Теоретический материал
Решение многих задач связано с нахождением суммы или произведения элементов заданной последовательности. В данном разделе мы рассмотрим основные приемы вычисления конечных сумм и произведений.
Пусть 
- произвольная последовательность n функций. Будем рассматривать конечную сумму вида 
. Такую сумму можно записать более компактно, используя следующее обозначение: 
. При 
значение суммы равно 0.
В дальнейшем будем также использовать сокращенную запись для конечного произведения данной последовательности, которая выглядит следующим образом: 
.
1. Написать программу, которая подсчитывает сумму натуральных чисел от 1 до n (n³1).
Указания по решению задачи. Пусть sn - сумма натуральных чисел от 1 до n. Тогда sn=1+2+…+(n-1)+n=(1+2+…+(n-1))+n=sn-1+n, s0=0. Мы пришли к рекуррентному соотношению s0=0, sn=sn-1+n, которым мы можем воспользоваться для подсчета суммы. Соотношение sn=sn-1+n говорит о том, что сумма на n-ном шаге равна сумме, полученной на предыдущем шаге, плюс очередное слагаемое.
static void Main()
{
Console.Write("Ввведите значение n: ");
int n=int.Parse(Console.ReadLine());
int s=0;
for (int i=1; i<=n; ++i)
s+=i;
Console.WriteLine("s="+s);
}
2. Написать программу, которая подсчитывает n! для вещественного x и натурального n.
Указание по решению задачи. Из свойства факториала 0!=1!=1, n!=1*2*3*…*n, n!=(n-1)!n. Следовательно, факториал можно вычислять, используя рекуррентное соотношение b0=1, bn=bn-1*n.
static void Main()
{
Console.Write("Ввведите значение n: ");
int n=int.Parse(Console.ReadLine());
int f=1;
for (int i=1; i<=n; ++i)
f*=i;
Console.WriteLine("{0}!={1}", n, f);
}
3. Написать программу для подсчета суммы 
, где х – вещественное число, n – натуральное число.
Указания по решению задачи. Если пронумеровать слагаемые, начиная с 1, то мы увидим, что номер слагаемого совпадает со значением знаменателя. Рассмотрим каждый числитель отдельно: 
, 
, 
… Эту последовательность можно представить рекуррентным соотношением b0=0, bn=bn-1+cos nx (1). Теперь сумму можно представить следующим образом 
, а для нее справедливо рекуррентное соотношение S0=0, 
(2). При составлении программы будем использовать формулы (1-2).
static void Main()
{
Console.Write("Ввведите значение n: ");
int n=int.Parse(Console.ReadLine());
Console.Write("Ввведите значение x: ");
double x=double.Parse(Console.ReadLine());
double b=0, s=0;
for (int i=1; i<=n; ++i)
{
b+=Math.Cos(i*x);
s+=b/i;
}
Console.WriteLine("s={0:f2}",s);
}
4. Написать программу для подсчета суммы 
, где х – вещественное число, n – натуральное число.
Указания по решению задачи. Перейдем от сокращенной формы записи к развернутой, получим 
. Каждое слагаемое формируется по формуле 
. Если в эту формулу подставить n=0, то получим 
.
Чтобы не вводить несколько рекуррентных соотношений (отдельно для числителя, отдельно для знаменателя), представим общий член последовательности слагаемых с помощью рекуррентного соотношением вида 
, где q для нас пока не известно. Найти его можно из выражения 
. Произведя необходимые расчеты, получим, что 
. Следовательно, для последовательности слагаемых мы получили рекуррентное соотношение 
, 
(3). А всю сумму, по аналогии с предыдущими примерами, можно представить рекуррентным соотношением: S0=0, 
(4). Таким образом, при составлении программы будем пользоваться формулами (3-4).
using System;
namespace Hello
{
class Program
{
static void Main()
{
Console.Write("Ввведите значение n: ");
int n=int.Parse(Console.ReadLine());
Console.Write("Ввведите значение x: ");
double x=double.Parse(Console.ReadLine());
double a=-1, s=0;
for (int i=1; i<=n; ++i)
{
a*=-x/i; s+=a;
}
Console.WriteLine("s={0:f2}",s);
}
}
}
