Методика Ишлинского
Методика составления уравнений движения СП,
установленных на подвижном основании
Уравнения движения гироскопических устройств, находящихся на неподвижном основании, обычно составляют, используя уравнение Лагранжа второго рода. В него входят кинетическая энергия системы; обобщенные силы, приложенные к системе; обобщенные координаты. В качестве обобщенных координат берутся углы поворотов подвеса, а обобщенных сил – вращающие моменты. Таким образом составляются уравнения движения одно-, двух- и трехосных платформ.
В случае многоосной платформы, установленной на движущемся основании, обобщенными координатами выступают углы Эйлера между осями платформы 
и базовыми осями 
. Объект поворачивается вокруг нематериальных осей, не совпадающих с осями подвеса. Задача становится трудной, и для ее решения применяется малодоступный метод виртуальных перемещений.
Более предпочтителен метод, основанный на теореме об изменении главного момента количества движения динамической системы. Его использовали Е. Л. Николаи и др., а развил применительно к сложным гироскопическим системам А. Ю. Ишлинский [1].
Рассмотрим указанный метод на примере составления уравнений движения одноосной силовой СП, представленной на рис. 2.1. Платформа состоит из ротора гироскопа, кожуха гироскопа, платформы и ротора стабилизирующего двигателя (СД). При использовании этого метода система рассматривается как совокупность твердых тел, сочлененных между собой связями (декомпозиция системы на элементы). На каждое тело действуют не только силы, но и реакции связей (опор и т. д.). С каждым из тел связаны оси: с ротором гироскопа – 
; с кожухом – 
; с платформой – 
; с ротором СД – 
; с объектом, на котором установлена СП, – 
. При этом ось 
, совпадающая с осью 
, является осью вращения ротора; ось 
, совпадающая с осью 
, – осью вращения кожуха; ось 
, совпадающая с осью 
, – осью вращения платформы; ось , параллельная оси объекта, – осью вращения ротора двигателя.
На рис. 2.2 показаны тела, входящие в состав СП; связанные с ними системы координат и реакции опор (связей) 
, 
. Реакции опор лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. В соответствии с законом о силах действия и противодействия: 
. На рис. 2.2. реакции 
не указаны, так как соответствующие тела связаны с объектом.
Рис. 2.2
Данная методика приводит к упрощению громоздких вычислений, при этом легко просматривается физический смысл.
Для каждого из тел справедлив закон сохранения момента количества движения вокруг центра инерции. В векторной форме уравнение вращательного движения вокруг центра инерции тела относительно произвольной опорной системы координат имеет вид
, (2.1)
где 
– вектор главного момента количества движения i -го тела относительно центра инерции с; 
– вектор угловой скорости расчетной системы координат (
, если система координат инерциальная); 
– главный момент заданных сил; 
– момент реакции опор.
Выражение (2.1) можно записать в скалярной (матричной) форме[1]:
, (2.2)
где 
– кососимметрическая матрица, необходимая для выполнения векторного умножения; 
(
– тензор инерции тела, 
, 
, 
– моменты инерции i ‑го тела относительно связанных с ним осей, 
– центробежные моменты инерции).
В случае динамически уравновешенного тела центробежные моменты инерции равны нулю. Тогда тензор инерции представляет собой диагональную матрицу и после перемножения матриц получим:
.
Уравнения движения двух или нескольких тел, объединенных в систему, получают, складывая геометрически левые и правые части уравнений (2.2), записанных для каждого тела, входящего в систему. Так, например, уравнение движения двух тел i и j, связанных через опоры, записывают следующим образом [1]:
, (2.3)
где 
– матрица перехода от системы координат i к системе координат j.
Последнее слагаемое 
из выражения (2.3), если в системе есть следующее тело 
, связанное с j ‑м, состоит из
Перепроектировав (2.2) на систему координат, связанную с телом j, умножая обе части на и заменяя 
на 
, выразим из (2.2) 
и подставим в (2.3):
.
Получим уравнение движения системы тел i и j в проекциях на систему координат, связанную с телом j:
. (2.4)
Это эквивалентно тому же, что умножить выражение (2.2) на и геометрически сложить, заменяя на .
Выбирая в (2.4) строку, соответствующую оси вращения тела j, получим уравнение, не содержащее неизвестной реакции связи .
