Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.

Потребности

Зам. Директора по УВР

________/Знаенко Г.В./

Г.

Экзаменационные задания по дисциплине

«Анализ и моделирование систем математическими методами»

для специальности

080802- «Прикладная информатика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные понятия математического моделирования. Классификация математических моделей.

2. Особенности построения математических моделей.

3. Условия задач линейного программирования.

4. Геометрическое решение задач линейного программирования.

5. Симплекс-метод решения задач. Каноническая форма записи условия задачи. Алгоритм решения симплексным методом.

6. Утилита «Поиск решения» в процессоре MS Excel для решения задач линейного программирования.

7. Двойственные задачи.

8. Транспортная задача. Каноническая форма записи условия транспортной задачи. Переход от канонической формы записи условия к табличной форме. Ограничения переменных целевой функции.

9. Оформление начального решения транспортной задачи методом Фогеля.

10. Оформление начального решения транспортной задачи методом минимальной стоимости.

11. Оформление начального решения транспортной задачи методом северо-западного угла.

12. Оценка оптимальности решения транспортной задачи методом потенциалов.

13. Оптимизация решения транспортной задачи циклом. Алгоритм построения цикла. Правила циклического сдвига.

14. Условия задач нелинейного программирования.

15. Геометрическое решение задач нелинейного программирования.

16. Решение задач нелинейного программирования методом множителей Лагранжа.

17. Решение задач нелинейного программирования методом Франка-Вулфа.

18. Основные понятия теории игр.

19. Экономическая и геометрическая интерпретации задач теории игр.

20. Графическое решение игр.

21. Теория игр: решение игры в чистых стратегиях методом минимакса.

22. Теория игр: работа над условиями задач, не имеющих решения в чистых стратегиях.

23. Теория игр: решение задач в смешанных стратегиях.

24. Теория игр: решение задач в смешанных стратегиях, если ведущим является игрок А.

25. Теория игр: условие неопределенности в качестве одного из игроков.

26. Теория игр: оценка решения игры в условиях неопределенности критерием Вальда.

27. Теория игр: оценка решения игры в условиях неопределенности критерием Гурвица.

28. Теория игр: оценка решения игры в условиях неопределенности критерием Сэвиджа.

29. Динамическое программирование: основные понятия.

30. Принцип оптимальности Беллмана.

31. Задача о распределении капиталовложений.

32. Задача о складировании.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1. На приобретение оборудования для нового участка выделено 20 тыс. y.e. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 72 м². Может быть заказано оборудование двух видов: 1) оборудование стоимостью 5 тыс. y.e., занимающее площадь 6 м² и дающее 8 тыс. ед. продукции за смену; 2) оборудование стоимостью 2 тыс. y.e., занимающее площадь 12 м² и дающее за смену 4 тыс. ед. продукции. Найти оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум общей производительности участка, используя симплекс-метод.

2. Для изготовления различных изделий А, В и С предприятие использует три различных вида сырья. Нормы расхода сырья на производство одного изделия каждого вида, цена одного изделия, а также общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано предприятием, приведены в таблице.

Вид сырья	Нормы затрат сырья на одно изделие	Общее количество сырья
А	В	С
I
II
III
Цена 1 изделия

Изделия А,В и С могут производиться в любых соотношениях. Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной продукции является максимальной.

3. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров - А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В - 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В - 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?

4. Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида. Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

5. Выполнить заказ по производству 32 изделий И₁ и 4 изделий И₂ взялись бригады Б₁ и Б₂. Производительность бригады Б₁ по производству изделий И₁ и И₂ составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады Б₂ – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Б₁ равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады Б₂ – 15 и 30 руб. Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

6. Для пошива одного изделия требуется выкроить из ткани 6 деталей. На швейной фабрике были разработаны два варианта раскроя ткани. В таблице приведены характеристики вариантов раскроя 10 м² ткани и комплектность, т.е. количество деталей определенного вида, которые необходимы для пошива одного изделия. Ежемесячный запас ткани для пошива изделий данного типа составляет 405 м². В ближайший месяц планируется сшить 90 изделий. Постройте математическую модель задачи, позволяющую в ближайший месяц выполнить план по пошиву с минимальным количеством отходов.

Характеристики вариантов раскроя отрезов ткани по 10 м²

Вариант раскроя	Количество деталей, шт./отрез	Отходы, м²/отрез
1	2	3	4	5	6
						0,5
						0,35
Комплектность, шт./изделие

7. Решить ЗЛП симплексным методом.

при условиях и

8. Решить задачи двойственной пары. Для производства трех видов изделий А,В и С используется три различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в количестве, соответственно не большем 180, 210 и 244 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида приведены в таблице.

Вид сырья	Нормы затрат сырья на единицу продукции
А	В	С
I
II
III
Цена ед.продукции

Определить план выпуска продукции, при котором обеспечивается ее максимальная стоимость, и оценить каждый из видов сырья.

9. Решить задачи двойственной пары. На приобретение оборудования для нового участка выделено 20 тыс. y.e. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 72 м². Может быть заказано оборудование двух видов: 1) оборудование стоимостью 5 тыс. y.e., занимающее площадь 6 м² и дающее 8 тыс. ед. продукции за смену; 2) оборудование стоимостью 2 тыс. y.e., занимающее площадь 12 м² и дающее за смену 4 тыс. ед. продукции. Найти оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум общей производительности участка, используя симплекс-метод.

10. Решить задачи двойственной пары. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров - А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В - 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В - 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?

11. Решить задачи двойственной пары. Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй – для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида. Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

12. Решить задачи двойственной пары. Выполнить заказ по производству 32 изделий И₁ и 4 изделий И₂ взялись бригады Б₁ и Б₂. Производительность бригады Б₁ по производству изделий И₁ и И₂ составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады Б₂ – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Б₁ равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады Б₂ – 15 и 30 руб. Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

13. Решить задачи двойственной пары. Для пошива одного изделия требуется выкроить из ткани 6 деталей. На швейной фабрике были разработаны два варианта раскроя ткани. В таблице приведены характеристики вариантов раскроя 10 м² ткани и комплектность, т.е. количество деталей определенного вида, которые необходимы для пошива одного изделия. Ежемесячный запас ткани для пошива изделий данного типа составляет 405 м². В ближайший месяц планируется сшить 90 изделий. Постройте математическую модель задачи, позволяющую в ближайший месяц выполнить план по пошиву с минимальным количеством отходов.

Характеристики вариантов раскроя отрезов ткани по 10 м²

Вариант раскроя	Количество деталей, шт./отрез	Отходы, м²/отрез
1	2	3	4	5	6
						0,5
						0,35
Комплектность, шт./изделие

14. Решить задачи двойственной пары. Решить ЗЛП симплексным методом.

при условиях и

15. Решить транспортную задачу.

16. В области имеются 2 цементных завода и три потребителя их продукции – домостроительных комбината. В таблице указаны суточные объемы производства цемента, суточные потребности в нем комбинатов и стоимость перевозки 1 т цемента от каждого завода к каждому комбинату

Заводы	Производство цемента (т/сут)	Стоимость перевозки 1т цемента (ден.ед.)
Комбинат 1	Комбинат 2	Комбинат 3


Потребность в цементе (т/сут)

17. Предполагается, что с двух складов развозят товары по трем магазинам, стоимости перевозок единицы продукции записаны в виде таблицы.

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3
Склад 1
Склад 2

Постройте транспортную задачу, если на 1 складе хранится 200 ед. продукции, на 2-м – 250 единиц, в 1-й магазин требуется доставить 70 единиц продукции, во 2-й – 80, в 3-й – 100 единиц продукции соответственно.

18. Четыре предприятия одного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140 и 170 ед. На каждое предприятие сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

С=

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

19. Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в таблице.

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.

	D	E
А
В
С

Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.

20. Из трех холодильников A_i, вмещающих мороженую рыбу в количествах a_i т, необходимо последнюю доставить в пять магазинов B_j, в количествах b_j т. Стоимость перевозки 1 т рыбы из холодильника в магазин заданы в виде матрицы. Написать математическую модель и спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

21. Решить транспортную задачу. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов:

22. Методом множителей Лагранжа найти максимальное значение функции при условиях и

23. Методом множителей Лагранжа найти максимальное значение функции при условиях и

24. Методом множителей Лагранжа найти минимальное значение функции

25. Решить задачу методом Лагранжа. По плану производства продукции предприятию необходимоизготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве x₁изделий 1 способом затраты равны , а при изготовлении x₂ изделий . Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.

26. Методом множителей Лагранжа найти максимальное значение функции при условии .

27. Решить задачу методом множителей Лагранжа. На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 200 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством x₁изделий на 1 предприятии равны , а затраты, обусловленные изготовлением x₂ изделий на втором предприятии, составляют . Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленные изготовлением необходимой продукции, были минимальными.

28. Методом множителей Лагранжа найти минимум функции при условии

29. Методом Франка-Вулфа определить максимум функции при условиях

30. Методом Франка-Вулфа определить максимум функции при условиях . В качестве начальной точки взять .

31. Методом Франка-Вулфа найти максимальное значение функции при условиях

32. Методом Франка-Вулфа найти минимальное значение функции при условиях и

33. Оценить решение игры в условиях неопределенности критерием Вальда, если игра задана матрицей прибыли

34. Оценить решение игры, заданной платежной матрицей выигрышей, в условиях неопределенности критерием Лапласа

35. Оценить решение игры, заданной платежной матрицей выигрышей, в условиях неопределенности критерием Гурвица

36. Оценить решение игры, заданной матрицей выигрышей, в условиях неопределенности критерием Сэвиджа

37. Найти границы и цену игры, заданной платежной матрицей выигрышей, используя критерий минимакса

38. Определить границы игры, если возможно, определить ее цену

39. Определить возможность решения игры в чистых стратегиях

40. Составить оптимальный план замены оборудования при исходных данных о производительности оборудования и ежегодных затратах на его содержание, приведенных в таблице. Кроме того, известно, что к началу рассматриваемого периода установлено новое оборудование, использованное оборудование списывается, а стоимость нового оборудования равна 10 тыс. руб.

Возраст оборудования t (лет)
Годовой выпуск продукции r(t) на оборудование возраста t лет (тыс. руб.)
Ежегодные затраты на содержание и ремонт оборудования с(t) (тыс. руб.)

41. Составить оптимальный план замены оборудования при исходных данных о производительности оборудования и ежегодных затратах на его содержание, приведенных в таблице. Кроме того, известно, что к началу рассматриваемого периода установлено новое оборудование, использованное оборудование списывается, а стоимость нового оборудования равна 10 тыс. руб.

Возраст оборудования t (лет)
Годовой выпуск продукции r(t) (тыс. руб.)
Ежегодные затраты на содержание и ремонт оборудования с(t) (тыс. руб.)

42. Составить оптимальный план замены оборудования при исходных данных о производительности оборудования и ежегодных затратах на его содержание, приведенных в таблице. Кроме того, известно, что к началу рассматриваемого периода установлено новое оборудование, использованное оборудование списывается, а стоимость нового оборудования равна 10 тыс. руб.

Возраст оборудования t (лет)
Годовой выпуск продукции r(t) на оборудование возраста t лет (тыс. руб.)
Ежегодные затраты на содержание и ремонт оборудования с(t) (тыс. руб.)

43. Составить оптимальный план замены оборудования при исходных данных о производительности оборудования и ежегодных затратах на его содержание, приведенных в таблице. Кроме того, известно, что к началу рассматриваемого периода установлено новое оборудование, использованное оборудование списывается, а стоимость нового оборудования равна 15 тыс. руб.

Возраст оборудования t (лет)
Годовой выпуск продукции r(t) на оборудование возраста t лет (тыс. руб.)
Ежегодные затраты на содержание и ремонт оборудования с(t) (тыс. руб.)

44. Составить оптимальный план замены оборудования при исходных данных о производительности оборудования и ежегодных затратах на его содержание, приведенных в таблице. Кроме того, известно, что к началу рассматриваемого периода установлено новое оборудование, использованное оборудование списывается, а стоимость нового оборудования равна 20 тыс. руб.

Возраст оборудования t (лет)
Годовой выпуск продукции r(t) на оборудование возраста t лет (тыс. руб.)
Ежегодные затраты на содержание и ремонт оборудования с(t) (тыс. руб.)

45. Составить оптимальный план замены оборудования при исходных данных о производительности оборудования и ежегодных затратах на его содержание, приведенных в таблице. Кроме того, известно, что к началу рассматриваемого периода установлено новое оборудование, использованное оборудование списывается, а стоимость нового оборудования равна 12 тыс. руб.

Возраст оборудования t (лет)
Годовой выпуск продукции r(t) на оборудование возраста t лет (тыс. руб.)
Ежегодные затраты на содержание и ремонт оборудования с(t) (тыс. руб.)

46. Составить оптимальный план замены оборудования при исходных данных о производительности оборудования и ежегодных затратах на его содержание, приведенных в таблице. Кроме того, известно, что к началу рассматриваемого периода установлено новое оборудование, использованное оборудование списывается, а стоимость нового оборудования равна 18 тыс. руб.

Возраст оборудования t (лет)
Годовой выпуск продукции r(t) на оборудование возраста t лет (тыс. руб.)
Ежегодные затраты на содержание и ремонт оборудования с(t) (тыс. руб.)

47. Составить оптимальный план замены оборудования при исходных данных о производительности оборудования и ежегодных затратах на его содержание, приведенных в таблице. Кроме того, известно, что к началу рассматриваемого периода установлено новое оборудование, использованное оборудование списывается, а стоимость нового оборудования равна 8 тыс. руб.

Возраст оборудования t (лет)
Годовой выпуск продукции r(t) на оборудование возраста t лет (тыс. руб.)
Ежегодные затраты на содержание и ремонт оборудования с(t) (тыс. руб.)

48. Между четырьмя предприятиями распределяют сумму 500 млн.руб., средства распределяются суммами, кратными 80 млн.руб. Прибыль на каждом предприятии задана таблично:

x	P₁(x)	P₂(x)	P₃(x)	P₄(x)