А2К2 /К2В2 ¹А1К1/К1В1 Þ КÏАВ

Двумя точками (А и В).

Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рис. 15). Через эти точки можно провести прямую линию. Для того чтобы найти проекции отрезка [BA] на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка:

A1B1]<[BA]; [A2B2]<[BA;] [A3B3]<[BA].




а) модель	б) эпюр
Рисунок 15.Определение положения прямой по двум точкам

Обозначим углы между прямой и плоскостями проекций через α - с плоскостью П1, β - с плоскостью П2, γ- с плоскостью П3 и тогда получим:

|А1В1|=|BA|cos a

|A2B2|=|AB|cos b

|A3B3|=|AB|cos g.

Частный случай |A1B1|=|A2B2|=|A3B3| при таком соотношении прямая образует с плоскостями проекций равные между собой углы a=b=g=35⁰, при этом каждая из проекций расположена под углом 45⁰ к соответствующим осям проекций.

Двумя плоскостями (a; b).

Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии).

Двумя проекциями.

Пусть в плоскостях П1 и П2 даны проекции прямых заданных отрезками [А1В1] и [A2B2]. П роведем через эти прямые плоскости a и b перпендикулярные плоскостям проекций. В том случае если эти плоскости непараллельные (рис.16а), линией их пересечения будет прямая заданная отрезком [АВ], проекциями которой являются отрезки [А1В1] и [А2В2].

а) α непараллельная β б) α параллельная β

Рисунок 16.Определение положения прямой в пространстве по двум проекциям отрезка

Плоскости a и b могут слиться в одну плоскость g, если, например, проекции [ А 1 В 1] и [ А 2 В 2] перпендикулярны оси x и пересекают ее в одной точке (рис.16б). Прямая линия в этом случае будет однозначно определена своими проекциями, если на каждой из них обозначить две какие-либо точки. Если же обозначений не делать, то за искомую прямую можно принять любую прямую, лежащую в этой плоскости при условии, что она непараллельная ни одной из плоскостей проекций. Точка К, в данном случае - точка пересечения прямой с плоскостью П 2. 4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций. Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве(рис.17).

Рисунок 17. Определение положения прямой по точке и углам наклона к плоскостям проекций

положение прямой линии относительно плоскостей проекций

Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.18).

Рисунок 18. Прямая общего положения

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.19). Для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство

z_A=z_B Þ A₂B₂//0x; A₃B₃//0y Þ x_A–x_B≠, y_A–y_B≠, z_A–z_B=.

а) модель б) эпюр

Рисунок 19. Горизонтальная прямая

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями (рис.20).

y_A=y_BÞ A ₁ B ₁x, A ₃ B ₃z Þ x_A–x_B≠, y_A–y_B=, z_A–z_B≠.

а) модель б) эпюр

Рисунок 20. Фронтальная прямая

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис. 21).

x_A=x_B Þ A ₁ B ₁y, A ₂ B ₂z Þ x_A–x_B=, y_A–y_B≠, z_A–z_B≠.

Различают восходящую и нисходящую профильные прямые. Первая по мере удаления от зрителя поднимается, вторая - понижается.

а) модель б) эпюр

Рисунок 21. Профильная прямая

3.1. Фронтально проецирующая прямая - АВ (рис. 22)

x_A–x_B=ü

y_A–y_B≠ý

z_A–z_B=þ,

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

а) модель б) эпюр

Рисунок 22. Фронтально проецирующая прямая

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.23)

x_А–x_B≠ü

y_А–y_B=ý

z_А–z_B=þ,

а) модель б) эпюр

Рисунок 23. Профильно-проецирующая прямая

3.3. Горизонтально проецирующая прямая - АВ (рис.24)

x_А–x_В=ü

y_А–y_В=ý

ZА–zВ≠þ.




а) модель	б) эпюр
Рисунок 24. Горизонтально-проецирующая прямая

4. Прямые параллельные биссекторным плоскостям (рис. 25)

АВ S1бис Þ x_A–x_B=; z_B–z_A=y_B–y_A;

СD S2бис Þ x_С–x_D=; z_D–z_C=y_C–y_D.

Биссекторной плоскостью называется плоскость, проходящая через ось 0х и делящая двухгранный угол между плоскостями проекций П₁ и П₂ пополам. Биссекторная плоскость проходящая через 1 и 3 четверти называется первой биссекторной плоскостью (S1бис), а через 2 и 4 четверти - второй (S2бис).

5. Прямые перпендикулярные биссекторным плоскостям (рис. 25)

АВ ^S2бис Þ x_A–x_B=; z_B–z_A=y_В–y_А;

СD ^S1бис Þ x_С–x_D=; z_D–z_C=y_C–y_D.




	а) модель	б) эпюр
	Рисунок 25. Прямые параллельные и перпендикулярные биссекторным плоскостям
следы прямой линии

Следом прямой линии называется точка (рис. 26), в которой прямая пересекается с плоскостью проекций (так как след - точка, принадлежащая одной из плоскостей проекций, то одна из её координат должна быть равна нулю).

Горизонтальный след - М (z_M=0)- точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций.

Фронтальный след - N (y_N=0) - точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций.

Профильный след - Т (x_Т=0) - точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций.


а) модель	б) эпюр
Рисунок 26.Следы прямой линии в системе трех плоскостей проекций

Следы прямой являются точками частного положения. Одноименные проекции следа прямой совпадают с самим следом, а другие проекции лежат на осях. Например, фронтальный след прямой N₂ºN, а N₁ лежит на оси x, N₃ - на оси z. Отмеченные особенности в расположении следов проекций позволяет сформулировать следующие правила:

Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью 0x и в этой точке восстановить перпендикуляр к оси до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

Для построения фронтального следа N прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции её с осью 0x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

С помощью этих правил найдены на эпюре следы прямой а(рис.27). Здесь же показаны совпавшие проекции точки А, принадлежащей рассматриваемой прямой. Особенность этой точки в том, что она равноудалена от плоскостей проекций, то есть находятся в биссекторной плоскости S2бис. Следы прямой, являются точками, в которых прямая переходит из одного октанта в другой, позволяют отмечать её видимость. Видимой частью прямой будет та, которая расположена в пределах первого октанта.

Рисунок 27. Нахождение горизонтального и фронтального следов прямой линии

Взаимное расположение точки и прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Обратное неверно. Из четырех предложенных на рисунке 28 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.

В тех случаях, когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П ₁, П ₂ и П ₃), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П ₁, П ₂ или П ₃. Например, прямая АВ и точка К лежат в плоскости параллельной профильной плоскости проекций (рис.29).


а) эпюр	б) модель
Рисунок 28. Взаимное расположение точки и прямой



а) эпюр	б) модель
Рисунок 29. Точка и прямая, расположенные в профильной плоскости уровня

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ:

А2К2 /К2В2 ¹А1К1/К1В1 Þ КÏАВ

Деление отрезка прямой в заданном соотношении

Чтобы некоторый отрезок разделить на эпюре в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции.

	Пример: (рис.30) Чтобы разделить отрезок АВ в отношении 2:3 из точки А ₁ проведем произвольный отрезок А ₁ В^* ₁ разделенный на 5-ть равных частей \| A ₁ K^* ₁\|=2, \| K^* ₁ B^* ₁\|=3. А ₁ К^* ₁/ К^* ₁ В^* ₁=2/3 Соединяя точку В^* ₁с точкой В ₁ и проведя из точки К^* ₁ прямую параллельную (В ₁ В^* ₁) получим проекцию точки К ₁. Согласно теореме Фалеса (Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне отложатся равные между собой отрезки) А ₁ К ₁/ К ₁ В ₁=2/3, далее находим К ₂. Таким образом проекции точки К делят одноименные проекции отрезка АВ в данном отношении следовательно и точка К делит отрезок АВ в отношении 2/3.
Рисунок 30. Деление отрезка прямой в заданном соотношении

определение длины отрезка прямой линии и углов наклона прямой к плоскостям проекций

(метод прямоугольного треугольника)

Длину отрезка АВ и a - угол наклона отрезка к плоскости П₁ можно определить из прямоугольного треугольника АВС | AС |=| A ₁ B ₁|, | BС |=DZ. Для этого на эпюре (рис.31) из точки B ₁ под углом 90⁰ проводим отрезок | B ₁ B ₁*|=DZ, полученныйв результате построений отрезок A ₁ B ₁ * и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B ₁ A ₁ B ₁*=a. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника. Тот же результат можно получить при вращении треугольника АВС вокруг стороны AС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П ₁, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения.

Подробнее вращение вокруг оси параллельной плоскости проекций рассмотрены в разделе «Методы преобразования ортогональных проекций».




а) модель	б) эпюр
Рисунок 31. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к горизонтальной плоскости проекций

Длину отрезка АВ и b -угол наклона отрезка к плоскости П₂ можно определить из прямоугольного треугольника АВС | AС |=| A ₂ B ₂|, | BС |=DY. Построения аналогичные рассмотренным, только в треугольнике АВВ * сторона |BВ * |=DU и треугольниксовмещается с плоскостью П ₂ (рис.32).




а) модель	б) эпюр
Рисунок 32. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к фронтальной плоскости проекций

Взаимное расположение двух прямых

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Рассмотрим подробнее каждый случай.