пределение квадратичной функции.
| 1. Мотивация и постановка цели урока. | |
| Дан прямоугольник 2х3. Длину увеличили на х. Площадь полученного прямоугольника у. Составить формулу, выражающую зависимость у отх. | Расстояние АВ = 8 км. Расстояние ВС велосипедист проехал за tчасов со скоростью V = 13 км/ч. Выразите через t расстояние АС = S. S = 8 + 13t |
| y = kx + b, где k, b – числа. | |
| Усложним ситуацию. Ширину так же увеличили на х | Пусть ВСвелосипедист проехал t часов с ускорением а = 4 км/ч2и начальной скоростью V0 = 13 км/ч.
|
| y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 |
2. Функция у = х2.
ктуализация и целеполагание урока.
На доске написаны ключевые слова:
Свойства функции.
1. Область определения.
2. График
3. Область значений.
4. у = 0 при х …
5. у > 0 при х …
6. у < 0 при х …
7. Характер поведения.
Во время выполнения устных упражнений и проверки домашнего задания на доске строится график функции у = 2х + 4.
Задание: Расскажите как можно больше о функции у = 2х + 4.
Вывод: изучить свойства функции значит …
Цель урока: изучить свойства функции у = х2. Что предстоит сделать на уроке?
бъяснение нового материала
у = х2 (квадратичная функция а = 1, b = c = 0)
1.
|
2. 
ОЗФ: у ≥ 0
у = 0 при х = 0
3. График (построение по точкам методом загущения, сколько точек возьмем, какие?)
| Х | Увидеть в таблице (-х)2 = х2. | |
| У | Как это отразится на графике? |
Сопутствующая терминология: парабола, ветви параболы, вершина, ветви направлены вверх.
4. Чтение графика – геометрический язык, подтверждение результатов аналитического исследования.
5. Сравнение по графику у(3) и у(2) → запись → вывод → поясняющее описание возрастающей функции.
Аналогично: (-3) <- 2 
у (-3) > у(-2) функция убывает при неположительных х.
3). Задачи на свойства функции у = х2
а) по графику найти х, если у = …
у, если х = …
Вывод: парабола у = х2 позволяет находить приближенные значения квадратных корней и возводить в квадрат.
б) лежит ли точка на графике у = х2: (3; -2); (-3; 4)
в) не вычисляя и не пользуясь графиком сравнить: у(2,1) и у(1,11)
(-1,25)2 и (-1,32)2
4,232 и 9,052
г) аналитически исследовать монотонность функции у = х2
3. Функция y = ax2.
1) Актуализация и целеполагание урока:
Построить в одной системе координат графики функций у = х, у = 2х, у = 1/2 х, у = -х, у = -2х, у = -1/2х.
Как значение k влияет на вид и расположение графика функции у = кх?
Цель урока: как будет влиять значение а на вид и расположение графика у = ах2?
бъяснение нового материала.
а) Домашнее задание к уроку: построить график функции у = х2 в системе координат с началом в центре страницы.
б) Работа по вариантам: построить в той же системе координат по точкам (методом загущения) график функции:
| Iв. у = 2х2 | II в. у = 1/2х2 |
С помощью индукции приходим к заключению, что график функции у = ах2 (а>0) – парабола
0 < a < 1 – получаем из параболы у = х2 сжатием к оси Ох
а > 1 – получаем из параболы у = х2 растяжением от оси Ох
Свойства не изменились. При положительных х при а > 1 график быстрее поднимается вверх (функция быстрее возрастает, ветви более крутые); при 0 < a < 1 график медленнее поднимается вверх (функция медленнее возрастает, ветви более пологие)
в) Все строим у = -х2. Работа по вариантам:
| I в. у = -2х2 | II в. у = -1/2х2 |
(используем симметрию, не строим таблицу значений). Сопоставление свойств, чтение графиков.
г) Запись свойств функции у = ах2 с использованием эскизов графиков:
4. Функция у = ах2 + bх + с
1. Домашнее задание к уроку:
Построить график функции у = х2 и изготовить его трафарет.
2. Работа по вариантам:
Построить график функции по точкам (методом загущения):
I в. у = х2 + 2х + 1
II в. у = х2 – 2х + 1
III в. у = х2 + 2х + 4
IV в. у = х2 –2х – 2
С помощью шаблона установим, что график получается сдвигом параболы у = х2. Почему сдвиг различный? Можно ли предугадать направление сдвига? (выделим полный квадрат в каждом варианте).
3. Как получить график функции у = х2 + 6х + 4 из графика у = х2?
4. Все: строим по точкам у = -2х2 – 4х + 3.
(с помощью шаблона показываем, как получить из у = х2)
Вывод: графиком любой квадратичной функции y = ax2 + bx + c является парабола, которую можно получить из у = х2.
Вершина 
Ось симметрии 
5. Построение графика функции у = ax2 + bx + c.
Можно ли восстановить график квадратичной функции?
Что достаточно знать?
- вершину
- одну точку графика (нуль)
- ось симметрии.
Какой план построения параболы вы предлагаете?
Общефункциональные понятия в курсе математики средней школы
1. Когда и какие определения даются в школьном курсе следующим понятиям: функция, область определения функции, множество знаний функции, график функции, интервалы знакопостоянства функции, нули функции, характер монотонности, четность функции, периодичность функции, ограниченность функции, наибольшее (наименьшее) значение, асимптота, обратная функция, непрерывность функции, выпуклость функции?
2. Заполните таблицу, включив в нее те понятия, которые изучаются в основной школе
(по учебникам по ред. Теляковского С.А. (7-9 кл.)
| Обще- функциональные понятия | Определение (поясняющее описание) На словесном и символическом языке | Геометрическая (графическая) интерпретация | Замечания |
Какие из перечисленных понятий активно используются (или могут использоваться) до введения определений? Укажите в таблице «замечания». Используйте учебники Мордковича А.Г.(7-9 кл.)
3. Покажите методику работы над понятием «возрастающая (убывающая) функция» в VII кл. (при изучении линейной функции, функции у = х2), в IX классе (определение понятия, доказательство свойств на примере других функций).
4. Стратегия и техника изучения свойств функций в учебно-методическом комплексе (УМК) Мордковича А.К. (7-9 кл.).
Конспект статьи. (Методические особенности концепции изучения функций – «Математика», еженедельное приложения к газете «1 сентября» № 16, 1994)
5. Использование общефункциональных понятий в итоговой аттестации выпускников:
- ГИА по математике в основной школе
- контрольных измерительных материалах (КИМах) ЕГЭ по математике.
Приведите примеры заданий ГИА и ЕГЭ.
