ример 5. Деление комплексных чисел.

омплексные числа.

Пример 1. Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

, ,
, ,
, , ,

 

Числа , , – комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому, что они сливаются с осями.

ложение комплексных чисел.

Пример 2. и

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Пример 3. Вычитание комплексных чисел.

Найти разности комплексных чисел:

множение комплексных чисел.

·

Пример 4. Найти произведение комплексных чисел ,

Необходимо раскрыть скобки по правилу умножения многочленов, главное, помнить, что .

Понятно, что

ример 5. Деление комплексных чисел.

Даны комплексные числа , . Найти частное.

Пример 6.1. Представить в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. .
Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Обратное проверочное действие:

Пример 6.2. Представить в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. .

Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

Пример 6.3. Представить в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Очевидно, что (или 180 градусов). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка:

Пример 6.4. Представить в тригонометрической форме число .

Найдем его модуль и аргумент. ,

(-90 градусов), и, соответственно: .

Рассмотрим более распространенные случаи.

Модуль вычисляется по формуле . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта:

1) Если > 0 (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если x < 0, y > 0 (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если x < 0, y < 0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример 6.5. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , , x >0, y > 0 . ,

Следовательно
Пример 6.6. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , x < 0, y > 0 .

Следовательно

Пример 6.7. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , , x <0, y < 0 . ,

Следовательно
Пример 6.8. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. , , x >0, y < 0 . ,

Следовательно