.
a) (), , ;
b) () . .
c) , p (x), .
d) . , .
e) f, , .
( , , , Y ..), ( a, b, x, y). : Î : .
1.1. , :
a) { x ô x 100};
b) { x ô x 100};
c) { x ô x 100};
d) { x ô x ÎN; x 2 1 = 0 x 2 4 = 0};
e) { x ô x };
f) { x ô x ÎN; 2log4 x = 1};
g) { x ô x ÎN; }.
.
a) 100, , 100 . , 100. : 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50. 1 100, . . = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50};
b) 100. , 2 5. . 1 , , . , : = {2, 5};
c) 100. 100 . : 100 = 2×2×2×5. , = {2, 2, 5, 5}. , , , . : = {2, 5};
d) , . , , , , . , N. :
|
|
x 2 1 = 0, +1 -1; x 2 4 = 0, +2 -2. -1 -2 , , D, : D = {1, 2};
e) . . : = {, , , , , , }, ;
f) d). - 2log4 x = 1. ³0. 2log4 x = 20, log 4 x = 0, = 1. . , , F, :
F = {1};
g) d). . ³ 1. : 1 ³ 4, ³ 5. , ³ 5. Î [5; ¥]. , . G : G = {5, 6, 7, n, }.
1.2. ():
a) {2, 3, 11};
b) {1, 3, 9, 27, 81, 243}
c) {s, t, u, d, e, n}
.
a) , , . . : 2×3×11 = 66. = { a ô a 66};
b) 3 (30=1, 31=3, 32=9 ..). :
= { b ô b 3 0 5};
c) C = { c ô c student}.
1.3. :
a) = {(x, y)ô x ÎR, y ÎR; x 2 + y 2 £ 4};
b) B = {(x, y)ô x ÎR, y ÎR; x + y >0, x + y 2 £ 0};
c) C = {(x, y)ô x ÎR, y ÎR; | x | £ 1 | y + 2| £ 4};
d) D = {(x, y)ô x ÎR, y ÎR };
e) E = {(x, y)ô x ÎR, y ÎR y £ |sin x |};
f) F = {(x, y)ô x ÎR, y ÎR x 2 = y 2 }.
. , . , , , () .
a) . :
x 2 + y 2 = 4. , 2. . , : , , . - , . , (0;0). = 0 = 0 x 2 + y 2 £ 4. : 02 + 02 £ 0, (0;0) . , . , . , . , Q(10;10): 102 + 102 = 200, 0! , , 2 .
|
|
b) : x + y =0, x + y 2 = 0. ( = - ) 2- 4- . : , ( ) , ( ) . , , , Q(10;10) x + y > 0. : 10 +10 > 0 ()
x + y =0. ( x + y 2 = 0 ) 2 2-, 1- 3- . : () (). , , (0;0). = 0 = 0 x + y 2 £ 0. : 0 + 0 2 £ 0 - . , (0;0). , (, (1;1), (0;1), (1;0); (2;-1) ..),. , , , ( ). .
c) | x | £ 1 : -1 £ £ 1. , [-1; 1]. , . (; ). -1 £ £ 1 , = 1 = -1. | y + 2| £ 4 : -4 £ y + 2 £ 4. 2 , : -6 £ y £ 2. , y = -6 y = 2. , . ? . , , . . .
d) . , . , - . , . : , , , , . , , . ³ 0, . , , . D.
|
|
e) = sin x, , , . = |sin x |. y £ |sin x | , .
f) x 2 = y 2, , , . : x 2 - y 2 = 0, ( ) ( + ) = 0. = 0 + = 0. - 1- 3- 2 4- . F .
.
1. :
a) { x ô x 6 8}; (: 2)
b) { x ô x ÎN; x 3 - 5 x 2 + 4 = 0}; (: 1)
c) { x ô x ÎR; x + 1/ x > 2; x > 0}; (: Î(0, ¥))
d) { x ô x );
e) { x ô x ÎZ; sin x < 0; cos x > 0}; (: -1).
2. :
a) { (x, y)ô y £ 2 x 2 };
b) { (x, y)ô y ³ | x | + 1};
c) { (x, y)ô x 2 + y 2 25 > 0}
( ) , - . V ( U) .
. (). : = { x ô x Î V ()}.
, , , , , . Æ.
Ì ( ») , . , , . , . , , , . É , .
, . : = , ¹ .
Í , . , = . Ê .
, Í , Í .
Æ ( ). , Í ( ).
. .
, , . ().
|
|
. = {2, 4, 6}; M(A) = {2, 2, 2, 2, 4, 6, 6, 6}.
() . , = ().
() = { a 1, a 2, a n} (n 1, n 2, nk), ni i. () = {2, 4, 6} (4, 1, 3).
2.1. V = {1,2,3,20} 1 20. :
a) ;
b) 20;
c) , 6;
d) ;
e) .
.
a) : = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. , Ì V.
b) 20: = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Ì V.
c) , 6: = {6, 12, 18}, C Ì V.
d) : D = {1, 4, 9, 16}. D Ì V, , ;
e) = { x 1- x 2; x 2- x 3; x 19- x 20}. , . , , , . Ë V, Ì V. = Æ.
2.2. : = {3, 5, x, y }; B = {3, 2, 5, x, y }; C = { y, y, 5, 3, x, x }; D = {3, 4, 5, x, y }.
. A = C, 3, 5, x y. 4. , , . : 2 . , , , . B D, , . , Ì , Ì D, C Ì B
C Ì D.
2.3. , , ?
a) A = {1, (2, 5), 6}, B = {1, 2, 5, 6};
b) A = {1, {2, 5}, 6}, B = {1, {5, 2}, 6};
c) A = {1, {2, 7}, 6}, B = {1, (2, 7), 6};
d) A = Æ, B = { Æ };
e) A = {0}, B = { Æ }.
.
a) A ¹ B. , . 1, 2, 5 6. , 1, 6 (2, 5). . .
b) = . 1 6,
{2, 5}. 1 6,
{5, 2}. , {2, 5} {5, 2} . . , .
c) A ¹ B. 1 6. {2, 7}, (2, 7). , . , .
d) A ¹ B. , . , .
e) A ¹ B. 0. , , . .
.
1. , :
a) S ;
b) ;
c) Y ;
d) z Z.
2. : = {1, 3, 5, 7}; B = {3, 5}; C = {2}; D = {5, 7, 9}. , ?
a) Ì (: );
b) Æ Î D (: , D, , );
c) Ì (: );
d) Ì D (: );
e) Î (: , , , );
f) Ë (: ).
|
|
V , , .. -. , ( ).
( Æ V) : , , , .
.1 Ì V ( : V), . :
= { x | x Î A x Î V }.
: , V.
.2 Ā . :
Ā = { x | x Î V Ï }.
, V , . :
1) - ; 2) Æ.
.3 . , , . È = { x | x Î A x Î B }. :
1) È = ;
2) È ( È ) = ( È ) È ;
3) È = È ;
4) È Æ = , È V = V;
5) È Ā = V.
.4 . , , , .
Ç = { x | x Î A Î }
:
1) Ç = ;
2) Ç Ā = Æ;
3) Ç ( Ç ) = ( Ç ) Ç ;
4) Ç = Ç ;
5) Ç Æ = Æ; Ç V = .
.5 . , , .
A \ B = { x | x Î A x Ï B}
, , Ç .
.6 . , , , , .
A ¸ B = { x | x Î A x Ï B x Ï A x Î B }
:
1) ¸ = ¸ -;
2) ( ¸ ) ¸ = ¸ ( ¸ ) ;
3) ¸ Æ = Æ ¸ ;
4) ¸ = Æ - ;
5) Ç ( ¸ ) = ( Ç ) ¸ ( Ç ) .
: A ¸ B = ( \ ) È ( \ ) A ¸ B = ( È ) \ ( Ç ).
, Å D.
3.1. : V = {2; 3; 4; 8; 9; 10; 11}; A = {2; 3; 4}; B = {3; 4; 8; 9}
= {2; 10; 11}. :
a) È ; È È ;
b) Ā;
c) Ç ; Ç Ā;
d) \ ; \ ; \ \ ;
e) ¸ ; ¸ ; ( ¸ ) ¸ .
.
a) È , È = {2; 3; 4; 8; 9}. , .
È È È . : È È = {2; 3; 4; 8; 9; 10; 11}. , È È = V.
b) ( Ā) , . 8, 9, 10 11. Ā = {8; 9; 10; 11}.
c) , . 3 4. , : Ç = {3; 4}.
Ç Ā = {3; 4; 8; 9} Ç {8; 9; 10; 11} = {8; 9}.
d) \ , . 2. , \ = {2}.
\ = {8; 9}.
A \ C \ B = (A \ C) \ = {3; 4} \ {3; 4; 8; 9} = Æ.
e) ¸ , . : 3 4. , ¸ = {2; 8; 9}.
, ¸ = {3; 4; 10; 11}.
( ¸ ) ¸ = {2; 8; 9} ¸ {2; 10; 11} = {8; 9; 10; 11}.
3.2. : V = { a; b; c; d; e; f; k, m, n }; P = { a; b; c, d }; Q = { b; c; e; f; k } R = { k; m; n }. :
a)
b)
c)
d)
e)
.
a) P c Q:
P È Q = { a, b, c, d, e, f, k }.
R. . : , , . .
b) P \ R = { a; b; c, d }. , P \ R = P. Q: P \ R \ Q = P \ Q = { a, d }. . R. :
c) . : . :
d) P Ç Q = { b, c }. . Q Ç R = { k }. .
e) , V R , R, . , . . : .
3.3. :
a)
b) ;
c)
.
3.4. , . , .
.
- 1 , . Ç Ç ;
- 2 , , ;
- 3 . 2: ;
- 4: ;
- 5 , ;
- 6: ;
- 7: ;
- 8 : .
3.5. , :
a) (A\B)ÇC;
b) A\(B¸C);
c) .
.
.
1. = { , , , , }, = { , , , }, C = { x, y }, D = { , , , } :
a) (A¸B)\(CÇD);
b) (A\B)\(C\D);
c) ;
d) .
2. , , :
a) (AÈB)Ç(AÈC);
b) (A¸B)È(AÇB);
c) ;
d) ;
e) .
, . , ( ). , , .
1. : È = ; Ç = ,
2. : È Ø = ; È V = V; Ç Ø = Ø; Ç V = ,
3. : A È Ā = V; Ç Ā = Ø; ; ,
4. : È = È ; Ç = Ç ,
5. : È ( È ) = ( È ) È ; Ç ( Ç ) = ( Ç ) Ç ,
6. : È ( Ç ) = ( È ) Ç ( È ); Ç ( È ) = ( Ç ) È ( Ç ),
7. : ,
8. : ( È ) Ç = ; ( Ç ) È = ,
9. (): ( È ) Ç (Ā È ) = ; ( Ç ) È (Ā Ç ) = ,
10. : .
(Ç) (È) : - , , (V) (Ø), , .
:
Þ - , ;
Û - , .
4.1. :
a) ;
b) ;
c) .
.
a) , , ;
b) RÈV = V, PÈÆ= P,
c) ,
4.2. :
a) (È)\ = \;
b) Ç(È) = \(\)Ç(\).
.
a)
b)
4.3. : .
a)
b) AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC);
c)
d)
.
a)
1. :
|
2. .
, Y , : XÍY YÍX.
, , Î . , ÎV Ï . , Ï Ï. Ï, ÎĀ, , . Ï, , , . ,
, , . . ÎĀ, ÎV Ï, , ÏÇ. , . , ÎV Ï. , ÏÇ, . , , .
, , .
b) AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC);
1. :
2. .
ÎÇ(È). Î ÎÈ. Î, ÎÇ, , , Î(Ç)È(Ç). Î, ÎÇ. , Î(AÇB)È(AÇC). , , AÇ(BÈC) Í (AÇB)È(AÇC.
Î (AÇB)È(AÇC). ÎÇ, Î Î. , Î ÎÈ, ÎÇ(È). ÎÇ, Î Î. , Î ÎÈ, ÎÇ(È). (AÇB)È(AÇC)Í AÇ(BÈC). , AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC). .c) , - .
1. :
, Ç=Æ. , ÆÌ, . . . , Ç= , . , . , .
2. .
. ÇÍ Î. , .
: Î .
Î, ÎÇÍ, Î, , , .
, . .
ÎÇ. , .
ÎÇ, Î Î. , Î. .
d) , Ā.
1. :
2. .
Í. Ï ( ). : Ï ( ÎĀ). Ā. , . .
4.4. .
.
) . . , , :
= { x ô x ÎA Î Ï Î Ï Ï}.
: = ((Ç)\)È(\\). , : . , . .
c) \\ ÇÇ. M = { x ô x ÎA x Ï Ï Î Î Î}. :
.
1. :
a)
b) (¸)È(Ç); ( È);
c)
2. , :
a) (È)\ = \;
b) Ç(È) = \(\)Ç(\);
c) È = Ç Þ =;
d) \ = Æ Û Ç = .
3. , , :
a) È = ; ( Æ);
b) Ç = ; ( V).