тандартизация масштаба факторов

Для удобства расчетов масштаб факторов выбирают так, чтобы значение верхнего уровня было равно +1, а нижнего -1. С этой целью делают преобразование начала координат факторов и переходят к нормированному (стандартному) масштабу

 

 

, (2.2)

где x _{0 i} – базовый или начальный уровень i -й переменной, Δ x_i – интервал варьирования по i -й переменной.

 

2.2. Составление матрицы планирования ПФЭ

План ПФЭ изображают в виде таблицы, столбцы которой отражают уровни факторов, а строки — номера опытов. Эти таблицы называют матрицами планирования (МП) эксперимента. Поскольку значения уровней факторов по модулю всегда равны единице, то обычно в МП записывают только знак уровня (т. е. «+» вместо «1» и «-» вместо «-1»)., В таблицах 2.2 и 2.3 в качестве примера приведены МП для ПФЭ типа 2² и 2³ соответственно.

 

Таблица 2.2 — МП ПФЭ типа 22		Таблица 2.3 — МП ПФЭ типа 23
N	x 1	x 2	y		N	x 1	x 2	x 3	y
	-	-	y 1			-	-	-	y 1
	+	-	y 2			+	-	-	y 2
	-	+	y 3			-	+	-	y 3
	+	+	y 4			+	+	-	y 4
						-	-	+	y 5
						+	-	+	y 6
						-	+	+	y 7
						+	+	+	y 8

 

Геометрической интерпретацией ПФЭ 2² является квадрат в факторной плоскости (рисунок 2.1), а ПФЭ 2³ — куб.

Здесь нормированные координаты x _] и х ₂ проходят через точку пересече­ния основных уровней факторов, и масштабы их осей выбраны так, чтобы интер­вал варьирования равнялся 1. Тогда условия проведения опытов в МП эксперимента будут соответствовать вершинами квадрата, центром которого является основной уровень. Если п >3, то фигуру, задающую в многомерном пространстве область эксперимента, называют гиперкубом.

Влияние факторов на выходной параметр может зависеть от уровня, на котором находится другой фактор, или от сочетания уровней нескольких факторов. Если априорно не известно, что такой зависимости между факторами нет, то строят развернутую МП, учитывающую не только факторы, но и их взаимодействия.

Рисунок 2.1 — Геометрическая интерпретация ПФЭ типа 2².

 

Пример развернутой МП типа для ПФЭ 2³ представлен в табл. 2.4. Фиктивный фактор x ₀ вводят для удобства компьютерного расчета свободного члена b ₀ (для идентичности формул).

 

Таблица 2.4 — Развернутая МП ПФЭ типа 23.
N	x 0	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2 x 3	x 1 x 2 x 3	y
	+	-	-	-	+	+	+	-	y 1
	+	+	-	-	-	-	+	+	y 2
	+	-	+	-	-	+	-	+	y 3
	+	+	+	-	+	-	-	-	y 4
	+	-	-	+	+	-	-	+	y 5
	+	+	-	+	-	+	-	-	y 6
	+	-	+	+	-	-	+	-	y 7
	+	+	+	+	+	+	+	+	y 8

 

Для МП эксперимента должны выполняться следующие условия:

а) симметричности относительно центра эксперимента , где i — номер фактора, j — номер опыта, N — число опытов;

б) нормировки ;

в) ортогональности , если f ≠ i.

г) рототабельности — условия равноточного предсказания исследуемого параметра на равных расстояниях от центра эксперимента вне зависимости от направления.

Условие ортогональности позволяет упростить вычисления и получить независимые оценки коэффициентов регрессии. Это означает, в частности, что замена нулем любого коэффициента в уравнении ММ не изменит оценок остальных коэффициентов. Это свойство может быть полезным, когда точный вид модели не известен и требуется по экспериментальным данным отобрать факторы, существенно влияющие на исследуемый параметр. Если условие ортогональности не выполняется, после исключения каждого незначимого коэффициента необходимо пересчитывать оценки оставшихся коэффициентов и их дисперсии. При этом могут измениться как доверительные интервалы, так и выводы относительно коэффициентов значимости;

Матрица, удовлетворяющая условиям симметричности, нормировки и ортогональности, называется оптимальной.

МП ПФЭ является оптимальной для линейных ММ. Если же ММ содержит взаимодействия, то условие рототабельности не выполняется.

 

2.3. Порядок постановки ПФЭ

Для оценки точности эксперимента для каждой i - точки факторного про­странства (для каждого сочетания уровней факторов МП) проводят n опытов. В результате получают значения у_{i 1}, y_{i 2} ,..., у_in исследуемого параметра, для которых находят среднее значение

. (2.3)

При этом опыты в одной точке проводят не подряд, а обходят все точки в первой серии опытов, затем во второй, и так далее до n- й. Для уменьшения влияния внешней среды и неконтролируемых факторов внутри каждой серии точки факторного пространства обходят случайным образом – рандомизируют последовательность опытов. Рандомизацию опытов можно провести с помощью генератора случайных чисел.

 

2.4. Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)

Опыт считается воспроизводимым, если дисперсиявыходного параметра у, однородна в каждой точке факторного пространства. Оценка s ²дисперсии определяется для каждой точки факторного пространства по формуле:

. (2.4)

Если сравниваемое количество дисперсий больше двух, можно воспользоваться критерием Кохрена (Приложение В). Этот критерий пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одинаковое число повторных опытов. Для этого формулируют нулевую гипотезу Н0: s ² y ₁= s ² y ₂=…= s ² y_n – дисперсии значений отклика в каждом опыте однородны.

Для этого подсчитывается дисперсия значений отклика для каждого из опытов эксперимента, а затем из всех дисперсий находится наибольшая , которая делится на сумму всех дисперсий:

, (2.5)

Если полученное значение дисперсионного отно­шения G_расч>G_табл(α; γ ₁; γ ₂) больше приведенного в таблице, это означает, что дисперсии значимо отличаются друг от друга, т. е. что они неоднородны. Здесь α — уровень значимости, γ ₁ и γ ₂ — степени свободы, при этом γ ₁= m -1, γ ₂= N.