.
( + + k) = () + () + + P(k), , , , k .
. ( )
n m1 , m2 . ( . .) m1/n,
() = m2/n, .. , , , . (+) (m1+m2) , .
(+) = (m1+m2)/n = m1/n + m2/n = P(A)+P(B)
1:
, 1.
2:
1.
!!! : .
.
(+) = ()+()-()
:
n- ; m- .; mB-//-.; m , , .. *, , +=mA+ mB- mAB (.. mA+mB, mAB : ,
5. .
6. . .
.: . . , (: . - 32 ; . . 1- , 4/32, 1- , . , 31 3
( ): , , 1- :
: n- ; m- .; mB-//-., m , ,. , m(.. ), , , , .
=>
: . 1- 0,2, , 1- 2 . .
|
|
: .
. - //- 2-
,
. .
, . , .. . :
,
,
.. . , ., . , . .
, . ., . .; , .
,
.. .
, ; .
. , , .
7. .
.: 1, 2,,n , . 1, 2,,n .
: . 1, 2,,n :
-
, (i) i-
i() . i
: . 1, 2, n , :
()+(1++ n)=(1)++(n)=
=i()* (1)++ n()* (n)=
8. .
( ) - . H1,H2...Hn, P(H1),P(H2)...P(Hn). . Σ . ( P(Hi|A))? P(A) - , : .-: . - : . , . . P(A), . . - , , .
9. .
n P(A)=p . , - . , . . , n m Pn (m). : Pn (m)= .
: n , m : . : P ( = =pmqn m . Pn (m)= .
|
|
10. .
n m - => .
: n . , n*p (λ=np=const),
: λ=np => p=λ/n :
= = =
n :
,
=>
n≥50, np≤10
11. .
.: - , . (: , )
.: , (. 1- )
( - ) , .
, ( - 7 ) .
, - .
12. . .
.: . , .
:
1 | 2 | n | |
p1 | p2 | pn |
:
-
, 1, 2,, n ,
p1, p2,..., pn .
, pi=1
.. =, =1,,= n .
, ,
(), () () .
13. . .
.: - ... - F(x) , :F(x)=P(x<x)
- F(x) - .
- - F(x):
1)0<=F(x)<=1;2)F(x)-.- .;
3) 4)P(x1<=x<=x2)=F(x2)-F(x1)
: - F(z)=?
1)z<=-1 F(z)=P(z<z)=0
2)-1<z<=0-F(z)=P(z<z)=P(z=-1)=0,08;
3)0<z<=1c.F(z)=P(z<z)=P(z=-1)+P(z=0)=0,34
4)1<z<=2 F(z)=p(Z<z)=P(Z=-1)+P(Z=0)+
P(Z=1)=0,08+0,26+0,22=0,56
0,08;-1<z<=0
F(X)= 0,34;0<z<1
0,56;1<z<=2
0,76;2<z<=3
0,96;3<z<=4
1;z>4
, Fx (x) (a, b), P (a < x < b) = Fx (b) - Fx (a), :
a= - , ,
b=, .
14. . .
|
|
.. - :f(x)=F(x)
-:1) .,..f(x)>=0
2)- .. (,) P(a<x<b)=
, S
15. .
( ) , ()=
- ():1)()=:2)(*)=*(),- ,=const
-:(*)=
3)
M(x+-y)=M(x)+-M(y)
M(x*y)=M(x)*M(y)
M[x-M(x)]=0
16. .
: D(x) ... D(x)=M[(x-
.. ,
D(x)= , = ()
.. , , D(x)= ,a=M(x),
: () ...
:. () ..
D(x) .. :
- D(x): 1)D(c)=0: 2)D(k*x)= *D(x)
-:D(k*x)=M =
M =
3) D(x+-y)=D(x)+D(Y)
4)D(x)=M(x2)-(M(x))2
-:D(x)=M(x-M(x))2)=M(x2-2x*M(x)+M2(x))=M(x2)-2M(x)*M(M(x))+M(M2(x))=M(x2)-2M(x)*M(x)+M2(x)=M(x2)-M2(x)
M(x) M2(X)-
17. .
n , . n . , . , : n , ..
( 1, , 0, ).
1- |
.. n .
, 0,1, 20 20×0,1=2.
n . , ,
, .
1- |
,
,
q=1-p
,
n .
18. . .
|
|
.: , .
.: . , .
, [a,b],
.
.
19. .
[ a,b ], , .
, , , .
20. .
- ξ - () α>0, - :
21. . .
.
: - ξ () - a σ (σ >0), -:
:
1. Fa,σ 2(x)=F0,1((x-a)/σ)
xÎR
2. ξ (x1, x2)
P(x1≤ξ≤ x2)=((x2-a)/σ) ((x1-a)/σ)
3. - - ξ, - , - :
Fξ(x)=½+((x-a)/σ)
22. . .
:
23. . .
- , , , . . ( ), , . , , , .
. , , .
.
.
, .
N n - .
:
;
.
24. . .
, . , , .
- . , , , , , , .
: .
:
1. :
- . , .
|
|
- .
2. . .
3. .
4.
5. .
( , - , , ..:
1. - , .
2. .
3. .
:
1. , .
2. - , , .
3. . , .
4.. .- , , , , .
5. - .
25. .
, ( ) ( ) . , , , .
, . , .
. .
, , const ( ).
, ε>0, :
(*)
:
(*) , , .
, - ηn-an .
ξ(), M[ξ] D[ξ] ε>0 ( ):
-:
ξ£η, M[ξ]£M[η]
. ..- η
26. .
- (, , , ), .
C () , i ni wi.
, .
27.
F*(x), x X<x.
:
- , x; x- .
:
1) [0;1]
2) F*(x)-
3) - , F*(x)=0 x≤ ; - , F*(x)=1 x> .
28. .
: .
, .
2, ni. (i,ni) .
, , - h, - ( ).
, , ni/h. i- hni/h=ni - i- ; , , .. .
29. .
.
Ө*, Ө , ..
M(Ө*)= Ө
, .
, ( n) .
(n !) .
, n →∞ . , n→∞ , .
30. .
. n, .. , . . () :
. .
1) 1,2,,n -
n-
2) 1,2,,k - ..
x1 n1
x2 n2
xk nk
31. . .
, - - , : , , , , .
xi
. , .. . .
, 2 , . : (Ө1*;Ө 2*), γ , . (Ө1*;Ө 2*), γ Ө - . γ - . . . Ө*, .. (Ө*-ε; Ө*+ε) , (|Ө-Ө*|<ε)=γ. ε>0 - .
32. .
, () ( ). . :1)- , 2) -ps -. - () 1 (). - - -, . , - -.
1. H 0 H 1. .
2. α, , .
3. φ , :
;
H 0;
φ - , .. φ .
4. . φ , . , . .
5. . φ ( ) ( ) H 0.