адача 6. Случайная величинаХ– годовой доход наугад взятого лица, облагаемого налогом. Её плотность распределения имеет вид: Величины b и n заданы в таблице.

адача 1.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут через А и С?

2) Из 3 экземпляров учебника экономики, 7 экземпляров учебника геометрии и 7 экземпляров учебника философии надо выбрать по два экземпляра каждого учебника. Сколькими способами это можно сделать?

3) В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсин. Ваня выбирает из нее яблоко или апельсин, после него Надя берет и яблоко, и апельсин. В каком случае Надя имеет большую свободу выбора: если Ваня взял яблоко или если он взял апельсин?

4) Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Каково количество способов, если одна из полос должна быть красной?

5) Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

6) Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека в каждой команде, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

7) У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?

8) Сколькими способами можно разложить 12 одинаковых конфет по пяти различным пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым?

9) Бросают игральную кость с 6 гранями и запускают волчок, имеющий восемь граней. Сколькими различными способами могут они одновременно упасть?

10) Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

11) Хор состоит из 10 участников: 5 девочек и 5 мальчиков. Сколькими способами можно выбрать 6 участников концерта так, чтобы трое определенных мальчиков участвовали в концерте?

12) Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?

13) Сколько различных «слов» можно получить, меняя местами буквы в слове «математика»?

14) Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно послать трое курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

15) Сколькими способами можно поменять местами буквы слова «Юпитер» так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке?

16) В селении проживает 2000 русских жителей. Возможно ли, что инициалы каждого из них различны? Сколько человек может иметь различные инициалы?

17) На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

18) На собрании должно выступать 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать до того, как выступит А?

19) Сколько существует чисел от 0 до 999, которые не делятся ни на 3, ни на 5?

20) В букинистическом магазине лежат 6 экземпляров романов И.С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа Дворянское гнездо» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 томов, содержащих романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, содержащих романы «дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими действиями можно сделать покупку, содержащего по одному экземпляру каждого из этих романов?

21) Сколькими способами можно разбить 30 студентов на три подгруппы по 10 человек в каждой подгруппе?

22) Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офицера, двух сержантов и 20 рядовых?

23) Сколькими способами три человека могут разделить поровну между собой 6 одинаковых яблок, 3 одинаковых апельсина, 12 груш?

24) Сколькими способами можно расположить в 9 различных лузах 7 белых шаров, и 2 черных шара, если ни одна из луз не может быть пустой?

25) Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? Во скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?

26) В урне лежат жетоны с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9, 10. Из нее вынимают три жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел рана 9? Меньше 9? Больше 9?

27) Переплетчик должен переплести 6 различных книг в красный, зеленый или коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?

28) Сколькими способами можно составить 6 слов (каждое слово состоит не менее, чем из трех букв) из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется только один раз?

29) В купе железнодорожного вагона имеется два противоположных дивана по 5 мест каждый. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом к паровозу, а трое – спиной к паровозу, остальным трем безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?

30) В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 различных чашки, 5 различных блюдец и 6 различных чайных ложек. Сколькими способами они могут взять чашку, блюдце и ложку для чаепития?

адача 2.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) При перевозке 20 изделий первого типа и 15 изделий второго типа повреждены два изделия. Найти вероятность того, что повреждены изделия: а) одного типа, б) разных типов.

2) В лотерее 20 билетов, из них 8 выигрышных. Какова вероятность выиграть: а) один раз, б) хотя бы один раз, купив 3 билета?

3) Необходимо отправить делегацию из пяти человек. В коллективе 4 бухгалтера, 10 менеджеров и 5 научных сотрудников. Найти вероятность того, что среди делегатов будет 1 бухгалтер, 2 менеджера и 2 научных сотрудника.

4) В коробке 15 плиток шоколада, среди которых 9 с орехами. Найти вероятность того, что из наудачу взятых 3 шоколадок: а) две будут с орехами, б) хотя бы две будут с орехами.

5) Восемь счетов, среди которых 3 оформлены с ошибками, поступили на ревизорскую проверку. Какова вероятность того, что эти три счета будут лежать в пачке счетов рядом?

6) Среди 40 счетов четыре оформлены с ошибками. Ревизор наугад берёт три счёта. Найти вероятность того, что среди этих счетов: а) один будет с ошибками, в) хотя бы один содержит ошибки.

7) В соревновании участвуют 12 команд. Какова вероятность того, что некоторая определённая команда войдёт в число призёров?

8) Для аттестации группы студентов из 30 человек произвольно выбирают 5 студентов. Какова вероятность того, что будут отобраны: а) два вполне определённых студента, б) ни один из них?

9) В пачке 12 тетрадей, среди которых 5 в линейку, остальные в клеточку. Найти вероятность того, что среди трех наудачу взятых тетрадей: а) одна будет в линейку, б) хотя бы две будут в клеточку.

10) В отделе работают 8 женщин и 6 мужчин. Трое из них по жребию отправятся в командировку. Какова вероятность того, что: а) все трое будут мужчины, б) все трое будут женщины?

11) В магазин поступили 20 телевизоров одной марки и 10 телевизоров другой марки. Для школы наудачу закупили три телевизора. Какова вероятность того, что: а) все три телевизора будут одной марки, б) хотя бы один телевизор будет второй марки?

12) В кабинете имеются 30 книг выпуска 2004 года и 20 книг выпуска 2000 года. На группу студентов выдали 5 произвольно выбранных книг. Какова вероятность того, что: а) 2 книги будут выпуска 2004 года, б) все книги будут выпуска 2004г.?

13) На склад поступили 15 пылесосов одного типа и 10 пылесосов другого типа. На проверку взяли произвольно три пылесоса. Какова вероятность того, что: а) все пылесосы первого типа, б) хотя бы один пылесос второго типа?

14) В группу принесли 30 методических пособий по математике, среди которых 20 по математическому анализу и 10 по теории вероятности. Студент наугад берёт 2 методички. Найти вероятность того, что: а) обе методички будут по теории вероятности, б) хотя бы одна будет по теории вероятности.

15) В пачке 10 тетрадей, среди которых три в линейку, остальные в клеточку. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу взятых тетрадей: а) одна будет в линейку, б) хотя бы одна будет в клеточку.

16) К зачёту студент подготовил 40 вопросов из 50. Какова вероятность получить зачёт, если для его получения надо ответить хотя бы на 2 вопроса из трёх случайно выбранных компьютером-экзаменатором?

17) В пачке 10 тетрадей, среди которых три в линейку, остальные в клеточку. Найти вероятность того, что все тетради в линейку лежат рядом друг с другом.

18) В коробке 10 плиток шоколада, среди которых 6 с орехами. Найти вероятность того, что из наудачу взятых 4 шоколадок: а) три будут с орехами, б) хотя бы одна будет с орехами.

19) Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых изображены буквы Б, И, К, Н, О, Р, С, получится слово «СБОРНИК»?

20) На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу выбираются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на этих карточках равна 10?

21) В коробке имеются 6 красных и 15 чёрных ручек. Из коробки случайно вынимают 3 ручки. Какова вероятность, что: а) все три ручки чёрные, б) хотя бы одна ручка чёрная?

22) Из 60 вопросов к экзамену студент подготовил 50 вопросов. Какова вероятность сдать экзамен, если из четырех предложенных вопросов нужно ответить по крайней мере на два вопроса?

23) На один ряд из 7 мест случайным образом рассаживаются 7 студентов. Какова вероятность того, что трое определённых студентов окажутся рядом?

24) Группа, состоящая из 5 юношей и 10 девушек, распределяют по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что в числе тех, кто получил билет окажутся: а) одни юноши, б) одни девушки?

25) Из урны, содержащей 9 белых, 9 чёрных, 8 синих и 8 красных шаров, наудачу извлекаются 3 шара. Какова вероятность того, что извлечёнными окажутся белые или чёрные шары?

26) Из 30 вопросов к экзамену и 60 задач студент подготовил 10 вопросов и умеет решать 20 задач. Какова вероятность сдать экзамен, если из предложенных вопросов нужно ответить на один вопрос и из двух задач решить хотя бы одну?

27) Имеется 6 билетов в театр, из которых 4 билета в партер. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билетов два окажутся билетами в партер?

28) Какова вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число не содержит ни одной двойки?

29) Билет в партер стоит 100 рублей, на бельэтаж – 80 рублей, на ярус – 60 рублей. Какова вероятность того, что взятые наудачу два билета стоят 160 рублей?

30) Из букв слова «событие», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу выбирают и располагают в ряд 3 буквы. Какова вероятность получить при этом слово «быт»?

адача 3.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) Имеются три партии ламп, насчитывающих соответственно 20, 30, 50 штук. Вероятности того, что лампа проработает гарантийный срок, равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что наудачу выбранная лампа из ста данных проработает гарантийный срок? Какова вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии?

2) В экзаменационном билете два теоретических вопроса и одна задача. Всего составлены 30 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Студент подготовил 50 теоретических вопросов и сможет решить по билетам 24 задачи. Какова вероятность того, что, взяв наудачу один билет, студент ответит на все вопросы?

3) Количество изделий данного типа, поступающих в магазин для продажи, с заводов А, В, С пропорционально 5:7:8. Процент выпуска брака на заводах А, В и С соответственно равны 5%, 4% и 3%. Какова вероятность того, что случайно приобретённое в магазине изделие окажется бракованным и брак окажется с завода В?

4) Вероятность одного попадания стрелком в мишень равна 0,8. Найти вероятность попадания в мишень в трёх случаях при четырёх выстрелах.

5) Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность попадания в мишень в трёх случаях при четырёх выстрелах.

6) Три автомата изготавливают одинаковые детали. Их производительности относятся как 2:3:5, а стандартные детали среди их продукции составляют соответственно 90%, 95%. 85%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется нестандартной и изготовлена третьим автоматом?

7) В трёх одинаковых коробках лежат шоколадки: в первой коробке из 20 шоколадок 5 с орехами, во второй из 16 шоколадок 7 с орехами, в третьей из 30 шоколадок 15 с орехами. Какова вероятность того, что из наудачу выбранной коробки наудачу взятая шоколадка будет с орехами?

8) По одному и тому же маршруту в течение дня совершают полёт 5 самолётов. Вероятность того, что в пункт назначения самолёт прибудет по расписанию, равна 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы два самолёта отклонятся от расписания.

9) По одному и тому же маршруту в течение дня совершают полёт 4 самолёта. Вероятность того, что в пункт назначения самолёт прибудет по расписанию, равна 0,7. Найти вероятность того, что два самолёта отклонятся от расписания.

10) По одному и тому же маршруту в течение дня совершают полёт 4 самолётов. Вероятность того, что в пункт назначения самолёт прибудет по расписанию, равна 0,9. Найти вероятность того, что по крайней мере три самолёта отклонятся от расписания.

11) Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,9. Детский садик прибрёл 4 телевизора. Найти вероятность того, что по крайней мере два телевизора не потребуют ремонта в течение гарантийного срока.

12) В одной группе обучается 25 студентов, в другой -30 студентов, в третьей – 28 студентов. По математике на экзамене получили «отлично» 5 студентов первой группы, 5 студентов второй группы и 4 студента третьей группы. Наугад вызванный с лекции, читаемой для студентов этих трёх групп, студент получил на экзамене по математике «отлично». Какова вероятность того, что этот студент учится в третьей группе?

13) Для сдачи зачёта студентам необходимо подготовить 40 вопросов. Из 30 студентов группы 10 студентов подготовили ответы на все вопросы, 8 человек подготовили 25 вопросов, 7 студентов – 20 вопросов, 5 студентов подготовили только 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный вопрос. Какова вероятность того, что этот студент подготовил только половину вопросов?

14) В группе 10 юношей стреляют по мишени, из них 5 юношей могут попасть в цель с вероятностью 0,7, двое – с вероятностью 0,9, один – с вероятностью 0,4, остальные – с вероятностью 0,8.В мишень при выстреле попали. Какова вероятность, что это был один из 5 юношей, которые стреляют с вероятностью 0,7?

15) Для данного участника игры вероятность кольцо на колышек равна 0,3, Какова вероятность того, что при 6 бросках а)4 кольца окажутся на колышке, в) не менее 3 колец окажутся на колышках?

16) На самолёте имеются 4 двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя равна 0,95. Найти вероятность того, что могут появиться неполадки а) в одном двигателе, в) хотя бы в одном двигателе.

17) На самолёте имеются 4 двигателя. Вероятность нормальной работы двух двигателей равна 0,95, двух других – 0,9. Найти вероятность того, что могут появиться неполадки а) в одном двигателе, в) хотя бы в одном двигателе.

18) В горном районе имеется 4 автоматические сейсмические станции. Каждая из станций может выйти из строя в течение года с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что года не менее двух станций потребуют ремонт.

19) Вероятность перерасхода энергии за сутки равна 0,3. Какова вероятность того, что в течение пяти из семи дней будет перерасход энергии?

20) Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырёх или отказ трёх приборов при испытании шести (приборы испытываются независимо друг от друга)?

21) Вероятность попадания в цель пи одном выстреле равна 0,85. Стрелок делает 25 независимых выстрелов. Найти наивероятнейшее число попаданий.

22) Тест состоит из 4 вопросов, на каждый из которых даётся 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан а) на три вопроса, в) не мене чем на три вопроса?

23) При высаживании рассады помидоров 80% растений приживаются. Найти вероятность того, что приживутся не менее 5 кустов из 6 посаженных.

24) Магазин получил 50 изделий. Вероятность наличия нестандартного изделия равна 0,05.Найти наивероятнейшее число нестандартных изделий в данной партии.

25) Известно, что вероятность прорастания семян данной партии зерна равна 0.95. Сколько семян следует взять из этой партии, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100?

26) Найти вероятность осуществления от двух до четырёх разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

27) Прибор состоит из 6 элементов, включённых в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента равна 0,7. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы работало не менее двух элементов. Какова вероятность того, что прибор будет работать безотказно?

28) Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1. Какова вероятность того, что из шести купленных билетов хотя бы один окажется выигрышным?

29) В группе 30 студентов, из них 20 девушек. К семинару не подготовились 5 девушек и 4 юноши. Наудачу вызванный студент оказался неподготовленным. Какова вероятность того, что это был юноша?

30) Вероятность сдачи студентом зачёта равна 0,9. В сессию надо сдать 4 зачёта и 3 экзамена. Если студент сдал все зачёты, то он допускается к экзамену, вероятность сдачи каждого экзамена равна 0,8. Какова вероятность сдачи студентом всех зачётов и не менее двух экзаменов?

адача 4. Из п частных банков, работающих в городе, нарушения в оплате налогов имеют место в m банках. Налоговая инспекция проводит проверку четырёх банков, выбирая случайным образом. Банки проверяются независимо друг от друга. Допущенные нарушения могут быть обнаружены налоговой инспекцией с вероятностью р. Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в оплате налогов?

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

№	п	m	p	№	п	m	p
1)			0,7	16)			0,8
2)			0,8	17)			0,8
3)			0,8	18)			0,9
4)			0,9	19)			0,7
5)			0,7	20)			0,9
6)			0,8	21)			0,8
7)			0,9	22)			0,9
8)			0,9	23)			0,7
9)			0,8	24)			0,7
10)			0,7	25)			0,9
11)			0,7	26)			0,8
12)			0,8	27)			0,7
13)			0,7	28)			0,9
14)			0,9	29)			0,7
15)			0,7	30)			0,8

адача 5. Предприниматель может получить кредиты в трёх банках. В первом банке он может получитьАмлн. руб. с вероятностью, во втором банке –Вмлн. руб. с вероятностью, в третьем банке –Смлн. руб. с вероятностью. Банки работают независимо друг от друга.

ребуется: а) найти закон распределения случайной величиныХ- возможной суммы кредитов; б) построить многоугольник распределения; в) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величиныХ; г) найти функцию распределения дискретной случайной величиныХи построить ее график.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

№	А	В	С	m	№	А	В	С	m
1)					16)
2)					17)
3)					18)
4)					19)
5)					20)
6)					21)
7)					22)
8)					23)
9)					24)
10)					25)
11)					26)
12)					27)
13)					28)
14)					29)
15)					30)

адача 6. Случайная величинаХ– годовой доход наугад взятого лица, облагаемого налогом. Её плотность распределения имеет вид: Величины b и n заданы в таблице.

ребуется: а) найти значение параметраa; б) найти функцию распределения; в) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; г) найти размер годового дохода, не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика; д) построить графики функций,.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

№	b	n	№	b	n	№	b	n
1)		2,4	11)		2,1	21)		2,6
2)		2,3	12)		2,4	22)		2,0
3)		2,2	13)		2,1	23)		2,3
4)		2,3	14)		2,2	24)		2,1
5)		2,1	15)		2,5	25)		2,3
6)		2,2	16)		2,2	26)		2,5
7)		2,3	17)		2,1	27)		2,4
8)		2,1	18)		2,2	28)		2,4
9)		2,2	19)		2,5	29)		2,0
10)		2,4	20)		2,0	30)		2,6

Задача 7. Путём проверки размеров дневной выручки магазина по 100 рабочим дням получены следующие данные:

Выручка (у.е.)	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50
Число дней	N ₁	N ₂	N ₃	N ₄	N ₅	N ₆	N ₇	N ₈	N ₉	N ₁₀

ребуется: а) построить гистограмму частот; б) найти несмещённые оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величиныХ– дневной выручки магазина; в) найти вероятность того, что в наудачу выбранный день выручка составит не менее 20 у.е.; г) построить эмпирическую функцию распределения случайной величиныХ; д) найти доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,99 среднего значения случайной величиныХ.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

№	N ₁	N ₂	N ₃	N ₄	N ₅	N ₆	N ₇	N ₈	N ₉	N ₁₀
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)

риложение 1

Южно-Уральский государственный университет

Международный факультет

Кафедра «Математического моделирования»

Семестровая работа № 4 по курсу

«Математика»

Выполнил(а): студент(ка) гр. МН – ________

^группа

_______________________________________

^{специальность}

_______________________________________

^ФИО

Вариант № _____________________________

Проверил(а):____________________________

^{Должность}

_______________________________________

^ФИО

Регистрационные данные:

Дата___________ Дата___________

Номер_______ Номер_______

Челябинск

20____

риложение 2

Результаты проверки семестровой работы студента(ки) гр. МН – _____________

______

Номер задачи	Проверка 1	Проверка 2	Проверка 3
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Итог
Дата
Подпись преподавателя