например, отобразим число А = -13,75 ₍₁₀₎ в форме с плавающей запятой.

-13,75 ₍₁₀₎ = -1101,11 ₍₂₎ = -D,C ₍₁₆₎ = -DC*16 ¹

При этом: М = -0,DC00 ₍₁₆₎ = -0,1101 1100 0000 0000 ₍₂₎

В современных ЭВМ используется не порядок, а характеристика (Х), которая более порядка на 64 единицы. Таким образом, характеристика числа будет:

Х = р+64 ₍₁₀₎ =р+40 ₍₁₆₎ = р+01000001 ₍₂₎

[A] _п.к. = 1.11011100*10^1000001

 

знак мантиссы

31 0

 

 

Х = р+40 ₍₁₆₎ Мантисса от 3 до 7 байт

Характеристика

Рис.1. Формат чисел с плавающей запятой

Диапазон порядка находится от –64 к +63: -64 ₍₁₀₎ < p < 63 ₍₁₀₎, а диапазон характеристики — 0 < X < 127 ₍₁₀₎

Рассмотрим пример записи числа [A] _п.к. = 1.11011100*10^1000001 в регистр ЭВМ с плавающей запятой (рис.2.).

1

...

Х М

Рис. 2. Пример записи числа с плавающей запятой

где 0,1£ m <1,

m - мантисса,

p - показатель степени.

знак

Цифровые разряды мантиссы

Знак порядка

Порядок

 

КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ. Для записи и хранения числовой информации в памяти ЭВМ используются не сами числа, а их коды.

Кодом числа называется условное изображение числа в машине для выполнения арифметических операций. Двоичные числа могут быть представлены в прямом, обратном и дополнительных кодах.

Для кодирования знака числа используется один двоичный разряд, в котором знак "+" изображается цифрой 0; знак "-" изображается цифрой 1. Поскольку положительные числа в различных кодах одинаковы, то специальное кодирование относится только к отрицательным числам.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют различное изображение, но знак числа "-" кодируется как "1" для всех видов кодов.

Отрицательное число в прямом коде сохраняет свое изображение, в обратном коде разряды нулей заменяются единицами, а единицы - нулями. Дополнительный код отрицательного числа соответствует обратному коду числа с прибавлением единицы к младшему разряду.

Прямой код используется при вводе и выводе чисел, а также при сохранении чисел в памяти ЭВМ.

В прямом коде все разряды числа остаются неизменными. Например,

А ₍₂₎ =1101 [A]_п.к. = 0.1101; А ₍₂₎ = - 0,1101 [A]_п.к.= 1.1101

Прямой код используется при умножении чисел. Например,

С=А*В; А ₍₂₎ =1011; B ₍₂₎ = -1010;

Сначала вычисляем знаковые разряды путем сложения по модулю 2:

Å

 

Å ‑ обозначение операции «сложение по модулю 2».

Получаем 0+1=1. Таким образом, результат будет иметь знак в прямом коде 1, что отображает знак минус.

х 1010

+ 10110

Результат: [C] _пк. = 1.1101110 ₍₂₎.

С ₍₂₎ = - 1101110 = - (1*2⁶+1*2⁵+1*2³+1*2²+0*2⁰) = - (64+32+8+4+2) = - 110₍₁₀₎..

 

Вычитание в ЭВМ выполняется как операция сложения в обратном или дополнительном коде.

Если число А>0, то обратный код пишется как прямой: [A] _обр.к. = [A] _пк.

Если число А<0, то все разряды числа, кроме знакового, инвертируются. Операция инверсии выполняется по формуле:

b _и= (q - 1) – b _и.

Нуль в обратном коде в двоичной системе счисления имеет два изображения: “+0” = 0.00...0; “-0” = 1.11...1. В десятичной системе счисления нуль имеет такие изображения: “+0” = 0.00...0; “-0” = 9.99...9.

Переход от обратного кода к прямому осуществляется как и при переходе от прямого к обратному с помощью операции инверсии.

Рассмотрим пример сложения чисел с разными знаками в обратном коде в двоичной и десятичной системах счисления. С = А+(-В):

В двоичной системе счисления: В десятичной системе счисления:

А ₍₂₎ = 1011; [A]_обр.к.= 0.1011; 0.1011 А ₍₁₀₎ = 11; [A]_обр.к.= 0.11; 0.11

В ₍₂₎= - 101; [A] _обр.к. = 1.1010; +1.1010 А ₍₁₀₎ = -5; [A]_обр.к. = 9.94; +9.94

(1)0.0101 (1)0.05

+ 1 + 1

0.0110 0.06

При сложении в обратном коде перенос из старшего (знакового) разряда прибавляется к младшему разряду суммы для получения верного результата.

Если число А>0, то дополнительный код пишется как прямой:

[A] _д.к. = =[A]_п.к.

Если число А<0, то все разряды числа, кроме знакового, инвертируются и к младшему разряду прибавляется 1.

Пример:

А ₍₂₎ = - 1010; [A]_д.к.= [A]_обр.к. + 0.0001 = 1.0101+0.0001 = 1.0110.

Переход от дополнительного кода к прямому осуществляется как и при переходе от прямого к дополнительному (сначала преобразуется в обратный код, а потом к этому числу добавляется 1 младшего разряда).

Рассмотрим примеры сложения чисел с разными знаками в дополнительном коде:

В двоичной системе счисления: В десятичной системе счисления:

А ₍₂₎ = 1011; [A]_д.к.= 0.1011; 0.1011 А ₍₁₀₎ = 11; [A]_о.к.= 0.11; 0.11

В ₍₂₎= - 101; [A] _д.к. = 1.1011; +1.1011 А ₍₁₀₎ = -5; [A]_о.к. = 9.95; +9.95

(1)0.0110 (1)0.06

Результаты: А ₍₂₎ = 110; А ₍₁₀₎ = 6.

При сложении в дополнительном коде перенос из старшего (знакового) разряда отбрасывается для получения верного результата.

Переполнение разрядной сетки ведет к ошибке вычисления. Рассмотрим переполнения разрядной сетки на примерах:

1) А ₍₂₎ = 1011,0111; [A]_м.п.к. = 00.1011,0111

В ₍₂₎ = 1101,1011; [B ]_м.п.к. = 00.1101,1011

01.1001,0010

2) А ₍₂₎ = - 1011,0111; [A]_{м. д.к.} = 11.0100,1001

В ₍₂₎ = - 1101,1011 [B] _м.д.к. = 11.0010,0101

10.0110,1110

При сложении чисел с одинаковыми знаками при переполнении разрядной сетки знак результата становится другим, что является признаком переполнения. Для выявления в ЭВМ признака переполнения применяется модифицированный дополнительный код, в котором под знак числа отводятся два двоичных разряда. При этом знак “+” отображается как 00, а знак “-” ‑ 11. При переполнении знаки результата приобретают вид 01 (при сложении положительных чисел ‑ А>0) и 10 (при сложении отрицательных чисел ‑ А<0)