еревод чисел из одной системы в другую

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

истемы счисления

еревод чисел из одной системы в другую

рифметические действия над числами в двоичной, восьмиричной и шестнадцатиричной системах счисления

2.4. Представление чисел в ЭВМ

перации над числами с плавающей запятой

3. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение арифметических и функциональных основ действия ЭВМ.

 

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

 

истемы счисления

 

Система счисления - совокупность правил, символов и знаков, употребляемых для изображения чисел.

Разделяют системы счисления позиционные и непозиционные. Непозиционная система счисления задается перечислением изображаемых в ней значений. Позиционная система счисления характеризуется основанием и тем, что числа, как правило, представляются несколькими разрядами (являются многоразрядными), а вес любого разряда определяется его позицией в числе.

Oснование позиционной системы счисления определяет количество различных цифр (символов), допустимое в системе счисления. Это же число определяет, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего старшего разряда.

В ЭВМ используется только позиционные системы счисления.

Основной характеристикой любой системы счисления является ее основание, которое в дальнейшем обозначается буквой q.

Основанием системы счисления называется число, показывающее, во сколько раз изменяется значение одинаковой цифры при перестановке ее на соседнюю позицию (в десятичной - в десять раз, в восьмиричной - в восемь раз и т.д.).

В современных ЭВМ используются десятичная, двоичная, восьмиричная и шестнадцатиричная системы счисления.

Развернутое представление числа в позиционной системе счисления имеет вид:

где А_(q) ‑ произвольное число в системе с основанием q;

‑ цифры системы счисления;

n + m ‑ количество целых и дробных разрядов вместе.

Каждый разряд в позиционной системе имеет вес, который показывает во сколько раз единица данного разряда больше или меньше единицы нулевого разряда:

В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Предположим, длина разрядной сетки равняется числу n. Тогда максимальное число определяется по формуле:

а минимальное число определяется по формуле:

Диапазон представления чисел в ЭВМ зависит от длины разрядной сетки.

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Для записи различных чисел в этой системе счисления используется десять цифр (0-9). Применяется для записи исходных числовых данных, промежуточных и окончательных результатов счета.

Любое десятичное число можно представить в виде сумм произведений степеней числа 10 на соответствующие коэффициенты, относящиеся к определенным разрядам числа: единицам, десяткам, сотням и т.д.

Например, десятичное число 372,45 можно записать в виде:

 

372,45=3*10²+7*10¹+2*10⁰+4*10^-1+5*10^-2

 

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - основа для ЭВМ. Во всех ЭВМ арифметические операции выполняются над числами, представленными в двоичной системе счисления, в которой для записи любого числа используются две цифры: 0 и 1.

Основанием двоичной системы является число 2, которое записывается как 10 (читается: один-нуль), число три записывается как 11 (один-один), число четыре - 100 (один-нуль-нуль) и т.д.

В двоичной системе счисления единица с переходом в соседний разряд изменяется в два раза. В развернутом виде двоичное число записывается в следующем виде:

1010111,11=1*2⁶+0*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2

 

Двоичная система счисления является наиболее простой из всех позиционных систем счисления. Преимущества этой системы выражаются в следующем:

· простота выполнения арифметических и логических операций, что влечет за собой простоту устройств, реализующих эти операции, так как используется минимальное количество цифр (0 и 1), что позволяет применять в ЭВМ элементы, обеспечивающие 2 различных устойчивых состояния (включено или выключено, есть импульс или нет, высокое или низкое напряжение в цепи);

· возможность использования аппарата алгебры логики (булевой алгебры) для анализа и синтеза операционных устройств ЭВМ.

Недостатком данной системы является то, что запись числа гораздо длиннее, чем в десятичной системе счисления, примерно в 3,3 раза.

ВОСЬМИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. Для записи чисел используется 8 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. Основание записывается комбинацией двух цифр - 10 "восемь" (q =8).

Любое число в этой системе счисления представляется последовательностью цифр от 0 до 7 включительно.

Например, восьмиричное число 247 в десятичной системе счисления изображается в виде 167:

247₍₈₎ = 2*8²+4*8¹+7*8⁰ = 128+32+7 = 167₍₁₀₎

ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ используется при программировании (написании программ на машинном языке), для записи кодов операций, адресов команд и др. Она позволяет записывать адреса команд в более короткой и удобной записи, чем в двоичных кодах. Эта система с основанием 16 использует 10 цифр (0-9) и 6 заглавных букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F) для записи десятичных цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Для этой системы q = 16₍₁₀₎ = 10₍₁₆₎. В развернутой записи число имеет следующий вид:

DAC5E₍₁₆₎ = 13*16⁴+10*16³+12*16²+5*16¹+14*16⁰ = 855054₍₁₀₎.

Для того чтобы знать, в какой системе счисления записано определенное число, принято указывать десятичный индекс системы.

Например: 746₍₈₎, 1011₍₂₎, 365₍₁₀₎, А7D₍₁₆₎.

Эквиваленты десятичных (q =10) чисел в двоичной (q =2), восьмиричной (от 0 до 16) и шестнадцатиричной системах счисленияследует запомнить (смотри таблицу 1).

 

еревод чисел из одной системы в другую

ДЛЯ ПЕРЕВОДА ЦЕЛОГО ЧИСЛА N, представленного в системе счисления с основанием R, в систему с основанием Q необходимо данное число делить на основание Q по правилам системы с основанием R до получения целого остатка, меньшего Q. Полученное частное снова необходимо делить на основание Q до получения нового целого остатка, меньшего Q, и т.д., до тех пор, пока последнее частное будет меньше Q. Число N в системе с основанием Q представится в виде не упорядоченной последовательности остатков деления в порядке, обратном их получению (иными словами, старшую цифру числа N дает последнее частное).

Таблица 1

q=10	q=2	q=8	q=16
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Примеры:

Перевести целые десятичные числа А₍₁₀₎ = 22 в двоичную систему счисления и В₍₁₀₎ = 8625 в шестнадцатиричную систему счисления.

 

 

направление записи

22₍₁₀₎ =10110₍₂₎

48

направление записи

8625₍₁₀₎ =21В1₍₁₆₎

ПЕРЕВОД ПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ, представленной в системе с основанием R, в систему с основанием Q заключается в последовательном умножении этой дроби на основание Q по правилам системы счисления с основанием R, причем перемножают только дробные части. Дробь N в системе с основанием Q представляется в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения. (Иными словами, старший разряд является первой цифрой произведения). Количество последовательных произведений определяет количество цифр в полученном числе.

Пример. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0,7243.

Основание исходной системы счисления R=10. Основание новой системы счисления Q=2.

Согласно приведенного правила исходное число 0,7243 надо умножать на основание новой системы (на 2) по правилам десятичной системы счисления (исходная с/с). Выполним серию умножений до получения, например, шести цифр в двоичном числе:

Искомые цифры дроби:

0,7243 * 2 = 1,4486 1 -> старшая цифра

0,4486 * 2 = 0,8972 0

0,8942 * 2 = 1,7944 1

0,7944 * 2 = 1,5888 1

0,5888 * 2 = 1,1776 1

0,1776 * 2 = 0,3552 0

0,3552 * 2 = 0,7104 0

 

Искомое представление число 0,7243 в двоичной системе счисления -> 0,101110.

Обратите внимание, что для получения шести цифр дроби выполнено семь умножений. Это связано с необходимостью выполнить округление, чтобы представить дробь заданной длины более точно.

Из последнего примера, конечная дробь в одной системе счисления может стать бесконечной в другой. Это утверждение справедливо для всех случаев, когда одна система счисления не может быть получена возведением в целую степень основания другой.

ПЕРЕВОД СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ. Оба описанные ранее правила используются совместно, т.е. целая часть числа переводится по первому правилу, а дробная - по второму, и затем каждая часть числа записывается на своем месте.

Пример: Перевести десятичное число А ₍₁₀₎ = 22,125 ₍₁₀₎ в двоичную систему счисления.

А₍₁₀₎ = 22 ₍₁₀₎ = 10110 ₍₂₎; А₍₁₀₎ = 0,125 ₍₁₀₎ =0,001₍₂₎;

А ₍₁₀₎ = 22,125 ₍₁₀₎ =10110,001₍₂₎.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ И НАОБОРОТ. Выполняется тетрадами (16=2⁴). Тетрада - четырехразрядное двоичное число. При переводе в двоичную систему счисления каждый шестнадцатиричный символ записывается соответствующей тетрадой согласно таблицы 2.

Таблица 2

Q=10
Q=16
тетрада
Q=10
Q=16			A	B	C	D	E	F
тетрада

Примеры:

5C3F₍₁₆₎ = 101 1100 0011 1111₍₂₎

9А7,D3₍₁₆₎ = 1001 1010 0111, 1101 0011₍₂₎

т.е. необходимо заменить соответствующими группами из четырех двоичных чисел каждую шестнадцатиричную цифру и все незначащие (стоящие перед самой первой единицей в числе) нули опустить. Порядок записи для целого числа - справа налево, а для дробного ‑ наоборот. При переводе из двоичной системы счисления в шестнадцатиричную необходимо двоичное число разбить на тетрады (группы по четыре двоичные цифры, см. таблицу 1), причем для целой части выделение следует выполнить справа налево от запятой, а для дробной - слева направо, и каждую тетраду записать соответствующей ей шестнадцатиричной цифрой. Если самая левая группа целой части неполная, то она дополняется нулями. Аналогично поступают и с самой правой группой дробной части.

Пример:

1 0101 1101 0111, 1011 011₍₂₎ перевести в q ₁₆

0001 0101 1101 0111, 1011 0110₍₂₎ = 15D7,B6₍₁₆₎

Число в восьмиричной системе счисления легко представить, зная его эквивалент либо в двоичной, либо в шестнадцатиричной системе счисления.

Для этого число, представленное в двоичной системе счисления, необходимо разбить на триады (группы, содержащие три бита, см. таблицу 1), а если число задано в шестнадцатиричной системе счисления, его представляют в двоичной системе счисления тетрадами и выполняют аналогичную операцию.

Примеры:

1447₍₁₀₎ = 5A7₍₁₆₎

5А7₍₁₆₎ = 0101 1010 0111₍₂₎ = 010 110 100 111₍₂₎

5А7₍₁₆₎ = 2 6 4 7 ₍₈₎

8,8₍₁₀₎ =1000,1100 1100 1100₍₂₎ = 001 000,110 011 001 100₍₂₎

8,8₍₁₀₎ = = 1 0, 6 3 1 4 ₍₈₎

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ. Числа из любой системы счисления в десятичную переводятся по формуле развернутой записи числа, т.е. в виде суммы парных произведений числа на основание системы счисления и соответствующие коэффициенты.

Примеры:

А₍₂₎ =11101,11₍₂₎ = 1*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2 =

= 16+8+4+1+1/2+1/4 = 29,75₍₁₀₎

А₍₁₆₎ =А2С,8₍₁₆₎ =10*16²+2*16+12+8/16 =2560+32+12+0,5 = 2544,5₍₁₀₎.

Операции выполняются по правилам десятичной арифметики.