Движение свободной микрочастицы

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАНОЭЛЕКТРОНИКИ

Корпускулярно-волновой дуализм и принцип Гейзенберга.

 

 

h - постоянная Планка

(h =6.62∙10^-34Дж∙с, ħ=h/2𝛑);

- угловая частота

 

 

,

 

где k - волновое число

 

 

Принцип неопределенности Гейзенберга, в соответствии с которым в любом эксперименте произведение ошибок измерения импульса частицы и ее координаты всегда должно превышать , т.е.

 

 

 

 

· ,

где Е – энергия частицы,

- постоянная Планка.

 

· Волновой вектор определяется импульсом

 

· Длина волны де Бройля

 

Т.о. де Бройль отождествил движущуюся материальную частицу с плоской электромагнитной волной следующего вида:

,

где - радиус-вектор

- амплитуда плоской волны

 

Нанообъекты и волны де Бройля

 

 

 

 

m₀ – масса свободного электрона

m^*- эффективная масса электрона

Кинетическая энергия при 300К Е_кин=kT =0.0259 эВ,

тогда λ =25 нм=250 Å

 

Т.о. если толщина тонких пленок или структур, из которых состоят нанообъекты соизмеримы с длиной волны де Бройля, то в таких объектах, называемых нанообъектами, можно ожидать проявления волновых свойств электрона

 

Волновые функции и уравнение Шредингера

 

Главная особенность квантово-механического описания электрона состоит в том, что электрон, оставаясь частицей, подобен волне (принцип де Бройля).

При этом его пространственные координаты и величину импульса невозможно определить с высокой точностью, т.е. невозможно предсказать направление, если известно, что в данный момент он расположен в какой-либо области пространства.

 

Поведение электрона теряет детерминированный характер, т.е. если в некоторый момент времени частица находилась в ограниченной области пространства, то в будущем невозможно достоверно предсказать ее местонахождение. Можно говорить лишь о распределении частиц в пространстве, о вероятности обнаружить ее в заданном месте.

 

Волновая функция – это функция, которая задает вероятностное статистическое описание местонахождения электрона в пространстве.

 

 

В общем случае уравнение Шрёдингера:

 

 

 

где

m - масса частицы,

U - потенциал поля, в котором движутся частицы

 

Вероятность обнаружения частицы в элементе объема

,

если проинтегрировать это выражение по всему объему, получим условие нормировки уравнения Шредингера:

 

Если U не зависит от времени, то решение этого уравнения можно записать в виде

 

 

А стационарное уравнение Шредингера (не зависящее от времени) примет вид

 

 

Движение свободной микрочастицы

 

Микрочастица называется свободной, если на нее не действуют никакие силы, т.е. U=0, тогда стационарное уравнение Шредингера можно записать в виде

 

 

 

Если решать это уравнение относительно x, получим:

 

 

Для микрочастицы можно записать:

где Е- полная энергия электрона,

U- потенциальная энергия электрона

Для свободной частицы U=0, значит,

 

Зависимости энергии от волнового числа называются законами дисперсии.