етодические указания к выполнению задания 2.

Методы расчета цепей постоянного (переменного) тока

Под расчетом цепи, в общем случае, понимают нахождение токов во всех ветвях схемы.

Основные методы расчета:

1. Метод токов ветвей.

2.Метод контурных токов.

3. Метод узловых напряжений.

4. Метод наложения.

5. Метод эквивалентных преобразований

Метод токов ветвей

• В общем случае токи сложной электрической цепи могут быть определены в результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Для однозначного нахождения всех токов необходимо составить в уравнений, где в - число ветвей схемы (без источников тока).

• Последовательность расчета следующая:

1. Проводят топологический анализ схемы.

1.1. обозначают токи во всех ветвях (I1, I2, …, Iв), произвольно выбирают их положительное направление и обозначают на схеме стрелками;

1.2. подсчитывают общее число узлов у и определяют число независимых узлов Nу=у-1 и показывают их на схеме;

1.3. подсчитывают число независимых контуров Nk = в-у+1, и показывают их на схеме дугой.

2. По первому закону Кирхгофа для независимых узлов и по второму закону Кирхгофа для независимых контуров относительно токов ветвей записывают уравнения. После приведения подобных членов они сводятся к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)

 

 

где x_i =Ii– искомые токи ветвей; a_ji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; в_i – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3. Решая систему из в уравнений относительно токов, по методу Крамера находят токи во всех ветвях схемы:

 

где D – главный определитель системы; D i – определитель, получается из главного D путем замены i -го столбца на столбец свободных членов в_i.

Если значения некоторых токов отрицательные, то действительные направления их будут противоположны первоначально выбранным направлениям. I1

Пример 1. Для электрической цепи рис. 1.1 n = 2, m = 3, и расчет токов цепи осуществляется путем решения следующей системы уравнений

2.5.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Пример. Методом непосредственного применения законов Кирхгофа рассчитать токи в схеме на рис.

Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.

Рис. 2.20. Схема замещения сложной электрической
цепи с несколькими источниками энергии:
I, II, III – номера контуров

1. Проводим топологический анализ.

Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б).

2. Составляем уравнения по певому и второму законам Кирхгофа

Для узла "а" - I ₁ - I ₂ + I ₄ = 0.

Для узла "б" - I ₁ + I ₂ - I ₃ - I ₅ = 0.

Остальные m - (n - 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа.

Для контура I - R ₁· I ₁ - R ₂· I ₂ = - E ₁ + E ₂.

Для контура II - R ₂· I ₂ + R ₃· I ₃ + R ₄· I ₄ = - E ₂ - E ₃.

Для контура III - - R ₃· I ₃ + R ₅· I ₅ = E ₃.

Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.

При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде

- I ₁ - I ₂ + 0 + I ₄ + 0 = 0

I ₁ + I ₂ - I ₃ + 0 - I ₅ = 0

R ₁· I ₁ - R ₂· I ₂ + 0 + 0 + 0 = - E ₁ + E ₂

0 + R ₂· I ₂ + R ₃· I ₃ + R ₄· I ₄ + 0 = - E ₂ - E ₃

0 + 0 + - R ₃· I ₃ + 0 + R ₅· I ₅ = E ₃.

В матричной форме

или [ R ]·[ I ] = [ Е ],

где [ R ] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях;

[ I ] – матрица - столбец неизвестных токов;

[ E ] – матрица - столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС.

Решение матричного уравнения ищут в виде

[ I ] = [ R ]^-1·[ E ],

где [ R ]^-1 – матрица, обратная матрице [ R ].

Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений 2.

Метод контурных токов

Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29).

Рис. 4.29

E

I

Z i I

Z i II

Эта схема эквивалентна, если

а) E = I Z _i ^I;

б) Z_i ^II = Z_i ^I.

1) Топологический анализ схемы.

а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей b.

б) Определяют число узлов у.

в) Подсчитывают число независимых контуров N_k = b – y + 1.

Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: I_{k 1}; I_{k 2}; I_kNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений N_k = N_k порядка:

где I_ki – контурный ток i -го контура;

Z_ii – собственное сопротивление i -го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i -й контур;

Z_ji – сопротивление смежных ветвей между i -м и j -м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;

E_ki – контурная ЭДС i -ого контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i -й контур. Контурная ЭДС E_ki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.

3) По правилу Крамера находят контурные токи I_ki= .

4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. В алгебраической сумме контурные токи берутся со знаком «+», если ток ветви и совпадает с контурным током и «–» если не совпадает.

Если токи ветви оказались положительными, то выбранное направление тока совпадает с истинным и наоборот.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.30). Определить токи во всех ветвях.

1. Проводим топологический анализ

а) b = 6; б) y = 4; в) N_k = 6 – 4 + 1=3.

2) Составим систему уравнений по методу МКТ

Рис. 4.30

I

Z 1

II

III

I 1

E 1

I 5

I 2

I 3

I 4

Z 3

Z 6

Z 5

Z 4

Z 2

Ik 2

Ik 3

Ik 1

где:

E ₁₁ = E ₁; E ₂₂ = 0; E ₃₃ = 0.

3) По методу Крамера находим контурные токи I_ki = .

4) Находим токи в ветвях: I ₁ = I_{k 1}; I ₂ =
= I_{k 1} – I_{k 2}; I ₃ = I_{k 1} – I_{k 3}; I ₄ = – I_{k 2} + I_{k 3}; I ₅ = I_{k 2}; I ₆ = I_{k 3}.

Пример 2. Рассмотрим электрической цепи постоянного тока, рис. 2.21.

1. Проводим топологический анализ

а) b = 5; б) y = 3; в) N_k = 5 – 3 + 1=3.

2) Для каждого контура записывают уравнение второго закона Кирхгофа,

Рис. 2.21. – Расчетная схема для метода контурных токов

В каждом из трех контуров протекает свой контурный ток J ₁, J ₂, J ₃. Произвольно выбираем направление этих токов, например, по часовой стрелке. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура с учетом соседних контурных токов, протекающих по смежным ветвям

(R ₁ + R ₂)· J ₁ - R ₂· J ₂ = E ₂ - E ₁

- R ₂· J ₁ + (R ₂ + R ₃ + R ₄)· J ₂ - R ₃· J ₃ = - E ₂ - E ₃

- R ₃· J ₂ + (R ₃ + R ₅)· J ₃ = E ₃.

Решив систему уравнений, находят контурные токи J ₁, J ₂, J ₃. Затем определяют реальные токи в ветвях, причем токи во внешних ветвях равны контурным, а в смежных – алгебраической сумме 2-х контурных токов, протекающих в данной ветви

I ₁ = J ₁; I ₂ = J ₂ - J ₁; I ₃ = J ₂ - J ₃; I ₄ = J ₂; I ₅ = J ₃.

Исходная система уравнений в матричной форме

или

[ R ]·[ J ] = [ E ],

где [ R ] – квадратная матрица коэффициентов контурных токов;

[ J ] – матрица – столбец контурных токов; [ E ] – матрица – столбец ЭДС.

Решением матричного уравнения является матрица

[ J ] = [ R ]^-1 ·[ E ],

где [ R ]^-1 – матрица, обратная матрице [ R ]

• Пример 3. Для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.1, получим следующие уравнения:

получим следующие уравнения:

 

 

По методу Крамера найдем контурные токи:

 

Действительные токи в ветвях: I 1 = Ik 1; I 2 = Ik 2 – Ik 1; I 3 = Ik 2.

Пример 4. Расчет цепи методом контурных токов на рис. 2.22.

Рис. 2.22. – Расчет цепи методом контурных токов

Для схемы замещения электрической цепи, показанной на рис. 2.22, задано: E ₁ = 30 B; E ₂ = 10 В; R ₁ = 8 Ом; R ₂ = 15 Ом; R ₃ = 36 Ом. Требуется определить токи в ветвях методом контурных токов. Составить баланс мощности.

Схема содержит три ветви (m = 3), два узла (n = 2). Выбираем положительные направления токов в ветвях произвольно. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно m - (n - 1) = 2. Задаем направление контурных токов (например, по часовой стрелке) и составляем систему уравнений

(R ₁ + R ₂)· J ₁ - R ₂· J ₂ = E ₁ - E ₂

- R ₂· J ₁ + (R ₂ + R ₃)· J ₂ = E ₂.

Подставляя численные значения сопротивлений резисторов и ЭДС в приведённые уравнения, находим контурные токи J ₁, J ₂ (Например, методом определителей)

20 = 23· J ₁ – 15· J ₂

10 = - 15· J ₁ + 51· J ₂

Токи в ветвях

I ₁ = J ₁ = 1,23 А; I ₂ = - J ₂ + J ₁ = 1,23 - 0,56 = 0,67 А; I ₃ = J ₂ = 0,56 А.

Составляем баланс мощностей.

Мощность генераторов (источников)

Р _И = Е ₁· I ₁ - Е ₂· I ₂ = 30·1,23 – 10·0,67 = 30,2 Вт,

где произведение Е ₂· I ₂ имеет знак минус (ток через источник не совпадает с ЭДС, значит источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии).

Мощность, потребляемая нагрузкой, составляет

Р _Н = R ₁· I ₁² + R ₂· I ₂² + R ₃· I ₃² = 8·1,23² + 15·0,56² + 36·0,56² = 30,13 Вт.

Погрешность

составляет менее 1%, т. е. токи найдены верно.

 

Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис. 4.31).

а) I = E / Z_i ^I;

Рис. 4.31

E

I

Z i I

Z i II

 

б) Z_i ^II = Z_i ^I.

1) Топологический анализ.

а) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов N_y = y – 1.

б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где – потенциал нулевого узла.

2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:

,

где Y_ii – собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i -м узле, все они берутся со знаком «+»;

Y_ij – межузловая проводимость между i -м и j -м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»;

I_ii – алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в i -м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера

.

4) Токи в ветвях находят по закону Ома

I = (j₁ – j₂)/ Z.

Пример. Дана электрическая цепь (рис. 4.32). Рассчитать токи во всех ветвях.

Z 2

I 2

Предварительно преобразуем все источники напряжения (рис. 4.32) в источники тока (рис. 4.33).

Z 4

Z 3

Z 1

I 1

I 3

I

I

I 4

s cy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQDZiMiZDQMAAIYGAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMv ZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQBMM0wR4AAAAAoBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAGcFAABk cnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAdAYAAAAA " filled="f" stroked="f">

I 2

l bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAKFUVcA8DAACGBgAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAO2UGRd8AAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABpBQAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAHUGAAAAAA== " filled="f" stroked="f">

I 1

E 2

E 1

Z 4

Z 3

Z 2

Z 1

Рис. 4.32 Рис. 4.33

 

Проведем топологический анализ.

а) число ветвей b = 4;

б) число независимых узлов N_у = 2, их потенциалы: φ₁ и φ₂ (рис. 4.33).

Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

;

.

По методу Крамера найдем потенциалы узлов .

По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:

.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ по теме цепи переменного тока