рименимость метода симметричных составляющих к исследованию переходных процессов

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ НАРУШЕНИИ СИММЕТРИИ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ

Основные положения в исследовании несимметричных переходных процессов

Общие замечания

Рассматриваемые ниже несимметричные переходные процессы ограничены условием, что несимметрия возникает только в одном каком-либо месте системы, в то время как вся остальная часть последней остается строго симметричной. Такая однократная несимметрия может быть поперечной (любой вид несимметричного короткого замыкания), и продольной (обрыв одной или двух фаз).

Строгий математический анализ несимметричных переходных процессов существенно затруднен тем дополнительным обстоятельством, что при таких процессах образуется пульсирующее магнитное поле ротора, которое в общем случае, как показано ниже, вызывает полный спектр высших гармоник. Переход от фазных переменных к переменным в координатах d, q, 0 при этом не освобождает дифференциальные уравнения от периодических коэффициентов.

Преимущества метода симметричных составляющих для исследования несимметричных режимов в симметричных трехфазных системах общеизвестны. Для стационарных условий обычно определяют лишь основные гармоники искомых величин. Именно при гаком допущении, которое принято в дальнейшем, данный метод применим также в условиях несимметричных переходных процессов.

Физические процессы при нарушении симметрии. Образование высших гармоник

На рис. 11-1 показана принципиальная модель синхронной машины, ротор которой имеет явно выраженные полюсы и не имеет демпферных контуров.

Возникновение несимметрии в цепи обмоток статора всегда приводит к возникновению наряду с симметричной системой токов прямой последовательности системы токов обратной последовательности синхронной частоты f. Каждая из указанных систем токов создают два потока, вращающихся с синхронной угловой скоростью ω во взаимно противоположных направлениях (рис. 11-1). Поток, созданный токами прямой последовательности, вращается в том же направлении, что и ротор. По отношению к последнему, очевидно он неподвижен и соответственно взаимодействует с магнитным потоком обмотки возбуждения в виде реакции размагничивающего характера. Другой поток, созданный токами обратной последовательности, вращается в противоположную сторону, по отношению к ротору и, следовательно, имеет двойную синхронную скорость 2ω по отношению к нему. Поэтому в обмотке возбуждения наведется ЭДС двойной синхронной частоты 2f. Обусловленный этой ЭДС ток частоты 2 fсоздает пульсирующий с частотой 2f магнитный поток ротора. Разложение последнего на два потока, вращающихся в противоположные стороны с угловой скоростью 2ω относительно ротора, показывает, что один из них, вращаясь по отношению к статору с угловой скоростью (2w - w) = w в сторону, противоположную вращению ротора, оказывается неподвижным относительно потока, вызвавшего пульсирующий с частотой 2f поток ротора, и стремится его компенсировать (реакция размагничивающего характера). Что касается другого потока, то он вращается относительно статора с угловой скоростью (2w + w) = 3w в сторону вращения ротора.

Этот поток наводит в статоре ЭДС тройной синхронной частоты 3f. В результате возникает ток той же частоты, который создает пульсирующее с частотой 3f магнитное поле статора.

Продолжая подобные рассуждения, легко убедиться, что каждая нечетная гармоника однофазного переменного тока статора вызывает очередную четную гармонику тока в обмотке возбуждения, и в свою очередь каждая четная гармоника тока в обмотке возбуждения вызывает следующую по порядку нечетную гармонику тока статора. Аналогично нетрудно установить, что ток неизменного направления и четные гармоники тока статора связаны соответственно с основной и нечетными гармониками тока обмотки возбуждения. При отсутствии емкости в цепи амплитуды гармоник с ростом их порядкового номера уменьшаются.

Представим себе теперь, что в поперечной оси ротора имеется демпферная обмотка. Если воспроизводимый ею электромагнитный эффект такой же, как обмотки возбуждения, то такой ротор, очевидно, симметричен по отношению к любому перемещающемуся относительно него магнитному потоку. В рассматриваемых условиях каждая из обмоток ротора создает пульсирующий поток. Поскольку эти обмотки сдвинуты друг относительно друга в пространстве на 90° (электрических), а их потоки во времени на четверть периода, от их совместного действия образуется вращающееся круговое поле, которое по отношению к вызвавшему его магнитному потоку статора остается неподвижным и направленным навстречу. Следовательно, когда ротор симмет­ричен в обеих осях (т.е. x'_d = x'_q), неизменное или пульсирующее с произвольной частотой магнитное поле статора не создает высших гармоник.

Однако в действительности ротор синхронной машины не обладает такой симметрией, поэтому при любом несимметричном режиме синхронной машины возникают высшие гармоники, причем они проявляются при прочих равных условиях тем интенсивнее, чем больше выявлена несимметрия ротора.

Наличие демпферной обмотки только в продольной оси создает, естественно, еще большую несимметрию ротора. Напротив, при поперечной демпферной обмотке или при демпферных обмотках (с соответствующими параметрами) в обеих осях ротора достигается почти полная его симметрия (т. е. x"_d = x"_q).

Последняя обычно имеет место у турбогенераторов, в силу чего у таких машин высшие гармоники при несимметричных режимах почти не проявляются.

рименимость метода симметричных составляющих к исследованию переходных процессов

Из курса теоретических основ электротехники известно, что в электрических устройствах, выполненных симметрично, применение метода симметричных составляющих в значительной мере упрощает анализ несимметричных процессов, так как при этом симметричные составляющие токов связаны законом Ома с симметричными составляющими напряжений только одноименной последовательности. Иными словами, если какой-либо элемент цепи симметричен и обладает по отношению к симметричным составляющим токов прямой, обратной и нулевой последовательностей соответственно сопротивлениями Z₁, Z₂, Z_o, то симметричные составляющие падения напряжения в этом элементе будут:

₁ = Z_{1 1} (11-1)

₂ = Z_{2 2} (11-2)

₀ = Z_{0 0} (11-3)

Сопротивления Z₁, Z₂ и Z_o для сокращения обычно называют сопротивлениями соответственно прямой, обратной и нулевой последовательностей. Их величины для одного и того же элемента в общем случае различны.

Из изложенного, казалось бы, уже можно сделать вывод, что если временные величины в рассматриваемом процессе могут быть разложены на системы симметричных составляющих и тогда известный метод симметричных составляющих в своей обычной форме может быть применен к исследованию несимметричных переходных процессов. Однако такой вывод был бы еще преждевременным.

Дело в том, что, как показано выше, у синхронной машины с несимметричным ротором возникающее при несимметричном режиме инверсное магнитное поле статора порождает прямое магнитное поле статора, вращающееся с соответственно большей скоростью. Обращаясь к терминологии метода симметричных составляющих, можно сказать, что это равносильно тому, что магнитное поле обратной последовательности, созданное системой токов обратной последовательности какой-либо частоты, вызывает магнитное поле прямой последовательности и связанную с ними систему токов прямой последовательности, порядковые номера частот которых на два больше соответствующего номера частоты токов обратной последовательности. Другими словами, при этом оказываются взаимно связанными системы токов прямой и обратной последовательностей разных частот, что налагает дополнительные условия и требования на метод симметричных составляющих. Что касается системы токов нулевой последовательности, то создаваемое ими результирующее магнитное поле в расточке статора при любой частоте практически близко к нулю и никакой магнитной связи с ротором не создает.

Дальнейшее развитие представлений метода симметричных составляющих применительно к синхронным машинам с несимметричным ротором в условиях установившихся режимов и переходных процессов при нарушении симметрии впервые дано Н. Н. Щедриным. Помимо математического обоснования такого развития,импредложены для учета высших гармоник специальные цепные схемы, применение которых особенно эффективно при выполнении расчетов с помощью моделей или иных расчетных установок.

В подавляющем числе практических расчетов несимметричных переходных процессов обычно ограничиваются учетом лишь основной гармоники токов и напряжений. Именно только при таком допущении представляется возможным применять метод симметричных составляющих в его обычной форме, характеризуя для этого синхронную машину в схеме обратной последовательности соответствующей реактивностью х₂.

Остановимся еще на одном вопросе, в понимании которого часто встречаются трудности.

Протекающие по обмоткам статора токи прямой, обратной и нулевой последовательностей создают магнитные потоки тех же последовательностей. Последние наводят в статоре соответствующие ЭДС. Вводить эти ЭДС в расчет нецелесообразно, так как они пропорциональны (при пренебрежении насыщением магнитной системы машины) токам отдельных последовательностей, значения которых еще подлежат определению. Поэтому в дальнейшем вводим в расчет только те ЭДС, которые или известны, или не зависят от внешних условий цепи статора, причем в силу симметричного выполнения статорной обмотки эти ЭДС являются ЭДС только прямой последовательности. Что касается ЭДС, обусловленных реакцией токов отдельных последовательностей, то их учитываем в виде падений напряжений с обратным знаком в соответствующих реактивностях машины.

Из изложенного следует, что при принятом способе учета ЭДС, обусловленных реакцией токов отдельных последовательностей, образование токов обратной и нулевой последовательностей можно представить как следствие возникающих в месте короткого замыкания напряжений обратной и нулевой последовательностей.

Таким образом задача расчета несимметричных КЗ связана с нахождением шести неизвестных: трех симметричных составляющих токов и трех составляющих напряжений.

Для их нахождения при любом виде КЗ всегда будем использовать три уравнения, соответствующие второму закону Кирхгофа.

;

;

,

где _к1, _к2, _к0, _к1 ,, _к2, _к0 —симметричные составляющие напряжения и тока в месте короткого замыкания;

_1S - результирующая ЭДС относительно точки короткого замыкания;

x_1S, x_2S, x_0S — результирующие сопротивления схем соответствующих последовательностей относительно точки короткого замыкания.

Недостающие три уравнения легко получить из граничных условий, которыми характеризуется тот или иной вид несимметричного повреждения.

Все соотношения будем записывать для особой фазы, т.е. фазы, которая находится в условиях, отличающихся от условий, в которых находятся другие фазы. В качестве особой фазы всегда будем принимать фазу А.

 

Параметры элементов для токов обратной и нулевой последовательностей

12-1. Общие замечания

Все сопротивления, которыми характеризуются отдельные элементы в нормальном симметричном режиме, а также в симметричном переходном процессе, по существу являются сопротивлениями прямой последовательности. Этот термин вводить ранее не было нужды, поскольку токи были лишь одной последовательности.

При отсутствии магнитной связи между фазами какого-либо элемента его сопротивление не зависит от порядка чередования, фаз тока. Активная и реактивная слагающие сопротивления такого элемента зависят только от частоты тока и, следовательно, для всех последовательностей одинаковы, т. е.

; ; .

Такими элементами можно практически считать реакторы.

Для элемента, магнитносвязанные цепи которого неподвижны относительно друг друга, сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы, так как от перемены порядка чередования фаз симметричной трехфазной системы токов взаимоиндукция между фазами такого элемента не изменяется.

Таким образом, для трансформаторов, автотрансформаторов, воздушных линий, кабелей и реакторов имеем:

; ;

Система токов нулевой последовательности резко отличается от систем токов прямой и обратной последовательностей, вследствие чего сопротивления нулевой последовательности в общем случае весьма существенно отличаются от соответствующих сопротивлений двух других последовательностей.

Для элементов, магнитносвязанные цепи которых подвижны относительно друг друга, сопротивления всех последовательностей будут различными (электрические машины).

Таким образом, для электрических машин имеем:

; ; .

 

 

инхронные машины

Магнитный поток, созданный токами обратной после­довательности синхронной частоты, вращаясь относи­тельно ротора с двойной синхронной скоростью, встре­чает на своем пути непрерывно изменяющееся магнит­ное сопротивление; это обусловлено магнитной несим­метрией ротора и тем, что наведенные в продольных и поперечных контурах ротора токи создают различные ответные реакции. Таким образом, при неизменной н. с. статора поток обратной последовательности гармони­чески изменяется с двойной синхронной скоростью в пре­делах между его наибольшим и наименьшим значения­ми, разница между которыми зависит от степени несимметрии ротора;

она велика при резкой несимметрии ро­тора и, напротив, совсем исчезает при его полной сим­метрии.

В § 11-2 было показано, что поток обратной последо­вательности синхронной частоты в общем случае вызы­вает в статоре нечетные гармоники, которые искажают синусоидальную форму магнитного поля статора. Это обстоятельство существенно затрудняет определение реактивности обратной последовательности синхронной машины и приводит к тому, что данная реактивность, строго говоря, не является параметром машины, так как она зависит от внешних условий (т. е. внешней реактив­ности, вида несимметрии и др.).

Для синхронной машины без демпферных обмоток в § 9-2 было получено выражение для реактивности

(12-1)

которая по существу представляет собой реактивность обратной последовательности, определяемую как отно­шение подведенного синусоидального напряжения обрат­ной последовательности синхронной частоты к основной гармонике тока обратной последовательности.

Эта реактивность может быть представлена схемой замещения, показанной на рис. 12-1. Ток в параллельной ветви с реактивностью x'_d дает значение третьей гармо­ники тока прямой последовательности, которая вызвана потоком обратной последовательности синхронной часто­ты.

Представим себе теперь, что напряжение обратной последовательности приложено не непосредственно к статору машины, а через произвольную реактивность х. Тогда общая реактивность обратной последователь­ности всей цепи, очевидно, будет:

и на долю самой машины приходится величина

которая, как видно, зависит от внешней реактивности х. По мере увеличения последней реактивность обратной

 

 

 

последовательности машины стремится в пределе к

 

что соответствует отсутствию третьей гармоники тока. Эта реактивность получается из схемы замещения рис. 12-1, для чего достаточно разомкнуть рубильник Р.

Рис. 12-1. Схема заме­щения, определяющая реактивность x2синхрон­ной машины с учетом влияния третьей гармо­ники тока прямой по­следовательности.

Следовательно, принципиальная разница между вы­ражениями (12-1) и (12-2) состоит в том, что первое из них дает значение x₂, машины с учетом влияния третьей гармо­ники тока, а второе — без учета такого влияния. При симметрич­ном роторе (x_q==x'_d)оба выраже­ния дают одно и тоже значение x₂=х'_d, что также следует из схемы замещения рис. 12-1.

До сих пор предполагалось, что обратно-синхронное питание подано от источника бесконеч­ной мощности, в силу чего, поми­мо основной гармоники, в статоре возникает еще только третья гармоника тока. Однако при несимметричном режиме машины (см. § 11-2) поле обратной последовательности основной частоты вызы­вает в статоре весь спектр нечетных гармоник. В этом случае, как показал Н. Н. Щедрин, схема замещения рис. 12-1 может быть развита в бесконечную цепную схему замещения, результирующая реактивность кото­рой составляет:

(12-3)

Эта реактивность также зависит от внешней реактив­ности и в пределе стремится к значению, определяемому по (12-2).

Для машины с демпферными обмотками реактив­ность x₂ может быть определена по тем же выражениям, если заменить в них x'_d, и x_q соответственно x"_d и x"_q.Величины реактивностей х"_d и x"_q обычно ближе друг к другу, чем величины x'_d и x_q. Поэтому у машин с пол­ным демпфированием разница в значениях x₂, получае­мых по разным выражениям, очень мала.

Поскольку выражения (12-1)—(12-3) почти равно­ценны, в большинстве практических расчетов целесооб­разно принимать для синхронных машин реактивность х<г по наиболее простому выражению (12-2), которое к то­му же удовлетворяет нормальному правилу последова­тельного соединения реактивностей машины и ее внешней цепи. При необходимости учета высших гармоник надле­жит применять более точное выражение (12-3).

В качестве приближенных соотношений принимают:

Для машин без демпферных обмоток x₂≈ 1,45x¢_d;

Для турбогенераторов и машин с демпферными обмотками в обеих осях ротора x₂ ≈ 1,22 х ¢¢_d.

В практических приближенных расчетах обычно идут на дополнительное упрощение, принимая для турбогене­раторов и машин с продольно-поперечными демпферны­ми обмотками

x₂≈x¢¢_d (12-4)

Токи нулевой последовательности создают практиче­ски только магнитные потоки рассеяния статорной об­мотки, которые, как правило, меньше, чем при токах прямой или обратной последовательности, причем это уменьшение сильно зависит от типа обмотки. Поэтому величина x₀ синхронных машин колеблется в широких пределах:

х₀=(0,15 -0,6) x"_d. (12-5)

синхронные двигатели

Если в нормальных условиях асинхронный двигатель работает со скольжением s, то по отношению к магнит­ному потоку обратной последовательности синхронной частоты ротор двигателя, очевидно, имеет скольжение (2—s). Следовательно, сопротивление обратной последо­вательности асинхронного двигателя представляет собой его сопротивление при скольжении (2— s).

Кривая, показанная на рис. 12-2, иллюстрирует примерный характер относительного изменения реактив­ности асинхронного двигателя в функции скольжения¹.

' За единицу реактивности здесь принята реактивность двигате­ля при егономинальном скольжении.

Как видно, с ростом s реактивность двигателя вначале резко падает, а затем ее снижение весьма незначительно. Это позволяет практически считать

x₂≈x_s-1=x_k (12-6)

т. е. реактивность х₂, двигателя равной его так называе­мой реактивности короткого замыкания (относительная величина которого близка к обратной величине относи­тельного номинального пускового тока).

Рис. 12-2. Относительное изменение индуктивного сопротивления асинхронного двигателя в зависимо­сти от скольжения.

Реактивность нулевой последовательности асинхрон­ного двигателя, как и синхронных машин, определяется только рассеянием статорной обмотки и сильно зависит от типа и конструкции последней. Достаточно надежные значения этой реактивности могут быть получены преимущественно опытным путем или по данным завода-изготовителя.

бобщенная нагрузка

Реактивность обратной последовательности обоб­щенной нагрузки зависит от характера приемников электроэнергии и относительного участия каждого из них в рассматриваемой нагрузке. Для средней типовой промышленной нагрузки можно считать, что основная ее часть состоит из асинхронных двигателей, реактивность обратной последовательности которых, как показа­но в § 12-3, практически та же, что и в начальный момент внезапного нарушения режима.

Поэтому для реактивности обратной последовательности обобщенной нагрузки, в практических расчетах можно принимать, как и б § 6-5, величину

x₂==0,35, (12-7)

считая ее отнесенной к полной рабочей мощности в мегавольтамперах данной нагрузки и среднему номи­нальному напряжению той ступени, где она присоедине­на.

Поскольку обобщенная нагрузка включает в себя сеть и понижающие трансформаторы, ее сопротивление нулевой последовательности обычно определяется имен­но этими элементами, рассмотрение которых приведено ниже. Привести какие-либо средние величины этого сопротивления не представляется возможным.

12-5. Трансформаторы ¹

Реактивность нулевой последовательности трансфор­матора в значительной мере определяется его конструк­цией и соединением обмоток.

Со стороны обмотки, соединенной в треугольник или в звезду без заземленной нейтрали, независимо от того, как соединены другие обмотки, реактивность нулевой последовательности трансформатора, очевидно, бесконеч­но велика (x₀=∞), так как при этих условиях вообще исключена возможность циркуляции тока нулевой последовательности в данном трансформаторе. Следо­вательно, конечная, хотя иногда (см; ниже) и очень большая, реактивность нулевой последовательности трансформатора может быть только со стороны его об­мотки, соединенной в звезду с заземленной нейтралью.

На рис. 12-3,а, бив приведены основные варианты соединения обмоток двухобмоточного трансформатора, при которых приложенное к обмотке I напряжение нуле­вой последовательности вызывает в одной или в обеих обмотках ток той же последовательности. Справа, против каждого варианта соединения обмоток показанысхемы

¹ Для общности проводимых здесь записей обмотки трансформатора обозначены порядковыми номерами I, II, III вместо В,С,Н как это обычно принято.

Рис. 12-3. Соединения обмоток трансформаторов иих схемы замещения для токов нулевой последовательности.

замещения трансформатора (без учета активных сопро­тивлений) для токов нулевой последовательности.

При соединении обмоток Yo/∆ (рис. 12-3,а) * э. д. с. нулевой последовательности трансформатора целиком расходуется на проведение тока той же последователь­ности только через реактивность рассеяния обмотки, соединенной треугольником, так как этот ток (подобно третьей гармонике тока) не выходит за пределы данной обмотки. В схеме замещения это отражают закорачива­нием ветви с x_II. Потенциал, равный нулю, на конце ветви x_II схемы замещения не указывает на искусствен­ный перенос заземления нейтрали, как это иногда ошибочно воспринимают; он только соответствует усло­вию, что данной ветвью схемы замещения трансформа­тора заканчивается путь циркуляции токов нулевой последовательности.

При соединении, обмоток Yo/Yo представленная на рис. 12-3,6 схема замещения предполагает, что на стороне обмотки II обеспечен путь для тока нулевой последовательности, т. е. в цепи этой обмотки имеется по меньшей мере еще одна заземленная нейтраль (см. пунк­тир). Если же этого нет, то схема замещения будет такой же, как и при соединении обмоток Yo/Y (рис. 12-3,в), что соответствует режиму холостого хода трансформатора.

Оценим теперь величину реактивности намагничивания нулевой последовательности трансформатора х_μ0.

Для группы из трех однофазных трансформаторов, а также для трехфазных четырех- и пятистержневых (броневых) трансформаторов ток намагничивания нулевой последовательности очень мал, так как в этом случае условия для магнитного потока практически те же, что и при питании трансформатора от источника напряжения прямой (или обратной) последовательности. Поэтому в соответствии с принятым ранее (§ 2-1) допущением можно считать х_μ0=¥

Иные условия имеют место в трехфазных трехстержне­вых трансформаторах, где магнитные потоки нулевой по­следовательности вынуждены замыкаться через изолирую­щую среду и кожух трансформатора. Для проведения маг­нитного потока по пути со столь высоким магнитным со­противлением необходим достаточно большой ток намагни­чивания; следовательно, реактивность х_μ0 у трансформатора такого типа значительно меньше, чем. х_μ1.

* Обозначение Y₀ указывает, что нейтраль звезды заземлена:

В зависимо­сти от конструкции этого типа трансформатора она нахо­дится в пределах х_μ0=(0,3-1,0).Имея в виду, что величина x_II все же значительно меньше х_μ0 можно прак­тически считать, что и для трехстержневого трансформа­тора с соединением обмоток Y₀/Δ х_μ0≈¥

В табл. 12-1 сведены изложенные выше указания относительно оценки реактивности нулевой последова­тельности двухобмоточных трансформаторов.

Таблица 12-1

Реактивности х₀, двухобмоточных трансформаторов

Тип трансформатора я соединение его обмоток x₀

 

x1   ∞ x1   x1+xμ0 По рис 12-3,б

Трансформатор любого типа с соединени­ем обмоток Y₀/ ∆

Трехфазная группа из однофазных трансформаторов, трехфазный четырех -или пятистержневой трансформатор:

с соединением обмоток Y₀/Y

то же Y₀/Y₀

Трехфазный трехстержневой трансформа­тор:

с соединением обмоток Y₀/Y

то же Y₀/Y₀

У трехобмоточных трансформаторов одна из обмоток, как правило, соединена в треугольник. Поэтому дляних всегда можно принимать х_μ0=¥.

Основные варианты соединения обмоток трехобмо­точного трансформатора и- соответствующиеим схемы замещения нулевой последовательности (считая U₀.при­ложенным со стороны обмотки I) приведены на рис. 12-3,г, д и е.

В варианте рис. 12-3,г ток нулевой последовательно­сти в обмотке III отсутствует. Следовательно, в этом случае x₀=x_I+x_II=x_I-II

В варианте рис. 12-3,5 предполагается, что путь для тока нулевой последовательности на стороне обмотки III обеспечен. В этом случае в схему нулевой последовательности трансформатор должен быть введен своей схемой замещения.

 

Наконец, в варианте рис. 12-3,е компенсация тока нулевой последовательности обмотки I осуществляется токами, наведенными в обмотках II и III. В этом случае

втотрансформаторы

Обмотки автотрансформатора связаны между собой не только магнитно, но и электрически; поэтому здесь иные условия для протекания токов нулевой 'последова­тельности, которые должны быть отражены в схеме за­мещения нулевой последовательности автотрансформато­ра. При известных условиях, как показано ниже, даже при изолированной нейтрали автотрансформатора в его обмотках возможна циркуляция токов нулевой последо­вательности.

При глухом заземлений нейтрали автотрансформато­ра его схема замещения нулевой последовательности аналогична схеме соответствующего трансформатора. Так, если у автотрансформатора нет третьей обмотки и во, вторичной цепи обеспечен путь для тока нулевой последовательности, его схема замещения (при прене­брежении намагничивающим током и активными сопро­тивлениями) представляется суммарной реактивностью рассеяния (рис. 12-4,а). При наличии третьей обмотки², соединенной треугольником, схема замещения имеет тот же вид. что и у трёхобмоточного трансформатора при соответственном соединении его обмоток (рис. 12-4,в).

Следует подчеркнуть, что непосредственно из схемы замещения нулевой последовательности автотрансформа­тора нельзя получить ток, протекающий в его нейтрали. При указанных на рис. 12-4 направлениях токов иско­мый ток в нейтрали равен утроенной разности токов нулевой последовательности первичной и вторичной це­пей, т. е. I_N=3(I_0I-I_0II), причем каждый из них должен быть отнесен к своей ступени напряжения, а не ккакой - либо одной, для которой составлена схема замещения.

1 См. сноску к § 12-5..

2 Силовые автотрансформаторы, как правило, снабжены такой обмоткой.

 

Рис. 12-4. Соединения обмоток автотрансформатора яих схемы замещения для токов нулевой последовательности.

Допустим теперь, что нейтраль автотрансформатора заземлена через реактивность x_N (рис. 12-4,6). Если напряжение на нейтрали равно U_N и напряжения выводов ступеней I и II относительно нейтрали составляют со­ответственно U_NI и U_NII. то для результирующей реак­тивности нулевой последовательности между выводами ступеней I и II автотрансформатора, приведенной к сту­пени I, можно написать:

поскольку

где x_I-II — реактивность рассеяния автотрансформатора,

отнесенная к ступени I,

и

то окончательно получим:

x¢_I-II=x_I-II+3x_N (1- )² (12-8)

Данное выражение, разумеется, справедливо также и в том случае, когда реактивности представлены в отно­сительных единицах, причем его запись предполагает, что реактивность x_N отнесена к базисному напряжению ступени I.

Аналогичным образом для автотрансформатора, имеющего третью обмотку, соединенную треугольником (рис. 12-4,г), нетрудно найти результирующие реактив­ности нулевой последовательности между другими пара­ми его обмоток, также отнесенные к ступени I:

x¢_I-III=x_I-III+3x_N (12-9)

x¢_II-III=x_II-III+3x_N ()² (12-10)

Используя (12-8)—(12-10), по известным формулам для трехобмоточного трансформатора (см. приложение П-7) находим реактивности трехлучевой схемы заме­щения:

(12.11)

У автотрансформатора без третьей обмотки разземление нейтрали приводит к тому, что в схеме нулевой последовательности такой автотрансформатор оказыва­ется в режиме холостого хода; его ток намагничивания достаточно мал, и им можно пренебречь, поэтому x_m0=∞.

Иные условия имеют место при разземлении ней­трали автотрансформатора, который снабжен третьей обмоткой, соединенной треугольником. В этом случае циркуляция тока нулевой последовательности возможна [Л. 4].

оздушные линии

Ток нулевой последовательности воздушной линии возвращается через землю и по заземленным цепям, расположенным параллельно данной линии (защитные тросы, рельсовые пути вдоль линии и пр.). Главная трудность достоверного определения сопротивления нуле­вой последовательности воздушной линии связана с уче­том распределения тока в земле;

Рис. 12-5. Однопроводная линия «про­вод—земля».

точное нахождение последнего в об­щем виде представляет собой весь­ма сложную проблему. Достаточно полное и строгое решение в пред­положении постоянства электриче­ской проводимости земли и неогра­ниченности ее размеров выполнено Карсоном. Установленные на осно­вании его выводов приближенные формулы позволяют с достаточной для практики точностью вычислить отдельные составляющие и полное сопротивление нулевой последова­тельности воздушной линии при токах промышленной частоты и обычно встречающихся значениях проводимости земли, Эти формулы с краткими поясне­ниями приведены ниже, причем их окончательный вид дан для частоты f=50 гц.

Распределение переменного тока в земле выражается сложной закономерностью, аналогичной закономерности распределения тока в массивных проводниках.

Представим себе однопроводную линию переменно­го тока, обратным проводом которой служит земля

(рис. 12-5), или, как ее иначе называют, линию «про­вод,—земля». Характер изменения плотности тока в земле по мере удаления в стороны и углубления в землю иллюстрируют кривые, показанные на рис.12-6. Ток в земле как бы подтягивается к проводнику; соот­ветственно. наибольшая плотность тока имеет место на поверхности земли непосредственно под самим провод­ником.

Индуктивность такой линии, как показал Карсон, мо­жет быть определена как индуктивность эквивалентной двухпроводной линии с расстоянием между проводами D_a (рис. 12-5). Это расстояние называется эквива­лентной глубиной возврата тока через землю и может быть определено по формуле, предло­женной Карсоном:

(12-12)

где f— частота тока, гц;

λ— удельная проводимость земли, 1/ом·см.

При f=50 гц и среднем значении λ==10^-4 1/ом'см величина D_З=935 м. При отсутствии данных о проводи­мости земли обычно принимают D_З= 1000 м.

Таким образом, индуктивное сопротивление линии «провод—земля» легко определить по известной форму­ле для двухпроводной линии:

x_L = 0,145 lg , ом/км. (12-13)

Здесь r_Э—эквивалентный радиус провода, значения ко­торого составляют:

Для витых медных проводников в г_Э ==(0,724— 0,771)r;

зависимости от числа прядей

Для алюминиевых и сталеалюминиевых r_Э=0,95r, где

проводов марки А, АС, АСО, АСУ r-истинный ра-

диус провода.

Для линий с расщепленными проводами в (12-13) вместо r_Э, следует вводить средний геометрический радиус r_cр системы проводов одной фазы, который находят из выражения:

(12-14)

где n — число проводов в фазе;

а_ср— среднее геометрическое расстояние между про­водами одной фазы

 

Все линейные величины, входящие под знак лога­рифма в (12-13) и дальнейших формулах, должны быть выражены в одних и тех же (вообще говоря, произволь­ных) единицах.

Активное сопротивление линии «провод—земля» складывается из активного сопротивления провода r_п и дополнительного сопротивления r_З, учитывающего по­терю активной мощности в земле от протекающего в ней тока, т. е.

г=r_п+ r_З. (12-15)

Сопротивление Гу может быть определено из прибли­женного выражения:

r_З=π²f·10^-4, ом/км, (12-16)

которое при f=50 гц дает r_З=0,05 ом/км.

Следует обратить внимание, что величина r_З прак­тически не зависит от проводимости земли. Этот на первый взгляд парадоксальный вывод объясняется тем, что с изменением проводимости земли плотность тока в ней меняется; при этом потери активной мощности при заданной частоте тока остаются почти постоянными. Линейная зависимость r_З от частоты f вызвана соответ­ственным проявлением поверхностного эффекта земли.

Сопротивление, обусловленное взаимоиндукцией меж­ду двумя параллельными линиями «провод—земля» с расстоянием d между осями их проводов (если оно зна­чительно меньше величины D_З), можно определить из выражения:

Z_M=0.05+j0.145lg ,ом/км (12.17)

где активная составляющая соответствует потере актив­ной мощности, возникающей от протекания тока в земле.

Для трехфазной одноцепной линии с полным циклом транспозиции проводов сопротивление взаимоиндукции между фазами при возврате тока через землю следует определять по (12-17), заменив в последнем d средним геометрическим расстоянием между про­водам и фаз а, b и с:

(12-18)

т.е.

Z_Mср=0.05+j0.145lg ,ом/км (12-19)

Зная Z_L и Z_MCP, нетрудно найти сопротивление нуле­вой последовательности одноцепной трехфазной линии. Оно численно равно эффективному значению напряже­ния, которое должно быть приложено к каждому про­воду данной линии, чтобы покрыть падение напряжения при протекании в фазах токов нулевой последователь­ности с эффективным значением 1 а (Ia =Iь = Iс = 1 а),т. е.

Z₀=Z_L+Z_MCP+Z_MCP=Z_L+2Z_MCP (12.20)

после подстановки (12-13), (12-15), (12-16) и (12-19) и преобразования имеем:

Z₀ ==r_П+0,15+j0,435 lg ом/км, (12-21)

где — средний геометрический радиус систе­мы трех проводов линии.

Здесь уместно заметить, что если по линии протекает ток прямой последовательности с эффективным значе­нием 1 а (т. е. İа = 1 Ib = a². İс = а), то¹

Z₁ = Z_L+ a²Z_MCP+ aZ_MCP = Z_L - Z_MCP; (12-22)

после подстановки и преобразования имеем известную фор­мулу:

Z₁=r_п+0,145lg , ом/км. (12-23)

Из (12-20) и (12-22) непосредственно следует, чем вызвано различие между Z₁ и Z₀ линии. В то время как при токе прямой (или обратной) последовательно­сти взаимоиндукция с другими фазами уменьшает со­противление фазы, при токе нулевой последовательности она, напротив, увеличивает его.

¹ Возможность представления трехфазной линии при протекании по ней токов прямой (или обратной) последовательности тремя ли­ниями «провод—земля» вытекает из того, что результирующее влия­ние фиктивных обратных проводов этих линий практически отсут­ствует, так как сумма токов в этих проводах равна нулю.

Поскольку zl и 2мср у линий соизмеримы, величины Zi и Zo резко различа­ются между собой.

Из тех же выражений вытекают важные соотно­шения:

Z,=(Z,+2Z,)/3; (12-24) ^cn=(^.-^)/3. (12-25)

Рис. 12-6. Двухцепная ли­ния передачи. а — исходная схема: б — схемазамещения нулевой последова­тельности.

Сопротивление нулевой по­следовательности каждой цепи двухцепной линии дополни­тельно увеличивается¹ благо­даря взаимоиндукции с про­водами параллельной цепи. Сопротивление взаимоиндук­ции между проводом одной це­пи и тремя проводами другой цепи можно определить по (12-19), где обе составляющие должны быть увеличены в 3 раза и вместо D_CP введено среднее геометриче­ское расстояние D_I-II между цепями, определяе­мое через расстояния от каж­дого провода (а, b, с ) цепи I до каждого провода (а¢,b¢,

с¢) цепи II:

(12-26)

Следовательно, искомое сопротивление

Z_I-II0 = 0,15 + j0,435 lg , ом/км. (12-27)

Следовательно, сопротивление нулевой последователь­ности двухцепной линии, считая в общем случае цепи неодинаковыми, определяют из известной схемы заме­щения двух магнитносвязанных цепей, как показано на рис. 12-6.

¹ При прохождении токов в обеих цепях в одну сторону.

При идентичности параллельных цепей (Z_I0=Z_II0=Z₀) сопротивление нулевой последовательности каждой из них, очевидно, будет:

Z¢₀=Z₀+Z_I-II0 (12-28)

результирующее сопротивление (т, е. сопротивление линии

=0,5Z¢₀=0.5(Z₀+Z_I-II0) (12-29)

увеличение сопротивления нулевой последовательности вследствие влияния взаимоиндукции цепи не превышают 10% при расстоянии между цепями поряд­ка 400—500 м. Разумеется, при расположении обеих це­пей на одной опоре взаимоиндукция проявляется особенно сильно.

Оценим теперь влияние тросов на величину сопро­тивления нулевой последо­вательности линии. Тросы используют в качестве сред­ства грозозащиты линии, располагая их в верхней точке опоры. До последнего времени тросы заземляли практически на каждой опоре. В образующихся при этом короткозамкнутых контурах возможно проте­кание наведенных токов. Последние малы при проте­кании по линии уравнове­шенной системы токов, в силу чего Z₁ (и Z₂) практически не зависит от наличия заземленных тросов, и, на­против, могут быть значи­тельны при протекании полинии тока нулевой последовательности. При этом от­ветная реакция от наведенных токов в тросе может существенно изменить сопротивление нулевой последовательности линии.

В последнее время для линий (преимущественно большой протяженности) стали применять другую си­стему заземления защитных тросов. Тросы подвешивают на изоляторах и разрезают на ряд участков. С одного конца каждого участка тросы заземляют, а с другого между тросом и землей оставляют искровой промежуток, пробой которого наступает при возникновении перенапряжения определенной величины. При такой системе заземления тросов послед­ние практически не сказываются на сопротивлении нулевой последовательности линии.

Однако, поскольку у большин­ства существующих линий передачи. защитные тросы заземлены почти на каждой опоре, определение сопротивления нулевой последователь­ности таких линий по-прежнему представляет практический интерес.

Обратимся к принципиальной схеме рис. 12-7, а, где показаны одноцепная трехфазная линия с одним зазем­ленным тросом и путь циркуляции токов нулевой по­следовательности для рассматриваемого случая.

Сумма токов в тросе İ_Т, и земле İ_T образует ток в ней­трали, равный утроенному току нулевой последователь­ности в фазе линии. Соответственно этому токи нулевой последовательности в тросе и земле, очевидно, будут:

İ_T0=İ_T/3

İ_З0=İ_З/3

Рассматривая трос как независимую однопроводную линию «провод—земля», его составляющие сопротив­ления можно определить по (12-13) и (12-15) и затем увеличить в 3 раза, чтобы учесть влияние токов всех фаз линии, что при f= 50 гц дает:

Z_Т0= 3r_Т+0,15+j0,435 lg , ом/км, (12-30)

где r_T — активное сопротивление троса;

r_эТ—эквивалентный радиус троса.

Сопротивление взаимоиндукции нулевой последова­тельности между проводом линии и тросом определяет­ся по (12-27), где нужно заменить Di-a средним геоме­трическим расстоянием между проводами и тросом (рис. 12-8), т.е.

D_ПТ=

Зная Z₀, Z_T0 и Z_ПТ0, нетрудно от схемы,с магнитной связью между цепями (рис. 12-7,6) перейти к извест­ной схеме замещения (рис. 12-7,в), результирующее со­противление которой дает искомое сопротивление нуле­вой последовательности линии с учетом заземленных тросов, т. е.

(12-31)

Чтобы нагляднее представить себе влияние заземлен­ных тросов на сопротивление нулевой последовательно­сти линии, запишем в последнем выражении сопротив­ления Z₀, Z_Т0, Z_ПТ0 в показательной форме с аргумента­ми соответственно φ₀,φ_Т0,φ_ПТ0, т.е.

(12-31a)

где

ψ=(2φ_ПТ0-φ_Т0)

и на основании (12-31 а) построим векторную (рис. 12-9).

Значения указанных аргументов обычно в следующих пределах:

 

при проводниках из цветных металлов φ₀ == 75 — 80˚

при стальных проводниках φ_Т0 == 30 — 45˚

при расстоянии D_ПТ≤100мφ_ПТ0 == 70-90˚

 

При этом, как видно из рис. 12-9, тросы всегда сни­жают индуктивное сопротивление нулевой последова­тельности линии (это также следует из самой роли тро­сов). Что касается их влияния на активное сопротивле­ние нулевой последовательности линии, то здесь нельзя дать однозначный ответ. Как следует из рис. 12-9, при ψ>90°, что имеет место при тросах с большим активным сопротивлением, сопротивление r₀ возрастает; при ψ<90⁰, что имеет место при тросах с малым активным сопротивлением, r₀, напротив, снижается; в частном случае, при ψ=90° оно остается без изменения.

-

Величины токов в тросе и земле легко определить, используя схему замещения рис. 12-7,в:

(12-32)

и

(12-33)

При нескольких заземленных тросах их влияние на, сопротивление нулевой последовательности сказывается разумеется, сильнее. Аналогич­ные условия имеют место, когда одна из параллельных линий выведена в ремонт и за­землена. Методика подсчета параметров в подобных, слу­чаях указана в [Л. 3, 5].

Рис. 12-9. Диаграмма сопротивления нулевой последовательности ли­нии с заземленным тро­сом.

В приближенных практиче­ских расчетах в качестве сред­них соотношений между индуктивными сопротивлениями x₀ и х₁ для воздушных линий можно принимать значения, приведенные в табл. 12-2.

Реактивное емкостное со­противление воздушной линии (на 1 км *) определяется по следующим выражениям [Л. 2, 9]:

для прямой (обратной) последовательности без уче­та влияния земли (оно сказывается незначительно)

.D,

х^=132lg ·10³, ом.·км, (12-34)

где, как и ранее, r — радиус провода;

D_CP — среднее геометрическое расстояние между проводами фаз а, b и с;

* Напомним, что емкостное сопротивление линии является по­перечным. Поэтому такое сопротивление линии длиной l км меньше сопротивления ее 1 км в l раз.

для нулевой последовательности

,ом-км, (12-35)

где R¢_CP—средний геометрический радиус систем трех проводов линии [то же, что в (12-21), но с заменой r_Э на r],

D _i =2 среднее расстояние проводов фаз а, bи с до их зеркальных отражений отно­сительно поверхности земли (h_a, h_b, h_c— высоты подвеса проводов соот­ветственно фаз а, b и с относительно земли).

Таблица 12-2

Средние значения соотношений между х₀ в x₁ для воздушных линий передачи

Характеристика линии Отношение x₀/x₁

 

3,5 3,0 2,0 5,5 4,7 3,0

Одноцепная линия без тросов....

То же со стальными тросами....

То же с хорошо проводящими троса­ми

Двухцепная линия без тросов....

То же со стальными тросами....

То же с хорошо проводящими троса­ми

 

Заземленный трос несколько снижает емкостное сопротивление. Однако достаточно заметно это сказывает­ся лишь в нулевой последовательности. В этом случае имеем:

x_C0=396()·10³,ом·км (12-36)

где r_T — радиус троса;

D_ПТ — среднее геометрическое расстояние между проводами и тросом [то же, что в (12-31)];

D_{ПT i} = — среднее расстояние между проводами

фаз а, b и с и зеркальным отражением троса, подвешенного на высоте h_T.