, . , I , . , , . s , : s Û . , p q r, : ps r, rs p, .. s . , ps q qs p, , p q .
:
) , , ();
) , , , , ;
) , , , 1, 1 2,..., n- 1 n, n , ;
) , , .
s = (ij) n ´ n s , s:
) Û ii = 1 i;
) Û ij = 1 Þ ji = 1;
) Û ij = 1 jk = 1Þ ik = 1;
) Û ij = ji = 1Þ i = j.
, s 3 s, .
2.5.
8. q , , .
q , , , , b Î , aq b.
, , [ a ] . : [ a ] = { b| b Î A aq b }.
5. , , . , .. [ x ] = { x }.
6. . .
7. , n Z: º y (mod n) , n, . Z, Î Z x = 0, , , n. n, n, . , n, r =rn, z n, q z = qn. , : x z = (r + q) n, .. x z n, (r + q) .
|
|
: + kn, k . , 0, 1, 2,..., n 1 : [0], [1], [2],..., [ n 1]. n. = qn + r, 0 £ r < n, .
8. , , . .
q :
Î , Î [ a ] (.. ).
, b Î a q b, [ ] = [ b ] (.. ).
q: q , , Î [ a ]. . Î [ b ]. b q c q, q , .. Î [ a ]. [ b ] Í [ a ]. q , [ ] Í [ b ], , [ ] = [ b ].
, q . , [ a ]. , . , , .. , c Î [ a ]Ç[ b ]. , q , b q , [ a ] = [ c ], [ b ] = [ c ]. , [ a ] = [ b ]. .
9. k , , ..
È k, k Î K i Ç j = Æ i ¹ j.
,
1. .
.
2. q: q b , a b .
, q, , . . a q b b q c, a, b Î A 1, b, c Î A 2, A 1 A 2 . b Î A 1, b Î A 2, A 1 = A 2.
|
|
, () , (), , . () .
9. t = { a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}
t = .
, t , .
t . : , . 2 , , , t.
2.6. . .
10. j, , , :
1) ( Î j );
2) ( a j b bj c, a j c);
3) ( a j b b j a, a = b).
, £. , :
1) £ ;
2) a £ b b £ c, a £ c;
3) a £ b b £ a, = b.
a £ b , (a, b) j ((a, b) Î j Í A ´ A). , ( ) b , b. j 1, j ( j 1 b Û b j a), . (£)1 £ ³. a < b, a £ b ¹ b. , , .
11. , .
, : < ,£>. , . . . , < ,(£) 1>.
10. N £ (a £ b Û b a ³ 0) .
11. N , : a £ b b .
, , .. 1) 3) 9.
12. = { a, b, c, 0, 1}. R : R = {(0, 0), (0, a), (0, b), (0, 1), (a, a), (a, 1), (b, b), (b, 1), (c, c), (c, 1), (1, 1)}. , , , . < , R > .
, 9 10 N, .
, = {2, 4, 6, 10, 60} , 10, , ( ) , 11 . , (2 0, 4 a, 6 b, 10 c, 601), 11. , , , . , .
|
|
¢ g ¢. g , , a £ b (a, b Î A), , g (a)£ g (b).
12. g ¢ , ¢ , g (a) £ g (b) , a £ b (a, b Î A).
9, ¢ 10. g, n (g (n)= n), , . , m n (n £ m (n, m Î A)), , m n = g (m) g () ³ 0, .. g (n) £ g (m), g . , g 9 10 , (, m = 5, n = 3), ¢ , m n m £ n, n £ m.
. , , , .
.
13. < , £> , , .. a b a £ b, b £ a.
9 , 10 11 . 10 2 . 11 a, b, c.
.
, , , , .
, . . (), b £ , b = a. (), £ b . b = c.
14. , () .
, , ( ) .
[0, 1] ( ) 0 1, , , , .
|
|
N ( ) , 1. , , N , .
, () .
( ), , . , , . XIX , .
13. = {1, 2, 3, 5, 30}. : < A;£> < ; j >. , aj b Û b . .
30
5
3
2
1
. 5.
30
2 3 5
1
. 5
, .
2.7. .
15. f Í ´ , .. (a, b) Î f (a, ) Î f Þ b = c.
, .. , , , : f g (f = g), . .
f Y, (x, y) Î f = f (x) , , , f. . f X Y (f Í X ´ Y) . .
f n Y (f Î n ´ Y) n- Y n = f (x 1, x 2, ..., xn).
16. f Í ´ , Df , .
f (f = B), f . , f . : f: .
f . , b Î , (, , ) b f 1(b), .. f 1(b)={ m| m Î M f (m)= b }.
Í , f f (A) = { x| x Î B, x = f (a) Î }, .. . C B f 1(C) = { m| m = f 1(c) c Î C } C, .. f 1(C) , C. c C , f 1(C)=Æ.
.
3. :
f 1( È )= f 1()È f 1().
:
f 1( Ç )= f 1()Ç f 1().
3 ( ) .
4. :
f ( È )= f ()È f ().
4 , .. .
, f , = {0 £ £ 1, = 0} ={0 £ £ 1, = 1} ( Ç = Æ), , , (f (A)= f (B)).
|
|
2.8. . .
.
17. f A .
f (a) Î A f .
R :
1) : f (x)= x 1, x ¹ 0, : f ={(x, x 1) | x Î R, x ¹0};
2) : f (x)= x, : f ={(x, x) | x Î R };
3) f ={(x,0) | x Î R }, 0.
18. n n- (n-) .
n = 2 , n = 3 . R 3 , .
R. , : f = {((x, y), x + y) | x, y Î R }.
19. : F , .
: Á, Â .. Â =< , F > , F .
14. N c (+), (´) o: < N; +, ´>. : F = {+, ´}.
, , , , .
() : ÂK = < S (); È,Ç, ¢>. , (0-) : Æ . 1.4. (19).
ÂK =< S ();È, Ç, ¢,Æ, > . , , , , . , . .
20. Ú, Ù, 0, I `, a, b, cÎB :
(1) Ú b = b Ú a,
Ù b = b Ù a ();
(A2) a Ú(b Ú c) = (a Úb)Ú c,
a Ú(b Ú c) = (a Ú b)Ú c ();
(A3): Ú(b Ù c) = (a Ú b)Ù(a Ú c),
Ù(b Ú c) = (a Ù b)Ú(a Ù c) ();
(A4): a Ù a = a,
a Ú a = a ();
(5): Ù( Ú b) = a,
Ú( Ù b) = a ();
(6): Ù0 = 0, Ú0 = ,
Ù I = , Ú I = I ( );
(7): Ù = 0, a Ú = 0 ();
(8): = a ( );
(9): ,
( ).
, . ( : Ú Ù, ` , : 0, I) 19 , (). , () . , . Ú Ù , , , .
. , .. , . , , 1, 8, 9 . . , :
Ù(b Ú(a Ù c))=(a Ù b)Ú(a Ù c),
Ú(b Ù(a Ú c))=(a Ú b)Ù(a Ú c),
1 5. , 3, 2, 5 3,
Ù(b Ú(a Ù c)) = Ù((b Ú a)Ù(b Ú c)) = ( Ù(b Ú a))Ù(b Úc) =
= Ù(b Ú c) = ( Ù b)Ú(a Ù c).
, Ù Ú . , , :
, Ù, Ú ` , , Ù Ú .
, 1 9 Ù Ú Ú Ù. .
 1=< 1, F 1>  2=< 2, F 2> j ,
fm (a 1, ..., an)= a Û j (fm)(j (a 1), ..., j (an)) = j (a),
a 1, ..., an, a Î 1, fm Î F 1, j (a 1), ..., j (an), j (a) Î A 2, j (fm) Î F 2.
 1  2 .  1  2.
ÂK =< S (); È, Ç,` >, , () , , ÇÙ, ÈÚ, Æ0, M I. , .
5. .