Любое комплексное число 
(кроме нуля) можно записать в показательной форме: 
, где 
– это модуль комплексного числа, а 
– аргумент комплексного числа.
Пример 7.1. Представить в показательной форме комплексные числа: 
, 
, 
, 
.
9.1. , 
, 
9.2. , 
, 
9.3. , 
, 
9.4. , 
, 
Пример1.. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера и метод обратной матрицы:
Решение.
1. Правило Крамера.
Находим определитель системы:
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители:
По формулам Крамера находим:
Ответ: 
Пример 2. Решить уравнение: 
.
Решение. Данное уравнение относится к классу дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
. Теперь уравнение можно интегрировать: 
. Находим неопределенные интегралы: 
, откуда: 
- это общий интеграл данного дифференциального уравнения. Ответ:
Пример 3. Решить уравнение 
при условии 
.
Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, для его решения применяем метод Бернулли. Делаем замену: 
, где 
и 
- неизвестные функции. Получаем: 
или 
. Неизвестную функцию 
найдем из условия 
: 
, 
, откуда 
. Тогда для нахождения второй неизвестной функции 
нужно решить уравнение: 
, откуда: 
. Тогда 
и путем интегрирования последнего равенства получаем 
. Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид: 
. Для нахождения частного решения воспользуемся начальным условием: . Подставляя соответствующие значения переменных 
и 
в общее решение, получаем: 
, откуда 
. Тогда частное решение данной задачи имеет вид: 
. Ответ: .
Пример 4. Решить уравнение: у ² +2 у' +5 у = 0.
Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение: 
. Это алгебраическое уравнение второго порядка, его корни – комплексные, сопряженные числа: 
. Тогда общее решение данного уравнения имеет вид: 
. Ответ: .
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд 
Решение. Для исследования данного ряда на сходимость можно применить признак Даламбера. Для этого находим 
и 
. Тогда: 
, следовательно, по признаку Даламбера данный числовой ряд сходится.
Пример 7. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.
Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом – одно из сочетаний очков 1,..., 6 на верхних гранях трех костей.
Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы:
Р(А) = m/n.
Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 × 6 × 6 = 216.
Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А,найдем выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:
В результате получаем, что Р (т) = 43, значит, Р (А) = 43/216.
Ответ: Р (А) = 43/216.
Пример 8. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,2. Имеется шесть билетов. Найти вероятности следующих событий: а) два билета будут выигрышными; б) выигрышных билетов будет от двух до четырех.
Решение. Для вычисления искомых вероятностей воспользуемся формулой Бернулли: 
. По условию задачи 
, 
.
а) Рассмотрим случайное событие А: два билета из шести будут выигрышными. Его вероятность: 
.
б) Рассмотрим случайное событие В: выигрышных билетов будет от двух до четырех. Это сложное событие состоит из следующих:
В1: два билета из шести будут выигрышными;
В2: три билета из шести будут выигрышными;
В3: четыре билета из шести будут выигрышными.
Тогда В= В1+В2+В3 и Р(В) = Р(В1)+Р(В2)+Р(В3).
Находим по формуле Бернулли соответствующие вероятности:
,
,
.
Тогда искомая вероятность: Р(В) = 0,2458+0,0492+0,0061=0,3011
Ответ: P(B)=0,3011.
Пример 9. После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины хi, а во второй строке – численность каждой группы значений m:
| х i | 21 | 17 | 35 | 11 |
| m i | 3 | 11 | 14 | 5 |
Найти объем выборки 
; относительные частоты 
, соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины; составить вариационный ряд распределения данной случайной величины. Найти числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Решение. Найдем объем выборки n по формуле: 
, где 
– число столбцов в таблице. Тогда n = 3+11+14+5=33.
Относительные частоты 
, соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины, находим по формулам: 
. Получаем: 
, 
, 
, 
.
Составим вариационный ряд распределения данной случайной величины:
| х i | ||||
|
| 1/11 | 1/3 | 14/33 | 5/33 |
Находим числовые характеристики выборки:
а) среднее арифметическое находим по формуле:
б) выборочная дисперсия находится по формуле: 
.
Получаем: 
в) среднеквадратическое отклонение: 
.
