Для перевода двоичных чисел в шестнадцатеричную систему, нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на четверки цифр, каждое полученное четырехзначное число отдельно перевести в шестнадцатеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными четверками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем заменяют соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.
Двоичное число 1101111011, использованное в предыдущем примере, после разбиения на группы по четыре двоичных цифры, можно записать как 11 0111 1011 и после выражения каждой группы одной шестнадцатиричной цирой получить шестнадцатиричное число 37В.
Пример: 101111,100011 легко перевести на шестнадцатеричную,
10 1111,1000 11 → 0010 1111,1000 1100 → 2F8C16;
Представим в виде таблицы:
| Двоичная система счисления | ||||||||
| Шестнадцатеричная система счисления |
| Двоичная система счисления | ||||||||
| Шестнадцатеричная система счисления | A | B | C | D | E | F |
Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе
Сложение. Операция сложения выполняется так же, как и в десятичной системе. Переполнение разряда приводит к появлению единицы в следующем разряде:
0+0=0 1+0=1
1+1=10 0+1=1
Пример: Выполним сложение двух двоичных чисел 101+11 (в десятичной системе это 5+3=8).
Сложение лучше выполнять в столбик, добавив недостающие нули.
+ 011
Рассмотрим процесс сложения поэтапно.
1. Выполняется сложение в младшем разряде: 1+1=10. В младшем разряде суммы записывается 0,и единица переносится в следующий старший разряд.
2. Суммируются цифры следующего слева разряда и единица переноса: 0+1+1=10. В этом разряде суммы записывается 0, и опять единица переносится в старший разряд.
3. Суммируются цифры третьего слева разряда и единица перенса: 1+0+1=10. В этом разряде записывается 1, и единица переносится в следующий старший разряд и.т.д.
В результате получили: 101
+ 011
Итак, 10002 =810
Вычитание.
При вычитании двоичных чисел нужно помнить что
0-0=0
0-1=1
1-0=1
1-1=0
Пример. Найти разность двоичных чисел: 1010-101. Выполним вычитание в столбик, начиная с младшего разряда:
_1010
101
Рассмотрим процесс вычитания поэтапно.
1. Для младшего разряда имеем: 0-1. Поэтому занимаем единицу в старшем разряде и находим
10-1=1.
2. В следующем разряде уже будет 0-0=0.
3.В разряде слева опять имеем 0-1. Занимаем единицу в старшем разряде и находим 10-1=1.
4. в следующем разряде остался 0.
В результате получили: _1010
101
Умножение.
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Пример. Найти произведение двоичных чисел: 1012 и 1102. Выполним произведение чисел в столбик, начиная с младшего разряда:
*101 Проверка: 1012=1*22+0*21+1*20=5
´ 110 1102=1*22+1*21+0*20=6
+101
101
111102= 1*24+1*23+1*22+1*21+0*20=16+8+4+2+0=3010, т.е. 5*6=30
Рассмотрим процесс умножения поэтапно.
1. Умножая на младший разряд по таблице, имеем 000.
2. Умножая на следующий разряд, получаем 101, но со сдвигом на один разряд влево.
3. Умножая на старший разряд, получаем также 101, но со сдвигом на один разряд влево.
4. Теперь с учетом таблицы сложения двоичных чисел складываем и получаем результат 111102.
Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.
Самостоятельная работа студента с преподователям:
1. Задания: Представьте в виде суммы степеней основания числа:
1. 110101012 6. 1101,0112
2. 111110102 7. 0,1001012
3. 101010112 8. 11,101012
4. 111001012 9. 111,101002
5. 111010012 10. 101,100012
2. Задания: записать следующих двоичных чисел в восьмеричной системе
1. 111101100112 6. 1101010,11002
2. 1101101012 7. 1010110,01012
3. 1101001102 8. 11010,011012
4. 101001102 9. 1000,11012
5. 10000112 10. 11101,0012
3. Задания: записать следующих двоичных чисел в шестнадцатеричной системе 1 1. 1 1111101010102 6. 101010101,110012
2. 11010101001112 7. 101010101,10101012
- 100011101012 8. 1010111,010102
- 10100110112 9. 11111,110002
- 10010100112 10. 101,10110112
4. Задания: Выполните сложение:
1. 0110+0110= 6. 1101+0110=
2. 11001+10111= 7. 1010+011=
3. 10001+11101= 8. 10111+1011=
4. 11001+11100= 9. 111010+1110=
5. 11000+11101= 10. 110011+100011=
5. Задания: Выполните вычитание:
1. 11010-01101= 6. 10111-1001=
2. 1101-0110= 7. 111011-11001=
3. 1101-111= 8. 10111-11100=
4. 10001-1011= 9. 11110-1001=
5. 11011-1001= 10. 101011-10111=
6. Задания: Выполните умнажение:
1. 1011´110= 6. 1101´101=
2. 11001´111= 7. 1010´101=
3. 0101´10= 8. 10001´111=
4. 1000´101= 9. 1110´1001=
5. 10111´1100= 10. 11011´100=
Самостоятельная работа студента:
Задания. Заполните таблицу:
| Десятичная с.с. | Двоичная с.с. | Восьмеричная с.с. | Шестнадцатиричная с.с. | |
| I-Вариант | 358,95 | |||
| 164А | ||||
| I I -Вариант | 634,67 | |||
| 7АС | ||||
| I I I -Вариант | 582,02 | |||
| 1Ғ6Е | ||||
| IV-Вариант | 369,025 | |||
| 4D61 | ||||
| V-Вариант | 468.15 | |||
| 2D4A | ||||
| VI-Вариант | 654.27 | |||
| 5AD | ||||
| VII-Вариант | 286.52 | |||
| 1D8E | ||||
| VIII-Вариант | 492.025 | |||
| 4C61 | ||||
| IX-Вариант | 417.75 | |||
| 952F | ||||
| X-Вариант | 744.67 | |||
| 78FC | ||||
| XI-Вариант | 542.92 | |||
| 4D67 | ||||
Контрольные вопросы:
1. Что называют двоичной системы счисления?
2. Что такое двоичное число?
3. Каждый разряд двоичного числа как называется?
4. Как можно перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления?
5. Как можно перевести положительную десятичную дробь в двоичную?
