Формирование математических понятий

Формирование основных логических форм мышления в процессе обучения математике

Логика и методология выполняют две функции по отношению к ТиМОМ: определяют содержание обучения математике и требования к организации обучения математике

Def₁. Логика (от греческого logos – «мысль», «слово») – наука о правилах рассуждений и формах мышления.

Def₂. Методология (от греческого – «теория метода») – наука о логической организации, структуре, методах и средствах научно-познавательной деятельности. Понятие методологии математики имеет более узкий смысл, связанный со спецификой предмета, методов математики, спецификой ее роли и места в общественном знании.

Def₃. Логическую структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют логическими формами мышления.

К основным формам мышления относятся: ______________________________________________.

Формирование математических понятий

Def₄. Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные (с точки зрения цели изучения) свойства изучаемых объектов.

В дидактике и психологии процесс формирования понятий описывается схемой Джона Локка (см. схему 1). Эта схема показывает, что для формирования понятий учащиеся должны быть включены в следующие последовательные виды деятельности:

1) _________;

2) _________;

3) _________;

4) _________.

Схема 1. Формирования понятий (по Д. Локку).

Задание 1. Опишите виды заданий, которые должны быть поставлены перед учащимися для введения по схеме Д. Локка понятия «параллелепипед».

Далеко не все математические понятия можно ввести, опираясь на эту схему. Так, например, понятие «точка» имеет другое происхождение _____________________________________________.

Рассмотрение «понятия» как логико-методологической категории позволит описать: а) особенности логической структуры математических понятий; б) особенности введения понятий в математическую теорию; в) особенности развития понятий в математической науке.

Понятие (в логике) - предикат, которому присвоено определенное имя – термин. Характеристики:

· Термином (слово или словосочетание математического языка, обозначающее это понятие).

· Содержанием (множество всех свойств изучаемых объектов, закрепленных в понятии – свойств понятия).

· Объемом (множество объектов, обладающих этим набором свойств – область истинности предиката).

Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: ___________________

______. Содержание математических понятий может раскрываться:_______________________

______. Объем математического понятия может раскрываться также двумя способами: ______

______.

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами из курса «Введение в математику» сформулируйте требования, предъявляемые к классификации математических понятий.

Задание 2. Перечислите все известные вам свойства, входящие в содержание понятия «параллелограмм». Установите, что произойдет с объемом этого понятия, если

а) к его содержанию добавить свойство перпендикулярности диагоналей.

б) из его содержания исключить свойство параллельности каждой пары противоположных сторон.

К математическим терминам предъявляется требование однозначности.

Задание 3. Внесите уточнения в предложения, использующие омонимы (термины, обозначающие сразу несколько различных понятий) так, чтобы предложения стали истинными высказываниями. Сделайте обобщающий вывод о способах исключения омонимов в математических языках.

А). Корнем могут быть только неотрицательные числа.

Б). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной.

В). Операция деления двух чисел не всегда выполнима.

Так как однозначность математических терминов достигается за счет отнесения их к той или иной математической теории, то говорят, что математические понятия не существуют вне математической теории. С учетом этой особенности математических понятия, в ТиМОМ принят термин «предпонятие» для обозначения результатов формирования математических понятий в пропедевтических курсах (т.е. в математических курсах, не раскрывающих систему математической теории – математика 1-6 классы).

В математической теории понятия вводятся либо через систему аксиом, либо через определение. Аксиомы, позволяют раскрыть свойства отношений системы первичных понятий математической теории. Определения – описать свойства остальных понятий теории, посредством первичных понятий.

Задание 4. Сформулируйте определение понятия «параллелограмм». Постройте его родословную. Установите, какие первичные понятия евклидовой геометрии являются базовыми для введения этого определения.

Задание для самостоятельной работы: пользуясь материалами из курса «Введение в математику» составьте классификацию определений математических понятий по их логической структуре», вспомните, что такое «определение».

В ШКМ понятия вводятся: через определение, систему аксиом, описания, иллюстрирующие примеры, переопределяются. Причины переопределения: ____________________________________.

 

Математические понятия можно классифицировать по уровням абстракции (Г. Фреге):

Уровень абстракции	Характеристика понятия	Пример
I ступень (понятия модельной природы)	ТI=P(x), где - множество предметов реальной действительности.	М – _________________________.   ТI=P(x) - _____________________.
II ступень	ТII=P(x), где - множество понятий первой ступени абстракции.	М – _________________________ _____________________________. ТII=P(x) – ____________________.
… и т.д.

В 1-6 классах изучаются лишь математические понятия модельной природы, в более старших классах к ним присоединяются понятия и второй ступени абстракции.

В содержании математических понятий модельной природы закрепляются лишь те свойства их реальных прототипов, которые значимы с точки зрения предмета математики: ___________________

______________________.

Задание 2. Среди перечисленных свойств объекта изучения выберите математически значимые: А). Характеристики движения автомобиля: величина скорости, зависимость скорости от времени, причины изменения скорости, направление движения, цель движения. Б). Характеристики упаковочного материала: объем, назначение, сырье, форма, условия минимальности затрат сырья на производство.

Среди математических понятий можно выделить не только понятия – «объекты», но и понятия – «методы», а также понятия, имеющие двойственную природу.

Задание 5. Среди перечисленных ниже понятий найти те, которые можно отнести к понятиям – «объектам», понятиям – «методам», понятиям – «методам - объектам»: четырехугольник, вектор, производная функции в точке, уравнение, число, симметрия, умножение.

Знание природы математических понятий необходимо учителю для того, чтобы правильно понимать, задачу «сформировать это понятие». Сформировать понятие–«объект» означает ____________________________________________________. Сформировать понятие – «метод» означает _______________. Кроме того, знание природы математических понятий помогает учителю правильно организовать процесс их формирования: _______________________________________________________________.

Признаки природы математических понятий: вид определения, этимологическое значение термина.

Технологическая цепочка (методическая схема) формирования понятий:

Название этапа	Содержание этапа	Результат
1. Подготовительный этап	Создание мотивационной, чувственной и информационной базы для введения понятия.	Готовность к восприятию нового понятия
II. Основной этап	Введение термина, символа, определения или описания понятия, включение в деятельность подведения объектов под понятие, описания свойств объектов понятия.	Знания термина, символа, определения, причин введения понятия в науку, этимологии термина, готовность к оперированию понятием с опорой на его определение и/или чувственный образ.
III. Этап закрепления	Включение введенного понятия в систему ранее известных понятий, формирования новых понятий с его использованием.	Развертывание знаний о новых свойствах понятий и умений осуществлять действия, соответствующие образовательным функциям понятия.

Для реализации третьего этапа этой схемы необходимо знать, какие отношения можно устанавливать на множестве математических понятий (предшествования, сравнимости содержания, совместимости объемов):

Схема 2. Отношения между понятиями.

Задание 6. Установите отношение, в котором находятся данные понятия:

а) «арифметическая прогрессия с первым элементом 1 и разностью 1» - «множество натуральных чисел»; б) «четные числа» – «нечетные числа»; в) «прямая» - «отрезок»; г) «прямоугольник» - «квадрат»; д) «ромб» - «прямоугольник»; е) «прямая евклидовой плоскости» - «прямая геометрии Лобачевского»; ж) «степенное выражение» - «иррациональное выражение».