| αi = min hij | V1 = max αii |
| -3 | |
| -1 | |
| βj = max hij | ||||
| V2 = min βii |
1≤V(H) ≤3
С помощью доминирования игра свелась к игре размерности [3х2]
Среди элементов матрицы есть отрицательные → t=│min hij│+1
t=│-1│+1=2
Ht = H+t
Ht = 
ЗЛП для игрока 1:
min [ f0 (х)=х1+х2+х3]
Х c R
R={Х 
X≥0
R=X
ЗЛП для игрока 2:
max [ g0(y)=y1+y2]
Q= 
y≥0
| Хб | 
| 
|
| |
| Xсв | УСВ Уб | -Y1 | -Y2 | Cj |
| Y3 | |||
| Y4 | |||
| Y5 | |||
| g0(y) | - 1 | - 1 |
Обратный переход:
С помощью программы Simplex Solver получено решение
Х= (0;0,09;0,18;0;0),
Y=(0,09;0,18;0;0;0).
g0(y*)=f0(x*)=0,27
V(H)=1/f0(x*)=1/g0(y*)=1/0,27=3,7
V(H)=V(Ht)t-t=3,704-2=1,704
X*=X*V(H)t
Y*=Y*V(Ht)t
X1=0*3,704=0
X2=0,09*3,704=1/3
X3=0,18*3,704=2/3
Y1=0,09*3,704=1/3
Y2=0,18*3,704=2/3
Ответ: X* = (0;0,09;0,18;0;0), Y* = (0,09;0,18;0;0;0),V(H) = 5/3, V(H)=1,7.
Задание №3
Разбор ситуации об инвестировании предприятий и освоение методики обоснования решения об инвестировании предприятия.
Задача:
На развитие трех предприятий выделено 5 млн. руб. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданная значением нелинейной функции gi (xi), представленной в табл. 1
Таблица 1
| x | g 1 | g 2 | g 3 |
| 2,2 | 2,8 | ||
| 3,2 | 5,4 | ||
| 4,1 | 4,8 | 6,4 | |
| 5,2 | 6,2 | 6,6 | |
| 5,9 | 6,4 | 6,9 |
Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.
Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах xi = {0, 1, 2, 3, 4, 5} млн. руб.
Решение.
I этап. Условная оптимизация.
1-й шаг: k = 3. Предположим, что все средства в количестве x3 = 5 млн. руб. отданы третьему предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из табл. 2, составит g 3(x 3) = 6,9 тыс. руб., следовательно: F 3(C3) = g 3(x 3).
Таблица 2
| x 3 C 3 | F 3(C 3) | 
| ||||||
| 2,8 | 2,8 | |||||||
| 5,4 | 5,4 | |||||||
| 6,4 | 6,4 | |||||||
| 6,6 | 6,6 | |||||||
| 6,9 | 6,9 |
2-й шаг: k = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и третьим предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:
,
на основе которого составлена табл. 3.
Таблица 3
| х 2 С 2 | F 2(C 2) | 
| ||||||
| 0 + 0 | ||||||||
| 0 + 2,8 | 2 + 0 | 2,8 | ||||||
| 0 + 5,4 | 2 + 2,8 | 3,2 + 0 | 5,4 | |||||
| 0 + 6,4 | 2 + 5,4 | 3,2 + 2,8 | 4,8 + 0 | 7,4 | ||||
| 0 + 6,6 | 2 + 6,4 | 3,2 + 5,4 | 4,8 + 2,8 | 6,2 + 0 | 8,6 | |||
| 0 + 6,9 | 2 + 6,6 | 3,2 + 6,4 | 4,8 + 5,4 | 6,2 + 2,8 | 6,4 + 0 | 10,2 |
3-й шаг: k = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:
,
на основе которого составлена табл. 4.
Таблица 4
| х 1 С 1 | F 1(C 1) | 
| ||||||
| 0 + 0 | ||||||||
| 0 + 2,8 | 2,2 + 0 | 2,8 | ||||||
| 0 + 5,4 | 2,2 + 2,8 | 3 + 0 | 5,4 | |||||
| 0 + 7,4 | 2,2 + 5,4 | 3 + 2,8 | 4,1 + 0 | 7,6 | ||||
| 0 + 8,6 | 2,2 + 7,4 | 3 + 5,4 | 4,1 + 2,8 | 5,2 +0 | 9,6 | |||
| 0 + 10,2 | 2,2 + 8,6 | 3 + 7,4 | 4,1 + 5,4 | 5,2 + 2,8 | 5,9 + 0 | 10,8 |
II этап. Безусловная оптимизация.
Определяем компоненты оптимальной стратегии.
1-й шаг. По данным из табл. 4 максимальный доход при распределении 5 млн. руб. между тремя предприятиями составляет: C 1 = 5, F 1(5) = 10,8.
При этом первому предприятию нужно выделить 
= 1 млн руб.
2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего предприятий: С 2 = C 1 – = 5 – 1 = 4 млн руб.
По данным табл. 3 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 4 млн. руб. между вторым и третьим предприятиями составляет: F 2(4) = 8,6 при выделении второму предприятию 
= 2 млн руб.
3-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю третьего предприятия: С 3 = C 2 – = 4 – 2 = 2 млн руб.
По данным табл. 2 находим: F 3(2) = 5,4 и 
= 2 млн руб.
Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:
Х* = (1, 2, 2), который обеспечит максимальный доход, равный
F (5) = g1 (l) + g2 (2) + g3 (2) = 2,2 + 3,2 + 5,4 = 10,8 млн руб.
