Статистическая оценка параметров

ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

КАФЕДРА «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА»

 

 

Методические указания

к лабораторным работам

по дисциплине «Математическое моделирование

и планирование эксперимента»

 

Ижевск 2002

 

УДК 621.31

 

 

Составитель: Артемьева Е. М., канд. техн. наук, доцент

Общая редакция: Барсуков В. К., канд. техн. наук, доцент

 

Рецензент - Юран С. И., канд. техн. наук, доцент ИжГСХА

 

 

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Математическое моделирование и планирование эксперимента».– Ижевск: ИжГТУ, 2002 - 87 с.

 

Методические указания содержат описание шести лабораторных работ по дисцмплине «Математическое моделирование и планирование эксперимента» и предназначены для студентов специальности 181300 – «Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений» высшего профессионального образования.

 

 

© Артемьева Е. М.

© Издательство ИжГТУ, 2002

 

Лабораторная работа №1

Исследование статистических характеристик случайных величин

Цель работы:

1. Ознакомление с методикой расчета оценок параметров распределения вероятностей случайной величины – математического ожидания и дисперсии.

2. Ознакомление с методикой проверки гипотезы о виде закона распределения вероятностей случайной величины.

 

Задание:

1. Определить статистические оценки математического ожидания и дисперсии исследуемой выборки случайной величины.

2. Проверить гипотезу о нормальном законе распределения вероятностей изучаемой случайной величины.

 

Вопросы для предварительной полготовки.

 

1. Нормальный закон распределения вероятности и его параметры. Кривая распределения плотности вероятности.

2. Распределение χ².

3. Распределение Стьюдента (t -распределение).

4. Распределение Фишера (F -распределение).

Основные теоретические положения

 

Статистическая оценка параметров

 

По выборке из генеральной совокупности получают выборочные статистические характеристики (выборочное среднее, выборочная дисперсия и т.п.), которые являются оценками соответствующих генеральных статистических характеристик.

Каждую выборочную характеристику также следует рассматривать как случайную величину, изменяющуюся от выборки к выборке.

Среди возможных оценок особую ценность представляют состоятельные и несмещенные оценки.

Оценка называется состоятельной, если с увеличением объема выборки она стремится (по вероятности) к оцениваемому параметру.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно оцениваемому параметру.

Состоятельными несмещенными оценками являются средние арифметическое наблюдаемых значений величины x:

, (1)

а также среднее квадратическое отклонение случайной величины x

(2)

Величины и S² являются оценками математического ожидания и дисперсии случайной величины x.

Расчет оценок по формулам (1), (2) становится громоздким с увеличением объема выборки. В этом случае целесообразно применять приближенную методику. Она состоит в том, что выборка преобразуется в формулу вариационного ряда:

- диапазон изменения случайной величины в выборке (x_min, x_max) делится на k интервалов, где число k находят по полуэмпирической формуле

k= 1+3,2 lg n, (3)

число k округляется до ближайшего целого. Длины интервалов обычно выбираются одинаковыми, равными

; (4)

- затем определяется количество n_m элементов выборки, попавших в каждый интервал [x_m-1, x_m] и рассчитывается относительная частота p_m попадания случайной величины в соответствующий интервал

; (5)

-вариационный ряд записывается в виде таблицы 1, причем элементам выборки, попавшим в m -ный интервал, приписывается значение x_m^*

; (6)

 

ТАБЛИЦА 1

M	(xm-1, xm)	X	nm	pm=
k	(xmin, x1) (x1, x2) (xk-1, xmax)	X X x	n1 n2 nk	p1 p2 pk
		n

 

- вариационный ряд может изображаться в виде графика (гистограммы).

 

Замечание: Предложенную процедуру построения вариационного ряда не следует считать единственно возможной. Количество интерва­лов, их длины могут варьироваться по усмотрению исследователя в за­висимости от решаемой задачи.

По данным построенного вариационного ряда вычисляются оценки параметров распределения случайной величины x:

; (7) S ²= ². (8)

Кроме того находятся доверительные интервалы математического ожидания m_x и дисперсии σ в предположении нормального закона расширения. Построение доверительного интервала для m_x при неиз­вестной дисперсии σ основано на том, что величина t

(9)

имеет распределение Стьюдента с v=n -1 степенями свободы.

Очевидно, что величина m_x лежит в пределах интервала с границами (рис.1):

< m_x < . (10)

Величина t_T находится по таблице t –распределения (распределения Стьюдента) (рис.2) случайной величины при вероятности надежной оценки p= 0,95и степени свободы v=n- 1.

 

Доверительный интервал для σ строится на основании того, что вели­чина

(11)

распределена по закону χ² (хи-квадрат) с ν=n- 1сте­пеням свободы (рис.3). В этом случае находятся такие два числа χ и χ , что вероятности:

P { < χ } = α (α= 0,05…0,1) (12)

P { > χ } = α. (13)

Следовательно,

P { χ < < χ } = 1- α (14)

При этом доверительный интервал для σ равен:

[ , ]. (15)

 

Значения χ и χ находят из таблицы χ² - распределение по известному числу степеней свободы ν=n- 1и вычисленным уровням значимости P₁ и P₂

P₁₌ { > χ } = 1 -P { < χ } = 1- (16)

P₂₌ { > χ } = (17)

 

Статистическая проверка гипотез

 

Под статистическими гипотезами понимают некоторые предположе­ния относительно значений генеральных статистических характеристик и генеральных распределений вероятности.

Проверка гипотезы заключается в сопоставлении некоторых статисти­ческих показателей (критериев проверки), вычисляемых по данным вы­борки, со значениями этих показателей, определенными теоретически в предположении, что проверяемая гипотеза верна.

Для критериев проверки выбираются определенные уровни значимо­сти (α=0,1; 0,05; 0,02 и т.д.), отвечающие событиям, которые при про­водимых исследованиях считаются (с некоторым риском) практически невозможными.

Следующим этапом является определение критической области при­меняемого критерия, вероятность попадания, в которую в случае, если гипотеза верна, в точности равна уровню значимости. Если α -уровень значимости, то вероятность попадания критерия в область допустимых значений равна 1 - α. Если значение критерия, вычисленное по данным выборки, окажется в критической области, то гипотеза бракуется.

При значениях критерия, принадлежащих области допустимых значе­ний, можно лишь сделать заключение о том, что данные выборки не противоречат гипотезе.

 

Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению с.

Одна из наиболее часто встречающихся задач математической проверки гипотез заключается в сравнении центров распределения двух или более нормально распределенных величин X и Y или о равенстве математического ожидания какому-либо постоянному значению m_x= c.

Такого рода предположения называют «нулевой» гипотезой (H₀). При отсутствии конкурирующей гипотезы критической областью при проверке нулевой гипотезы является область больших по абсолютной величине значений. В качестве критерия проверки берётся величина

, (18)

называемая t – критерием. Величина t распределена по закону Стьюдента.

Если вычисленное значение t не превышает критического t_T=t_ν,α,, найденного по таблице распределения Стьюдента при уровне значимости α и числу степеней свободы ν=n- 1, то исходная гипотеза не отвергается. [1, 2].

 

II –2. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий

Пусть по данным двух выборок получены оценки дисперсий и со степенями свободы ν₁=n₁- 1 и ν₂=n₂ -1.

Требуется выяснить, взяты ли данные выборки из генеральных совокупностей, имеющих одинаковые дисперсии

= . (19)

Для проверки указанной гипотезы применяется F – критерий (дисперсионное отношение)

, (20)

где является бóльшей из двух оценок, т.е. =max (, ). Величина F – отношения имеет F – распределения (распределение Фишера) со степенями свободы ν₁=n₁- 1 и ν₂=n₂ -1. (рис.4)ритическая область для F – критерия состоит из двух интервалов: больших значений, удовлетворяющих неравенству

F>F₂ (21)

и интервала малых значений

0<F<F₁. (22)

критические точки подбираются так, что при уровне значимости q

P(F>F₂)= и P(F<F₁)= . (23)

Поскольку левая критическая точка F – распределения соответствует правой критической точке - распределения, то для определения F₁ и F₂ необходимо найти только правые точки для F и F’.

Ввиду указанного свойства табулированы только правые критические точки F – распределения для различных значений свободы ν₁ и ν₂ [1,2].

Принято отбрасывать гипотезу, когда величина F (F>1) превосходит верхнее критическое значение для уровня значимости , а при этом вся критическая область будет отвечать уровню значимости α. Таким образом, если выполняется неравенство

то гипотеза о равенстве дисперсий и не принимается.

II-3. Проверка гипотезы относительно вида закона распределения вероятностей.

Для проверки гипотезы о том, что данная величина x подчинена закону распределения F(x), используются «критерии соответствия», основанные на выборе определенной меры расхождения между теоретическим (гипотетическим) и эмпирическим распределениями.

Если такая мера расхождения (т.е. критерий) для рассматриваемого случая превосходит установленный предел, то гипотеза не принимается.

Одним из наиболее распространенных критериев является критерий χ² (критерий Пирсона).

Пусть по данным выборки построена таблица 1, где n_m количество попаданий случайной величины x в m -ный интервал.

Пусть - вероятность попадания в m -ный интервал, вычисленная с использованием гипотетического распределения. Тогда критерий Пирсона запишется так:

(25)

здесь k– число интервалов, n –объем выборки. Величина χ² имеет ν=k-l- 1степеней свободы, где l – число оцениваемых параметров в законе распределения. Так, при нормальном распределении l= 2.

В случае

гипотеза о виде закона распределения не принимается

 

Порядок выполнения работы.

 

-Создать выборку значений случайной величины сопротивления нагрузки R энергосистемы, изменяющейся дискретно в пределах от R_min до R_max (принять, что R_min=77 Ом, R_max=95 Ом). Для этого следует использовать последовательность целых случайных чисел 0,1,… 9, полученную у преподавателя.

Числам 0,1,2,… 9 должны соответствовать определенные значения параметра R, находящиеся внутри диапазона от R_min до R_max. Для этого интервал значений R (рис..5) разбивают на 9 равных отрезков. Длина отрезка равна ∆:

В таблице 2 указаны значения R_I в омах на концах отрезков, обозначенных числами 0, 1, 2,…9 (рис.5)

 

 

ТАБЛИЦА 2

 

Ri (i =0…9)

 

После этого составляют ряд случайных значений параметра R, па­раллельный заданному ряду случайных чисел от 0 до 9. Например, выборке чисел (0….9) 0, 9, 1, 1, 5, 1, 8, 6, 3, 5, 1, 2, 2, 5, 3… соот­ветствует ряд значений параметра R (77…95) Ом: 77, 95, 79, 79, 87, 79, 93, 89, 83, 87, 79, 81, 81, 87, 83….

- Найти оценку математического ожидания , оценку дис­персии S²{R} и проверить гипотезу о нормальном распределении вероятностей величины R. Для этого применить приближенную методику, которая состоит в следующем:

а) диапазон изменения случайной величины (R_min, R_max) делится на k интервалов, где k находится по формуле k= 1+3,2 lg n, где n - объем выборки. Полученное число k округляют до ближайшего це­лого; в нашем случае следует взять k =(5…7)<9;

б) длины интервалов выбирают одинаковыми, равными

 

(рис.6)

в) затем определяют количество n_m значений R, попавших в каж­дый интервал, и относительную частоту

попадания величины R в соответствующий интервал.

г) после этого выборочные данные записывают в виде таблицы 3 и гистограммы (рис.7)

ТАБЛИЦА 3

 

m	(Rm-1, Rm)		nm

 

д) оценки параметров распределения вычисляют по формулам (7), (8)

ж) затем проверяют гипотезу о нормальном распределении.

С этой целью находят величину χ²

(25)

и сравнивают ее с табличным значением

[1,2].

 

 

В случае неравенства χ² < χ гипотеза о нормальном распределении не отвергается.

Результаты проверки гипотезы удобно представить в виде таблицы 4. В таблице 4 t – центрированная переменная, равная

i= 1,2,…k

- вероятность попадания случайной величины t в m -ный интервал при гипотетическом распределении

=P(t_m)-P(t_m-1)

В случае проверки гипотезы о нормальном распределении значения функции P(t_m) и P(t_m-1) находят в таблице нормального распределения вероятностей [1,2].

ТАБЛИЦА 4

 

m	nm	tm-1, tm	P(tm-1), P(tm)		n	nm -n	(nm -n )²
1	n1	-∞,	0, …
2	n2	,	…,…
3	n3	,	…,…
4	n4	,	…,…
5	n5	,∞	…,1

1. Какова кривая плотности вероятностей нормального закона рас­пределения? Какова кривая нормального распределения вероятно­стей?

2. Какие характеристики распределения вероятностей случайных ве­личин Вы знаете?

3. Какими параметрами полностью определяется нормальное рас­пределение и каковы их статистические оценки?

4. Как проверяется гипотеза о равенстве двух дисперсий?

5. Как проверяется гипотеза о виде закона распределения?

Литература

1. Ветцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1964.

2. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: В. ш., 1972.

3. Круг Г.К. Статистические методы в инженерных исследованиях: Лабораторный практикум. В.П. Бородюк и др. – М.: В. ш., 1983.

4. Смирнов Н.В., Дунин – Барковский И.В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике. – М.: Физматгиз, 1965.

 

Приложение

Таблица случайных чисел от 0 до 9

 

 

Лабораторная работа №2